帶形狀參數的雙三次G1連續DP曲面

李尚蔚，金虹媛，程曉旭

曲面拼接問題是曲線曲面設計的一個基本問題.經典的曲線曲面包括Bezier曲面、NURBS曲面等，英國幾何設計專家Ball提出一種有理三次曲線，被稱為Ball曲線.該曲線有類似于Bezier曲線的一些性質，且在保形上以及在求值和升降階計算上優于同次Bezier曲線；進一步研究結果有 Wang-Ball曲線［1］和 Said-Ball曲線［2］，前者雖然具有線性計算時間復雜度，但卻不是全正基（Normalized Totally Positive，NTP）生成的，后者雖然是由NTP基生成的，但其計算時間復雜度卻不是線性的，但是有理分式的引入又帶來了諸多缺陷，如計算復雜、求積分不方便、求導次數增加等［3］.基于該問題，Delagado和Pena提出了一種新型參數曲線［4］，被學界稱為DP曲線，該曲線不但在數值計算上具有穩定性、在算法上具有線性的計算時間復雜性而且是由具有保形性的NTP基生成的；但是DP曲線缺少形狀參數調整的功能.為了達到調整形狀的效果，可通過設置形狀參數來構建形狀可控的曲線曲面［5］.本文以帶形狀參數的三次DP曲線為基礎，運用張量積方法構造帶形狀參數的DP曲面，推導出G1連續條件，給出了一個可以自由調節曲面的方法，使曲面調節更為靈活.

1 帶形狀參數的DP曲面

1.1 帶形狀參數的雙三次DP曲面的定義

定義1 給定4個控制頂點Pi∈Rn（n=2，3；i=0，1，2，3），對于t∈［0，1］，定義曲線為含形狀參數α，β的三次擴展DP曲線，簡稱帶形狀參數三次DP曲線［5］.

定義2三次多項式基函數Di(t)

其中，參數α∈［-0.5，1］，β∈［-1，1］，當參數α=0，β=0，該曲線退化為三次DP曲線.

1）曲線W2(t)、W1(t)與滿足G0拼接，位置連續的充要條件W1(1)=W2(0)，即b3=p0.

2）曲線G1連續條件，若兩條帶形狀參數的三次DP曲線W2(t)、W1(t)不但滿足位置連續，而且在拼接點處具有同向的一階導矢，即給定 4×4 個控制網格頂點Pi,j（i,j=0,1,2,3），運用張量積方法構造帶兩個定義3參數的雙三次DP曲面

是 [0,1]×[0,1]上的帶參數DP曲面，式（2）中形狀參數分別是α，β，ω，μ.α,ω∈ [-0.5,1]，β,μ∈[-1,1]，其中，Di,3(u;α,β)，Dj,3(v;ω,μ)是（1）中所定義的基函數.

1.2 帶形狀參數的雙三次DP曲面的G1拼接條件

帶形狀參數的雙三次DP曲面為

首先要求滿足G0連續條件，即

然后要求滿足G1連續條件，即要求曲面片在拼接邊界處有公共的切平面，曲面片在邊界上的法矢方向是連續的.因此，

式中，q為大于0的常數.

計算曲面片的跨界切矢，并將式（3）代入得

因此，當2張相鄰的帶參數三次DP曲面W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)滿足以下條件且同時成立時:

W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)在公共邊界處滿足G1連續拼接條件.

1.3 帶形狀參數的雙三次G1DP曲面拼接步驟

以帶參數三次DP曲面u-u方向的G1連續拼接為例，G1連續拼接步驟為:

步驟1:任意給定一個初始曲面W(u,v;α1,β1,ω1,γ1)和控制網格頂點Pi,j.

步驟3:任意給定形狀參數ω2和常數f＞0，然后在步驟2的基礎上根據（4）可得出曲面和控制網格頂點

步驟 4:任意給定曲面T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)剩余的控制頂點和（i=0，1，2，3）形狀參數可以隨意給出，這樣W(u,v;α1,β1,ω1,μ1)與T(u,v;α2,β2,ω2,μ2)在公共邊界處實現的G1連續拼接.

帶形狀參數的雙三次DP曲面光滑拼接效果圖如圖1所示.

圖1 帶參數三次DP曲面G1連續拼接

2 數值實例

圖2 函數z=sin的圖形

圖3給出了“搖椅”曲面造型的實例.在工業設計上，分別生成搖椅底部和搖椅靠背兩部分，圖3（a）搖椅底部是以256個點為基礎構造DP曲面，圖3（b）搖椅靠背是以384個點為基礎構造DP曲面，然后進行拼接形成圖，圖3（c）為搖椅曲面.

圖4給出了“床單平鋪面”曲面造型的實例.分別以床單的4個部分面，總計4096個點，構造DP曲面，還原床單平鋪圖.

圖3 搖椅曲面造型圖

圖4 床單平鋪圖

3 結論

本文構造了一種帶形狀參數的三次DP曲面，分析了該曲面的基本性質，該曲面不僅保留了Bezier曲面的類似的形狀，同時滿足了具有形狀可調性，而且研究了滿足一定條件時，曲面可達到G1連續，數值實例表明了本文方法的有效實用性，可以用來設計不同的曲面.