理想狀態下基于動力學分析的“同心鼓”協作策略研究

杜文琦 劉俊麟

摘? ?要：本文針對“同心鼓”運動系統進行受力分析，運用動力學原理，利用先隔離再整體的思想，建立了球、鼓、繩各個部分的動力學方程并求解。描繪出排球、鼓的運動軌跡圖像，尋求理想狀態下團隊的最佳協作策略，求得該策略下的顛球高度。最佳協作策略為在達到所要求高度、團隊成員發力最小的情況下，能夠使排球在鼓面上往返運動次數最多、運動軌跡最穩定，即該問題可以轉化為在一定時間內通過合理安排參與人數以及力度的條件從而尋求能夠達到要求高度的最多顛球次數。

關鍵詞：動力學分析? 動量定理? 機械能守恒定律? 同心鼓項目

1? “同心鼓”項目簡介

“同心鼓”是一項近年來頗受歡迎的素質拓展項目，其蘊含著豐富的物理學知識值得我們深度探究。該項目的道具是一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員同心協力將球顛起，使其有節奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。

2? 本文將“同心鼓”項目簡化成以下模型

2.1 道具系統

一個質量為270g的排球;直徑為40cm、高度為22cm、質量為3.6kg的牛皮雙面鼓;連接鼓與人的長度相同的繩子。

2.2 運動系統：

隊員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。排球從鼓面中心上方40cm豎直落下，由隊員發力顛起排球。

3? 理想狀態下求解作出如下假設

（1）所有參賽隊員身高、體型相同，拉繩位置一致。

（2）假設地面平坦無傾斜，風速極小無影響。

（3）忽略空氣阻力、鼓面與球接觸時產生的摩擦力影響。

（4）忽略排球形狀、大小對結果的影響，可將排球看作質點。

（5）假設求解的模型均是平衡的，長繩不會扭轉變形，拉伸程度可忽略不計。

4? 本文符號說明

其中m1、m2分別表示排球、雙面鼓的質量;v1、v1'， v2、 v2'分別表示排球碰撞前后、雙面鼓碰撞前后的瞬時速度;a2表示初始位置到第一次碰撞時，隊員合力對鼓產生的加速度;F合表示碰撞前，雙面鼓上升時，所有隊員通過長繩作用在鼓上的合力;hs、hq分別表示游戲開始之前排球的初始位置和第一次碰撞后排球向上運動的高度;sg表示第一次碰撞后鼓向下運動的距離;Hx、Hl分別表示項目成功后的顛球高度和理想狀態下項目成功后的最佳高度;β表示雙面鼓每次下降到最低點時長繩與水平面的夾角;L表示項目中相等的繩長;F1表示理想狀態下，每個隊員對繩施加的相等的力;?H表示平面直角坐標系的縱坐標;n表示隊員人數。

5? 在理想狀態下，“同心鼓”受力情況的分析

由運動學分析可知，排球在碰撞前一直做自由落體運動。雙面鼓在第一次碰撞前，受到隊員施加在豎直方向的合力F合和自身的重力m2g同時作用，向上做初速度為零的勻加速直線運動。第一次碰撞后，雙面鼓豎直向下運動，此時，隊員對鼓無作用力，鼓做初速度不為零的勻加速直線運動。在隊員觀測到排球到達最高點減速為零時，即刻發力，雙面鼓速度方向改變，做初速度不為零、加速度向上的勻加速直線運動，直至第二次碰撞。整個運動系統中，機械能一直保持不變，故，在理想條件下，從第二次碰撞開始，雙面鼓和排球分別重復第一次碰撞到第二次碰撞之間的運動狀態。

我們忽略碰撞過程中產生的能量損失，分析排球和鼓面瞬間的彈性碰撞。根據彈性碰撞動量守恒公式可進行分析。在理想狀態（每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度），雙面鼓鼓面位置一直維持水平。當排球可以一直在雙面鼓中心豎直上升下降時，人盡可能少做功即為最優解。

假設在理想條件下，鼓面不傾斜，繩長一定，指定l=2m，指定n=8。由于排球與鼓組成的系統在碰撞時不受外力的作用，符合動量定理和機械能守恒，其中，我們規定，發生碰撞的位置所在直線始終與橫軸處于同一條水平線上。

現根據動力學分析建立以豎向位移為縱坐標、運動時間為橫坐標的平面直角坐標系如下：

根據圖像，可以得出Hx、sg、hq之間的函數關系式，并結合運動系統中排球第一次自由落體運動分析可得：

通過計算可以得出Hl=0.0985F合2-7.206F合+131.26>40? 設定

未知量為每人力度F1，可得出。

由該項目規定可知，成功進行的要求是顛球高度不小于40cm、隊員之間的距離不小于60cm的情況下，每一組隊員發力做功最小、效果最好的協作策略。即Cosβ=2/3為最佳協作策略的臨界值狀態。

通過分析上述方程，以?H為縱坐標，nFlsinβ為橫坐標建立平面直角坐標系，可得△H- t圖像。由圖像分析可得出Fl=56.9/nsinβ。（Sinβ=√5/3），取隊員人數為9、12、18分別進行分析可得方案：

方案一： n=9人時，隊員分力F1=8.43N，排球到達高度為Hl=40cm

方案二：n=12人時，隊員分力F1=6.35N，排球到達高度為Hl=40cm

方案三：n=18人時，隊員分力F1=4.23N，排球到達高度為Hl=40cm

綜上所述，當長繩與水平面夾角的正弦值為√5/3（即Sinβ=√5/3）、隊員之間距離為60cm時，每一個人的用力能達到最小，即最優方案。

6? 結語

從微觀的角度分析，雙面鼓面是一個作用點，在一個有限的面和線里，如果一個恒定的力作用于這個面或這條線的中點，會使得最大的力轉化為此面或先的彈性勢能。在排球運動中，隊員想要對球進行有效的控制，其中必須要做好的就是對初始條件進行改善和控制，從而達到想要的效果。通過對于理想狀態下“同心鼓”模型的動力學研究，本文對“同心鼓”運動系統各組成部分的運動進行受力分析，建立了球、鼓、繩各個部分的動力學方程并求解，得出“同心鼓”項目的最優協作策略。

參考文獻

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