數形結合巧用“k”

吳玲芳

一、反比例函數圖像的增減性

反比例函數的圖像是雙曲線，分布在兩個不同的象限。當k>0時，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小;當k<0時，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大。它的增減性與一次函數不同，反比例函數的增減性必須強調“在哪個象限內”。

例1 在函數y=[-a2-1x]（a為常數）的圖像上有三點（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），則函數值y1，y2，y3的大小關系是。

【解析】因為反比例函數y=[-a2-1x]的比例系數含有字母，不能直接求縱坐標，所以只能利用函數的增減性。

解：由-a2-1<0（a為常數），可知函數y=[-a2-1x]的圖像分布在第二、四象限。畫出簡圖，如圖1，由圖像可知y3<0，y2>y1>0，所以y3

【點評】本題不能用代數方法計算求出y1、y2、y3的準確值，只能運用數形結合思想，利用函數的增減性來求解。通過觀察圖像，比較縱坐標的大小即可。

二、反比例函數的比例系數k的幾何意義

反比例函數的比例系數k決定函數圖像分布的象限。過反比例函數圖像上任意一點，向坐標軸引垂線，垂線與坐標軸圍成的矩形的面積是[k]。過反比例函數的圖像上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是[k2]。已知圖形的面積，求k的值時，由于面積非負，必須根據雙曲線所在的象限，確定k的符號。

例2 如圖2，點A為反比例函數y=[kx]圖像上一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，若△ABO的面積為4，則k=。

【解析】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、三角形的面積公式和“設而不求”法。

解：（方法一）設點A的坐標為（a，b），則ab=k。△ABO的面積=[12]×AB×BO=4。

所以[12]（-a）·b=4，化簡得ab=-8，即k=-8。

（方法二）直接利用k的幾何意義。由三角形的面積為4，得知[k2]=4，即[k]=8。由于圖像分布在第二、四象限，則k<0，所以k=-8。

【點評】本題是填空題，不需要寫過程，可以直接利用反比例函數系數k的幾何意義解答，再根據圖像所在的象限，確定k的符號，數形結合，快速便捷。如果是解答題，則按照方法一寫過程。

三、反比例函數圖像的對稱性

反比例函數圖像是中心對稱圖形，正比例函數圖像也是中心對稱圖形，因此兩個圖像組成的整體也是中心對稱圖形。它們的兩個交點關于原點對稱，所以兩個交點的橫、縱坐標互為相反數。利用這樣的特殊性質可以幫助我們快速解決有關反比例函數的問題。

例3 已知直線y=kx（k>0）與雙曲線y=[3x]交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1y2+x2y1的值為（）。

A.-6B.-9C.0D.9

【解析】運用反比例函數圖像的對稱性與整體思想即可求解。

解：由點A（x1，y1）在雙曲線y=[3x]上，可知x1y1=3，易知點A和點B關于原點對稱，則x1=-x2，y1=-y2。因此x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=

-3-3=-6。故選：A。

【點評】本題考查的是反比例函數的對稱性。根據反比例函數的圖像關于原點對稱，得出x1=-x2，y1=-y2是解答此題的關鍵。把x1y1看成整體，利用整體思想求解。

四、反比例函數圖像上點的坐標特征

反比例函數圖像上的點的橫、縱坐標乘積是定值k。當已知條件中給出了某不規則圖形的面積，通常設出某個關鍵點的坐標，根據圖形特點和反比例函數圖像上點的坐標特點，表示出其他未知點的坐標，并根據已知圖形的面積建立方程，求出k。所設點的坐標，雖然也是未知字母，但并不真正參與最后的計算，只是“設而不求”。

例4 如圖3，在以O為原點的直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數y=[kx]（x>0）與AB相交于點D，與BC相交于點E，若BD=3AD，且△ODE的面積是12，則k=。

【解析】利用反比例函數系數k的幾何意義，“設而不求”。

解：由四邊形OCBA是矩形，可知AB=OC，OA=BC。設D點的坐標為（a，b），ab=k，根據BD=3AD，可知B（4a，b）。因為E在反比例函數的圖像上，所以E的坐標為（4a，[b4]）。∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=4ab-[12k]-[12k]-[12]·3a·（b-[b4]）=12，∴4k-k-[3ab2]+[3ab8]=12，即4k-k-[3k2]+[3k8]=12，∴k=[325]。

【點評】通過設圖像上的關鍵點D的坐標為（a，b），根據已知數量關系、圖形特點以及反比例函數圖像上點的橫、縱坐標乘積等于k，表示出B和E的坐標，然后用長方形面積減去3個直角三角形的面積來表示△ODE的面積。此時，△AOD和△OCE的面積可以利用k的幾何意義直接表示，得到有關k的方程，求出k。這里設的坐標a和b，也是“設而不求”，它們的乘積可看作整體。

五、反比例函數與一次函數的交點問題

例5 如圖4，一次函數y=k1x+b的圖像與反比例函數y=[k2x]的圖像相交于A（2，3），B（6，1）兩點，當k1x+b<[k2x]時，x的取值范圍為（）。

A.x<2 B.2

C.x>6 D.06

【解析】本題要根據函數圖像，利用數形結合思想求不等式的解集。

求不等式k1x+b<[k2x]的解集，其實就是求當一次函數的值小于反比例函數的值時，自變量的取值范圍。從圖像上看，當k1x+b<[k2x]時，即為一次函數的圖像在反比例函數圖像的下方。由圖可知，在點A的左側、y軸右側這部分圖像以及B點的右側的圖像，都是滿足的。所以x的取值范圍為06。故選D。

【點評】如果利用待定系數法求出兩個函數的表達式，再代入不等式，化簡后為一元二次不等式，超出了同學們目前的知識水平。而從圖像出發，根據圖像來求解，則問題便迎刃而解。一般先找到交點，相交時屬于臨界狀態，兩個函數值相等。然后在交點的兩側觀察圖像，根據大小關系，觀察兩個圖像的上下相對位置，從而得出橫坐標的范圍，即為x的范圍。注意雙曲線有兩支，必須考慮全面，不能漏解。本題看似是求不等式解集，實則求自變量的取值范圍，在圖像上即為求點的橫坐標的范圍，利用數形結合思想，將數的問題轉化為圖形問題。

（作者單位：江蘇省常州市外國語學校）