二次函數最值求解的利器

余旭紅

問題一：二次函數圖像的頂點縱坐標是二次函數的最大值還是最小值？

例1 二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點A（-1，0）、B（3，0），求二次函數y=ax2+bx+c的最值（用含a的代數式表示）。

【解析】利用交點式寫出拋物線解析式為y=ax2-2ax-3a，配成頂點式得y=a（x-1）2-4a，那么根據a的正負性，確定二次函數y=ax2+bx+c的最值。

解：設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a。

∵y=a（x-1）2-4a，

∴當x=1時，二次函數有最值-4a。

當a>0時，二次函數有最小值-4a;當a<0時，二次函數有最大值-4a。

【點評】本題考查了二次函數最大值或最小值的求解，解題策略是先根據題目特征用交點式、一般式或頂點式求二次函數的解析式，在自變量的取值范圍是任何實數的情況下：當二次項系數a>0時，二次函數圖像的頂點縱坐標是二次函數的最小值;當二次項系數a<0時，二次函數圖像的頂點縱坐標是二次函數的最大值。

問題二：二次函數圖像開口向上，二次函數有沒有最大值？

例2 已知二次函數y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），當x≥2時，y隨x的增大而增大，且-2≤x≤1時，y的最大值為9，則a的值為（）。

A.1或-2 B.[-2]或[2] C.[2] D.1

【解析】先求出二次函數的對稱軸，再根據二次函數的增減性，得出拋物線開口向上，即a>0。然后由-2≤x≤1時，y的最大值為9，可得x=1時，y=9，即可求出a。

解：∵二次函數y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），

∴對稱軸是直線x=[-2a2a]=-1，

∵當x≥2時，y隨x的增大而增大，

∴a>0，

∵-2≤x≤1時，y的最大值為9，

∴x=1時，y=a+2a+3a2+3=9，

∴3a2+3a-6=0，

∴a=1或a=-2（不合題意舍去）。即a=1。

故選D。

【點評】本題考查了二次函數的增減性。先利用增減性判斷拋物線的開口向上，再根據自變量-2≤x≤1，判斷在拋物線的對稱軸x=-1左側（即當-2≤x≤-1時），由于y隨x的增大而減小，故當x=-2時，y有最大值為3a2+3;在拋物線的對稱軸x=-1右側（即當-1≤x≤1時），由于y隨x的增大而增大，故當x=1時，y有最大值為3a+3a2+3。比較兩種情況的最大值，得出x=1時，y的最大值=a+2a+3a2+3=9，從而成功求解。

問題三：如果拋物線頂點的橫坐標不在自變量的取值范圍內，如何求二次函數最大值或最小值？

例3 已知二次函數y=-（x-h）2（h為常數），當自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應的函數值y的最大值為-1，則h的值為（）。

A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6

【解析】如圖，分h<2、2≤h≤5和h>5三種情況考慮：當h<2時，根據二次函數的性質可得出關于h的一元二次方程，解之即可得出結論;當2≤h≤5時，此時函數的最大值為0，與題意不符;當h>5時，根據二次函數的性質，可得出關于h的一元二次方程，解之即可得出結論。

解：當h<2時，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）。

當2≤h≤5時，y=-（x-h）2的最大值為0，不符合題意。

當h>5時，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6。

綜上所述：h的值為1或6。

故選：B。

【點評】本題考查了在拋物線的頂點橫坐標不一定在自變量的取值范圍內的情況下，如何求二次函數的最大值或最小值。利用二次函數求最大值或最小值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數的開口方向。當開口向下，頂點位于自變量范圍內時，頂點縱坐標為最大值;當開口向下，頂點不位于自變量范圍內時，要求出端點坐標，通過比較端點縱坐標大小來確定最大值;當二次函數開口向上時，也有最大值，直接比較兩個端點縱坐標，大的即為最大值。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區錢清鎮中學）