一題管窺45°角的處理思路

我們在學習過程中有時會遇到關于45°角的問題，如何解決這類問題？下面，我們通過一道試題來一探究竟。

例題 如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，求點C的坐標。

圖1

【解析】由于本題沒有交代點C在y軸正半軸還是負半軸，因此這道題目中點C的位置需要分兩種情況討論。這兩個位置正好關于x軸對稱，因此我們只需討論點C在y軸正半軸的情況，然后由對稱性求出點C在y軸負半軸的情況。

（方法一）如圖2，以45°角為基礎，構造等腰直角三角形，由△BCF與△BDE全等，設法求出OC的長。

解：如圖2，過點B作BD⊥BC，交CA的延長線于點D，過點B作x軸的垂線，分別過點C、點D作x軸的平行線，分別交過B點的x軸的垂線于點F、點E。

∴∠CBD=90°，∠E=∠F=90°，

∴∠CBF+∠DBE=90°，∠DBE+∠BDE=90°。

∴∠CBF=∠BDE，

∵∠BCD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=BD，∴△BCF≌△DBE。

設OC=m，則BF=DE=m，

∵A（4，0），B（-6，0），

∴OB=CF=BE=6，∴DG=m-6。

∵OA∥DG，∴△AOC∽△DGC，

∴[OADG]=[OCCG]，[4m-6]=[mm+6]，

解得m1=12，m2=-2（舍去）。

∴C點坐標為（0，12）。

由對稱性可知，當點C在y軸負半軸時，點C的坐標為（0，-12）。

（方法二）如圖3，再過點D作DH⊥x軸于點H，其實這一思路與前一思路類似，因為△BOC與△CFB全等，△BDE與△DBH全等，所以△BOC與△DHB全等。求m值的時候，可利用△AOC與△ADH相似來解決。

（方法三）如圖4，構造等腰直角三角形，還可以過點B作BK⊥AC于點K。

解：過點B作BK⊥AC于點K，設OC=m，則△BCK為等腰直角三角形。

在Rt△BOC中，

BC=[OB2+OC2]=[m2+36]，

∴CK2=[m2+362]。

同理：AC=[m2+16]。

∵△AOC∽△AKB，

∴AB·OC=AC·BK，∴BK=[10mm2+16]，

∴[100m2m2+16]=[m2+362]，解得m=12。

（方法四）過點A作BC的垂線，解題思路同方法三。

（方法五）利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，將45°角轉化為90°角來解決問題。

解：如圖5，設△ABC的外接圓圓心為M，∵∠ACB=45°，∴∠AMB=90°，且MA=MB。

∴△AMB為等腰直角三角形，∵AB=10，∴MA=MB=[52]，M（-1，5）。

∵C（0，m），∴CM=[1+m-52]。

∴[1+m-52]=[52]，解得m=12。

（方法六）套用兩角和的正切公式：tan（α+β）=[tanα+tanβ1-tanαtanβ]來解決。

解：設∠BCO=α，∠ACO=β，OC=m，則tanα=

=[6m]，tanβ=[4m]。

∵tan（α+β）=[tanα+tanβ1-tanαtanβ]，

∴1=[6m+4m1-6m·4m]，解得m=12。

【點評】從以上解法可以看出，遇到45°角，有兩種常用處理思路：

一是設法作垂線段，將45°角置于直角三角形中，構造等腰直角三角形。若是遇到斜著放的直角，可以考慮構造“K型”相似來解決。

二是利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，將45°角轉化為直角。運用兩角和的正切公式非常簡便，但由于這個公式是高中的內容，在這里使用屬于超綱，如果使用，請務必將公式寫清楚。

（作者單位：江蘇省海安市海陵中學）