反比例函數應用舉粹

吳曉剛

中考對反比例函數的應用這塊內容的要求是：結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式，能用反比例函數解決簡單實際問題。下面是生活中的反比例函數原型，希望這些試題能對同學們的學習有所幫助。

例1 （2017·浙江麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農副產品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）。根據經驗，v、t的一組對應值如下表：

[v（千米/小時） 75 80 85 90 95 t（小時） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 ]

（1）根據表中的數據，求出平均速度v（千米/小時）關于行駛時間t（小時）的函數表達式。（2）汽車上午7：30從麗水出發，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由。（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍。

【解析】根據表中數據，經過簡單推理可判斷v是t的反比例函數，運用待定系數法求出相應的函數表達式，再驗證其余幾種特殊情況。有了函數表達式，根據行駛速度v即可求出行駛時間t，反之，根據行駛時間t即可求出行駛速度v，再根據反比例函數的性質即能解決問題。

解：（1）根據表中數據，可畫出v關于t的函數圖像（如圖1所示），根據圖像形狀，選擇反比例函數模型進行嘗試。設v與t的函數表達式為v=[kt]，∵當v=75時，t=4，∴k=75×4=300，∴v=[300t]。將點（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐標代入v=[300t]驗證即可。（2）∵汽車行駛速度不超過100千米/小時，當v=100時，t=[300v]=3，則t≥3。7.5+3=10.5>10，∴汽車上午7：30從麗水出發，不能在上午10：00之前到達杭州市場。（3）由反比例函數性質得，當3.5≤t≤4時，75≤v≤[6007]。

【點評】若函數中有兩個變量，這兩個量符合的函數表達式是其最本質的關系。

例2 （2018·四川樂山）某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜。如圖2是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段AB、BC表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段。請根據圖中信息解答下列問題：（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤24）的函數關系式。（2）求恒溫系統設定的恒定溫度。（3）若大棚內的溫度低于10℃，蔬菜會受到傷害。問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？

【解析】根據3段函數圖像的特點，可知分別對應一次函數、常數函數、反比例函數，要求后兩段函數圖像的解析式，得先求B、C兩點的坐標。要使蔬菜避免受到傷害，大棚內的溫度不能低于10℃，找到反比例函數圖像上y=10對應的點的橫坐標，其與關閉時刻的差就是最多可以關閉的時間。

解：（1）設線段AB解析式為y=k1x+b（k1≠0），將點（0，10）、（2，14）代入，解得[k1=2，b=10，]∴AB解析式為：y=2x+10（0≤x≤5）。∵B在線段AB上，當x=5時，y=20，∴B坐標為（5，20），∴線段BC的解析式為：y=20（5≤x≤10）。設雙曲線CD解析式為：y=[k2x]（k2≠0），∵C（10，20），∴k2=200。∴雙曲線CD解析式為：y=[200x]（10≤x≤24）;（2）由（1）得，恒溫系統設定恒溫為20℃;（3）把y=10代入y=[200x]中，解得x=20，20-10=10，∴恒溫系統最多關閉10小時。

【點評】分段函數實際上是對這個函數分類討論時的不同結論。本題綜合考查了3類函數的圖像與性質，抓住函數圖像上的特殊點、臨界點是解題的關鍵。

例3 （2018·河北）圖3是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=[kx]（x≥1）交于點A，且AB=1米。運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置。忽略空氣阻力，實驗表明：M、A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t=1時h=5，M、A的水平距離是vt米。（1）求k，并用t表示h;（2）設v=5，用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關系式（不寫x的取值范圍），及y=13時運動員與正下方滑道的豎直距離;（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒，當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍。

【解析】本題是反比例函數與二次函數的綜合應用，考查了兩類函數的圖像及其性質。根據題意，結合圖像可分別得到x、y與t的函數關系式，借助“橋梁”t可求得y與x的關系式。最后根據條件分別列出方程、不等式即可。

解：（1）將點A（1，18）代入y=[kx]得：k=18，設h=at2，將t=1，h=5代入，得a=5，∴h=5t2。（2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1。∵h=5t2，OB=18，∴y=

-5t2+18。由x=5t+1，得t=[15]（x-1），∴y=[-15]（x-1）2+18。當y=13時，x=6或-4（舍）。把x=6代入y=[18x]，得y=3。∴運動員與正下方滑道的豎直距離是13-3=10（米）;（3）把y=1.8代入y=

-5t2+18，得t=±1.8（負值舍去），x=5×1.8+1=10。∴甲為（10，1.8）恰好落在滑道y=[18x]上。此時，乙的坐標為（1+1.8v乙，1.8）。由題意得1+1.8v乙-10>4.5，∴v乙>7.5。

【點評】本題以滑道（反比例函數圖像）為載體，研究運動員滑行路線（二次函數圖像）上的特殊點。3個變量的轉化是難點，需要同學們運用數形結合，抓住幾個關鍵點，建立數學模型。

（作者單位：江蘇省南菁高級中學實驗學校）