一道中考題的變式教學

張如碧

[摘? ?要] 通過對一道中考題的變式教學，可以讓學生進一步理解有關知識，掌握解題方法，形成解題技巧，提高解題能力.

[關鍵詞]中考題;變式;教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）11-0009-02

一、教學目標

1. 知識與技能.理解一次函數、二次函數、等腰三角形、直角三角形、線段垂直平分線、圓的性質;會運用待定系數法求函數解析式;掌握特殊角度解直角三角形的方法.

2. 過程與方法.會綜合運用數學知識解決數學問題;掌握疑難問題和變式疑難問題的思維方法;提升邏輯推理能力、運算能力和數學抽象能力.

3. 情感態度與價值觀.理解類比化歸的數學思想;培養和增強學生解決疑難問題的信心.

二、教學重點

運用待定系數法求函數解析式;會綜合運用數學知識解決數學問題;通過解題實踐增強解決疑難問題的信心.

三、教學難點

運用數學知識解決復雜數學綜合問題;提升邏輯推理核心素養.

四、學情分析

學生已掌握待定系數法等解決數學問題的基本方法和技巧;具備一定的綜合運用數學知識解決問題的能力;但邏輯推理能力、運算能力不強，缺乏數學抽象能力和解決數學疑難問題的信心.

五、教學過程

（一）知識鋪墊

復習函數的待定系數法的步驟與方法;特殊角度解直角三角形、勾股定理的方法;等腰三角形、直角三角形的性質.

設計意圖：本題涉及考點內容較多，綜合性強，屬較復雜的解答題，必要的鋪墊能為學生解決疑難問題提供有效幫助.

（二）試題呈現

（2018年廣東省中考題第23題）如圖1，已知頂點為C（0，-3）的拋物線y=ax2+b（a≠ 0）與x軸交于A，B兩點，直線y =x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數y=ax2+b（a≠0）的解析式;

（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

（三）啟發引導

設計層層深入的引導環節，不斷追問、啟發，在解決若干啟發問題過程中相當于逐步分解難點，給出解題的思路暗示，環環相扣，遞進式解決疑難問題.

環節1：觀察直線y=x+m，需待定的系數只有m，怎樣可確定m的值？可否找到此直線經過的點的坐標呢？

設計意圖：詳細審題，從問題出發，展開推理，點C（0，-3）在直線BC上，所以把C（0，-3）代入直線y=x+m中解答即可.初步獲得成功感.

環節2：觀察拋物線y=ax2+b，需待定的系數有a、b，可否找到此拋物線經過的兩個點的坐標呢？

設計意圖：通過環節1中獲得的體驗，本環節繼續從問題出發，找解題所需條件，此時暫時只有C（0，-3）可用，怎樣找出另一個點的坐標？在學生思維發展的最近區域引起思考，符合學生的認知規律，可激發學生繼續探究的興趣.

環節3：有哪個點可通過進一步運算而求出其坐標的？

設計意圖：承接環節2，思考得出第（2）題解題所需條件.由于直線BC的解析式已得出，點B在直線BC上，所以把y = 0代入yBC = x -3中，即可得出B （3，0），再利用待定系數法，用點B，C可確定函數y = ax2 + b的解析式.

以上三個環節的活動中，以問題為導向，層層追問，學生參與其中，循序漸進突破本題重點——待定系數法求函數關系式.

環節4：點M需在拋物線上，且∠MCB=15°時，則點M有可能在哪些位置？

設計意圖：把第（3）題分解，觀察確定點M的位置，點M可能在點B的上方和下方，如圖2所示點M1、M2，給學生以直觀的感受.

環節5：當點M在點B的上方，∠M1CB=15°時，∠OCD的度數是多少？

設計意圖：通過設計環節4，學生有了感性認識，進一步探討∠OCD的度數.由于OC=OB，∠COB=90°，所以△OCB為等腰直角三角形，∠OCB=45°，此時∠OCD=30°，∠ODC=60°.

環節6：如何求出點M1的坐標？

設計意圖：基于環節4、5鋪墊，本環節設計開放式地找條件，提高學生對解直角三角形、函數交點的認識，引導學生發現△OCD為特殊角度直角三角形，解Rt△OCD即可得出點D坐標，用點C、D坐標可得直線BD的解析式，再求出直線BD與拋物線的交點坐標即可確定點M1坐標，從而突破本題難點.

環節7：當點M在點B的下方，∠M2CB=15°時，∠OCE的度數是多少？如何求出點M2的坐標？

設計意圖：類比環節6，點M在點B的上方的解題思路，可得出∠COE = 60°，Rt△OCE為特殊角度直角三角形.先求直線CE的解析式，再求出直線CE與拋物線的交點即可確定M2坐標.學生已形成解題方法模型，本環節放手給學生自主探討，自主完成，能增強學生解決疑難問題的信心.

（四）歸納小結

此題主要考查二次函數內容.掌握待定系數法求二次函數解析式、待定系數法求一次函數解析式等知識是解題關鍵.由已知條件，通過觀察，進一步發現特殊角度的直角三角形，從而求出相關的函數解析式，是解決此疑難問題的突破口.

（五）變式延伸

題目：已知頂點為C（0，-3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數y=ax2+b（a≠0）的解析式.

變式1：拋物線上是否存在點P，使得PA//BC？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計意圖：在原題條件不變的情況下，先進行結論簡易變式，使學生增強解決變式問題的信心.易推理出若PA//BC，則直線PA與直線BC的斜率相等，yPA= x+b，再利用點A坐標即可求得直線PA解析式.

變式2：拋物線上是否存在點P，使得△BCP為直角三角形？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計意圖：在簡易變式后，變式2改變命題結論逐漸復雜.通過原題解題方法模型，推理出∠P1CB = 90°（點P1與點A重合）或∠P2BC = 90°，求出P1、 P2坐標.

變式3：拋物線上是否存在點P，使得△BCP是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

設計意圖：通過前兩次變式，變式3改變命題結論，難度再次遞進.需推理出線段BC的垂直平分線（垂足為點D）與拋物線交點即為P1、P2，而BC的垂直平分線經過點O，解特殊角度直角三角形可得出點D坐標，即可得出OD解析式，求出點P1、P2坐標.

變式4：如圖3，已知經過點C（0，-[3]），點A（-1，0）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=[33]x+m過頂點C和點B.

（1）求m的值;

（2）求函數y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式;

（3）拋物線上是否存在點Q，使得QA//BC？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

設計意圖：前三種變式是通過改變命題結論，形成新命題，有助于學生認識本題的本質內涵.變式4通過改變命題條件，形成新命題，變化的情境問題有助于培養學生的應變能力和邏輯推理能力.

（六）小結與作業

運用微課視頻呈現本題的解題方法模型的形成過程和相關變式題的解題方法模型.學生撰寫本題解題課題報告.

六、教學感悟

針對學生學情，先進行相關知識的鋪墊，再設計引導環節，層層深入，不斷追問、啟發、探討，對重點和難點逐步分解，環環相扣，遞進式解決疑難問題.

歸納原題的解決方法模型，對原題進行多次改編，形成多種階梯式的變式練習，幫助學生把握本題的本質內涵.遵循學生思維發展階段性規律，通過改變命題結論和命題條件，形成新命題，培養學生邏輯推理能力素養，有效提高學生解決問題的能力.

學生存在個體差異，要他們沿著教師的引導而思考，需提前做好預設.結合小組合作學習模式，形成學生學習小組，幫助他們有效思考.

上課前，教師應充分準備引導問題，有效形成下一步變式練習的解題方法模型.變式練習設計應循遵學生思維發展階段性規律，結合具體學情進行設計，并強化訓練.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].3版.北京：北京師范大學出版社，2006.

（責任編輯 黃桂堅）