旋出等邊三角形和等腰直角三角形

趙瑩銀

一條線段繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，會(huì)得到一個(gè)等腰直角三角形，而繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，會(huì)得到一個(gè)等邊三角形。這樣得到的等腰直角三角形和等邊三角形，由于題目中沒有直接交代，一些同學(xué)在解題的時(shí)候往往容易忽略，找不到解題思路。

一、發(fā)現(xiàn)隱含的等邊三角形

例1 如圖1，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在BC上，求AP的長(zhǎng)。

【解析】乍一看，這道題有兩個(gè)條件：

（1）一個(gè)等邊三角形——△ABC;（2）兩條相等的線段——OD=OP。

但單憑這兩個(gè)條件卻不容易解決問題。事實(shí)上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我們可以得知△DOP也是等邊三角形，因此本題實(shí)際上是我們熟悉的一個(gè)特別簡(jiǎn)單的圖形（如圖2）。

在圖2中，△COD≌△APO≌△BDP，這樣，問題就很容易解決了。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一條線段繞著一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，會(huì)得到一個(gè)等邊三角形。了解這一點(diǎn)，問題就會(huì)迎刃而解。

例2 如圖3，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF。則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是。

【解析】由例1可知，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC后，△CEF是等邊三角形，因此考慮連接EF，這就得到一個(gè)雙等邊三角形的模型。等邊△CEF與等邊△ABC具有公共頂點(diǎn)，由八年級(jí)全等的知識(shí)很容易證得△ACE與△BCF全等。

由于∠CAE的度數(shù)固定，是30°，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可求得∠CBF=30°，所以點(diǎn)F始終在一條過點(diǎn)B，且與BC夾角為30°的直線上運(yùn)動(dòng)。這道題就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到直線的最短距離問題，一般用垂線段最短和30°所對(duì)的直角邊是斜邊可解決問題。

【點(diǎn)評(píng)】本題中“△CEF是等邊三角形”是一個(gè)隱含的條件，發(fā)現(xiàn)這個(gè)隱含條件對(duì)于尋找本題的解題思路特別重要。

二、線段旋轉(zhuǎn)90°，得等腰直角三角形

例3 如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，DE與AB相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G。若EF=5，CD=[22]，求△BDG的面積。

【解析】本題中已知一個(gè)等腰直角三角形（△ABC），還隱含著另一個(gè)等腰直角三角形，那就是線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DE后，得到的△BDE，如圖5。

由兩個(gè)等腰直角三角形，很容易證明△BCD與△BAE相似，即可求出AE=4。在Rt△AEF中，由于EF=5，根據(jù)勾股定理，可求得AF=3。然后利用△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF，設(shè)GF=3k，可得DF=5k，DG=4k，BD=[203k]，由于DE=5k+5，所以[203k]=5k+5，從而求出k的值，也就求出了DG和BG的長(zhǎng)。利用三角形的面積公式可求出△BDG的面積。

【點(diǎn)評(píng)】解決本題要發(fā)現(xiàn)隱含的等腰直角△BDE，得到一個(gè)雙等腰直角三角形的相似模型，求出∠BAE=90°，然后證得△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF。因此，發(fā)現(xiàn)隱含的等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省海安市墩頭鎮(zhèn)仇湖初級(jí)中學(xué)）