彭 英 楊 平 柯葉君

(武漢理工大學交通學院1) 武漢 430063) (高性能船舶技術教育部重點實驗室2) 武漢 430063) (華中科技大學土木工程與力學學院3) 武漢 430074)

0 引 言

在極端惡劣海況，以及碰撞、地震等突發事件中，船舶與海洋結構物所承受的環境載荷必須按動態載荷處理.當含裂紋的結構受到動態載荷作用時，由于材料的慣性，載荷以應力波的形式傳播，而應力波與裂紋的相互作用使得動態比準靜態斷裂問題復雜得多，因此，研究裂紋在動態載荷下的起裂、擴展和止裂是一項極具意義及挑戰性的工作.

目前用于模擬裂紋擴展的方法主要有傳統有限元法+自適應網格[1]、虛擬裂紋閉合技術(VCCT)[2]、節點力釋放方法[3]、單元間內聚力模型[4]等.而這些方法都具有一定的局限性，比如，伴隨裂紋擴展必須不斷進行網格重構、裂紋擴展路徑必須預先給定、裂紋只能沿著單元邊界擴展、計算成本偏高等.為了更好的解決這些問題，Belytschko等[5]提出單位分解擴充法， Moёs等[6]隨后引入階躍函數和裂尖函數兩種擴充形函數分別對裂紋面和裂尖進行描述，并稱之為“擴展有限單元法”(XFEM)，繼而Sukumar等[7]又將其延伸至三維裂紋問題.由于XFEM在計算過程中對不連續場的描述可以完全獨立于網格邊界，因此，應用XFEM模擬裂紋擴展時，無需進行網格重構，并可模擬裂紋沿任意路徑擴展.但是，以往有關裂紋擴展方面的研究大多局限于準靜態問題[8-9]，而對于沖擊載荷下裂紋動態擴展的研究，由于問題的復雜性，相關文獻還十分少見.

文中基于XFEM，采用有限元軟件ABAQUS對含斜裂紋矩形板的沖擊破壞過程進行了系列數值模擬研究，并討論了裂紋初始角度、裂紋長度和沖擊載荷形式等參數對裂紋擴展路徑的影響，得到平板斜裂紋動態擴展的一些規律.

1 基本理論

擴展有限元法(XFEM)的基礎是單位分解，通過對標準近似場添加階躍函數和裂尖函數兩種擴充形函數以對未知場進行更精確的描述，見圖1a).由于這種混合增強不易并入瞬態解法中，因此，在動態應用中為避免裂尖增強，使裂尖只在單元邊界之間移動，即每次裂紋擴展都會貫穿整個單元，從而可以只采用階躍增強函數描述不連續場，見圖1b)，其位移場uh(x)為[10]

圖1 二維裂紋中節點擴充方案

2 計算模型

計算模型見圖2，在左邊緣中心位置有一條初始斜裂紋，矩形板寬度2W=100 mm、長度2H=160 mm、厚tp=3 mm，初始裂紋長度a=20 mm，裂紋傾角θ=45°.矩形板材料均勻、各向同性、線彈性，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，最大主應力為100 MPa.矩形板底端固定，頂端受到拉伸階躍載荷p(t)作用，載荷峰值p(0)=80 MPa，持續時間t=50 μs.

圖2 斜裂紋矩形板幾何模型

在ABAQUS軟件中，XFEM計算動態裂紋擴展時并未引入裂尖增強函數，每次裂紋擴展都會貫穿整個單元，為避免因單個時間增量步裂紋擴展距離過大而導致計算誤差，對裂紋可能的擴展區域進行局部網格細化，網格尺寸取為1 mm，見圖3.本文采用四節點四邊形平面應力單元(CPS4)，裂紋面間的接觸行為采用切向無摩擦、法向“硬接觸”，采用牽引分離損傷法(damage for traction separation laws)的最大主應力斷裂準則(maxps damage)，并且采取自動時間步長求解，最大時間步長取為0.5 μs.由于裂紋擴展問題屬于強間斷、強非線性問題，為了提高求解過程的收斂性，取黏性系數為5×10-5，并且增大迭代計算中允許的嘗試步數和每步允許的迭代次數.此外，在模型輸出定義中需要選定裂紋面水平集函數(PHILSM)及裂紋擴展狀態參量(STATUSXFEM)，以在后處理中可以顯示裂紋位置和擴展情況.

圖3 有限元網格模型圖

圖4給出了平板內斜裂紋的擴展過程，圖中的應力云圖為Von Mises應力. 由圖4可見，當矩形板頂端受沖擊載荷作用后，應力波從頂端逐漸向下端傳播，當時間t=14.247 μs時，裂紋開始擴展，起初裂紋擴展較慢，幾個時間步長裂紋才能向前擴展一個單元，長度約為1 mm；當時間t=32.770 μs時，應力波到達底端并發生反射，此后，在應力波與反射波的共同作用下，裂紋擴展速度明顯加快；當時間t=49.056 μs時，裂紋橫向貫穿整個矩形板.

圖4 平板內斜裂紋的擴展過程圖

3 不同影響參數下的裂紋擴展路徑對比

3.1 裂紋初始角度的影響

針對圖2中的計算模型，分別取裂紋傾角θ=15°,45°,75°，其他參數保持不變，采用XFEM計算不同初始角度下的裂紋擴展路徑，裂紋擴展過程中的單元狀態見圖5.由圖5可知，裂紋擴展過程中，路徑會發生微小波動，但基本是按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴展，說明裂紋的初始角度影響不大，不能決定裂紋的擴展路徑.表1為不同初始角度下，裂紋開始擴展的時間(t1)、橫向貫穿矩形板的時間(t2)和貫穿矩形板的時間間隔(Δt).由表1可知，裂紋初始角度越小，裂紋尖端距離矩形板頂部加載端越遠，裂紋開始擴展的時間越晚，但是裂紋橫向貫穿的時間反而越短，這是由于裂紋傾角越小，越接近于Ⅰ型裂紋，在拉伸載荷作用下，裂紋尖端應力集中越大，更加利于裂紋擴展.

圖5 不同初始角度下裂紋擴展過程中的單元狀態

裂紋傾角θ/(°)t1/μst2/μsΔt/μs1515.22147.41432.1934514.24749.05634.8097513.76648.74334.977

3.2 裂紋長度的影響

分別取裂紋長度a=20，15，10 mm，采用XFEM計算各裂紋長度下的裂紋擴展路徑，裂紋擴展過程中的單元狀態見圖6.由圖6可知，隨著裂紋長度變短，裂紋擴展路徑的波動性減小，但是仍然基本按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴展，說明改變裂紋長度不會使裂紋的擴展路徑發生顯著變化.表2為不同裂紋長度下，裂紋開始擴展的時間、橫向貫穿矩形板的時間和貫穿矩形板的時間間隔.從表中可以看出，裂紋長度越短，裂紋尖端距離矩形板頂部加載端越遠，裂紋開始擴展的時間越晚，但是裂紋橫向貫穿的時間反而越早，說明隨著裂紋長度變短，裂紋擴展的速度變快.從裂紋張開吸收能量的角度考慮，這是由于裂紋越短，其所能吸收的能量越小，當受同樣的沖擊載荷作用時，裂紋更容易發生擴展.

圖6 不同長度下裂紋擴展過程中的單元狀態

裂紋長度a/mm t1/μst2/μsΔt/μs2014.24749.05634.8091514.54147.99733.4561015.54146.46330.922

3.3 載荷形式的影響

為了進一步研究裂紋的動態擴展特征，將載荷形式由階躍載荷改為三角形載荷，但總沖量保持不變，見圖7.針對圖2中的計算模型，圖8為三角形載荷下裂紋擴展過程中的單元狀態圖.

圖7 三角形沖擊載荷

圖8 三角形載荷下裂紋擴展過程中的單元狀態

由圖8可知，三角形沖擊載荷作用下，裂紋相比階躍載荷更穩定、更趨于按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴展，說明載荷總沖量如果保持不變，改變載荷形式不會使裂紋的擴展路徑發生顯著變化.表3為不同載荷形式下，裂紋開始擴展的時間、橫向貫穿矩形板的時間和貫穿矩形板的時間間隔.從表中可以看出，三角形沖擊載荷下，裂紋開始擴展的時間比階躍載荷晚，但是裂紋擴展的速度遠比階躍載荷快，裂紋起裂后不久將橫向貫穿矩形板.

表3 不同載荷形式下裂紋開始擴展和貫穿的時間

4 結 論

1) XFEM用擴充的帶有不連續性質的形函數基來代表單元內部的間斷，在計算過程中，不連續場的描述完全獨立于網格邊界，可以在規則網格上模擬裂紋沿任意路徑擴展而無需對模型進行網格重構，處理斷裂問題具有極大優勢.

2) 平板斜裂紋基本是按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴展，改變裂紋初始角度、裂紋長度和沖擊載荷形式不會對裂紋擴展路徑產生顯著影響，但是對裂紋擴展速度會有明顯影響.裂紋傾角越小，裂紋開始擴展的時間越晚，擴展速度越快；裂紋越長，裂紋開始擴展的時間越早，擴展速度反而越慢；在載荷總沖量保持不變的情況下，三角形載荷比階躍載荷起裂晚，裂紋擴展速度更快.