巧用等腰（邊）三角形證全等

蘇中年

一、一條重要的線段——“三線合一”

例1 如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任意一點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么三角形，并證明你的結(jié)論。

【解析】由于AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，可聯(lián)想到“三線合一”定理，考慮連接AM，則可證明△BFM≌△AEM，然后證明MF=ME和∠EMF=90°，即可證明△MEF為等腰直角三角形。

證明：連接AM。

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=45°。

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=[12]∠CAB=45°。

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴MA=MB，

∵DF⊥AB，∠B=45°，

∴DF=BF。

∵∠BAC=90°，DF⊥AB，DE⊥AC，

∴DF∥AC，DE∥AB，

∴∠DFE=∠AEF，∠AFE=∠DEF。

在△AEF和△DFE中：[∠DFE=∠AEF，EF=EF，∠AFE=∠DEF，]

∴△AEF≌△DFE。

∴DF=AE，

∴BF=AE。

在△BFM和△AEM中：[BF=AE，∠B=∠EAM，MB=MA，]

∴△BFM≌△AEM，

∴ME=MF，∠BMF=∠AME。

∵∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME+∠AMF=90°，

∴∠EMF=90°。

∴△MEF是等腰直角三角形。

【點(diǎn)評(píng)】等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)既涉及角相等，又涉及線段相等或垂直，為證明線段和角的關(guān)系提供了又一個(gè)理論根據(jù)。同時(shí)，同學(xué)們還應(yīng)熟練掌握“三線合一”性質(zhì)的轉(zhuǎn)化。

二、在等腰三角形中找條件

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD，垂足為E，BF∥AC，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求證：DB=BF。

【解析】要證明DB=BF，由于D為BC的中點(diǎn)，所以CD=BD，因此本題可轉(zhuǎn)證CD=BF，將這兩條線段放置到三角形中，可證明△ACD≌△CBF。

證明：∵BF∥AC，

∴∠CBF+∠ACB=180°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠DCE=90°。

∵CE⊥AD，

∴∠CAD+∠ACE=90°，

∴∠CAD=∠DCE=∠BCF。

在△ACD和△CBF中：[∠ACD=∠CBF，AC=CB，∠CAD=∠BCF，]

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF。

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴CD=BD，

∴DB=BF。

【點(diǎn)評(píng)】本題證明△ACD≌△CBF需要的3個(gè)要素都和△ABC是等腰直角三角形相關(guān)。在證明過(guò)程中，當(dāng)圖形中出現(xiàn)等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形等內(nèi)容時(shí)，往往隱含著一對(duì)全等三角形，這對(duì)全等三角形的一對(duì)應(yīng)邊往往和等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形的邊長(zhǎng)相等相關(guān)。

三、既是角平分線又是垂線，補(bǔ)成等腰三角形

例3 如圖3，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)。求證：BD=2AE。

【解析】由于BE既是角平分線，又垂直于AE，所以很容易由“三線合一”聯(lián)想到延長(zhǎng)AE與BC，構(gòu)造等腰三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和全等，證明BD和AE的關(guān)系。

證明：延長(zhǎng)AE、BC，交于點(diǎn)F。

∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，

∴△ABF是等腰三角形，

∴AF=2AE。

∵AE⊥BE，

∴∠F+∠DBC=90°。

∵∠ACB=90°，

∴∠CDB+∠DBC=90°，

∴∠F=∠CDB。

在△FAC和△DBC中：[∠F=∠CDB，∠FCA=∠DCB，AC=BC，]

∴△FAC≌△DBC（AAS），

∴AF=BD，

∴BD=2AE。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一條線段具備以下3個(gè)條件中的兩個(gè)條件時(shí)，可考慮構(gòu)造等腰三角形，運(yùn)用“三線合一”定理解決問(wèn)題：（1）平分一個(gè)角;（2）垂直一條邊;（3）平分一條線段。

四、等邊三角形中的全等

例4 如圖4，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于點(diǎn)F，求∠BFD的度數(shù)。

【解析】由于∠BFD=∠ABE+∠BAD，可通過(guò)證明△ABE≌△CAD，將∠ABE+∠BAD轉(zhuǎn)化為∠CAD+∠BAD，即∠BAC。

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。

在△ABE和△CAD中：[AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，]

∴△ABE≌△CAD。

∴∠CAD=∠ABE。

∴∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°。

∴∠BFD=60°。

例5 如圖5，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE、CD相交于O。

（1）求證：BE=DC。

（2）求∠BOC的度數(shù)。

【解析】（1）BE和DC可分別置于△ACD、△AEB中，通過(guò)證明△ACD≌△AEB，來(lái)證得BE=DC。證明△ACD≌△AEB需要的條件可從等邊三角形中獲得。（2）根據(jù)外角的性質(zhì)可知∠BOC=∠BDO+∠DBO，可將求的角轉(zhuǎn)化為求∠BDO+∠DBO。

證明：（1）∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠DAC=∠BAE。

在△ACD和△AEB中：[AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，]

∴△ACD≌△AEB。

∴BE=DC。

（2）∵△ACD≌△AEB，

∴∠ADC=∠ABE。

∴∠BDO+∠DBO=∠ADB+∠ABD=120°。

∴∠BOC=∠BDO+∠DBO=120°。

【點(diǎn)評(píng)】等邊三角形3條邊相等、3個(gè)角相等，是判定三角形全等的條件，因此當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)等邊三角形時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)全等三角形。

（作者單位：江蘇省海安市紫石中學(xué)）