秒殺“多次相遇問題”

一提到“行程問題”，你的大腦第一時間檢索到的是……追擊？相遇？還是“路程=速度×時間”？但是……如果速度難測、時間不明，更加絕望的是出發(fā)的兩人（或多人）相遇再相遇……看到這里的你，是不是已經(jīng)在心里暗暗打起了退堂鼓？

此時放棄為時過早！你只需要：根據(jù)題目中所給的有效信息，畫圖！

5月3日 星期五 天氣：晴

今天的課上，老師給我們出了這樣一道題：

甲、乙兩列火車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地75千米處相遇。相遇后兩列火車繼續(xù)前進，到達目的地后都立刻返回，第二次相遇在離B地55千米處。求A、B兩地間的路程。

看完題目，同學們像霜打的茄子似的，一個個耷拉著腦袋，低頭數(shù)螞蟻。

“老師，這道題既沒有給出甲、乙的速度，也沒有交代相遇時間，怎么求路程啊？”班長這一問，問出了全體同學的心聲。我們“唰”地抬頭看向老師，果然聽老師說道：“雖然題目里沒給速度和時間，但我們可以借助線段圖來分析，這種題就是較復雜的行程問題——‘多次相遇問題’。”

老師的話就像一根導火索，徹底激發(fā)了我們的“創(chuàng)作”熱情……我也靜下心來，細細讀起題目，根據(jù)所給有效信息……唰唰唰……畫出線段圖……

看著自己畫出的線段圖，我興奮地喊道：“老師，老師，我解出這道題了！”說完，在老師的點頭示意下，我自信滿滿地走上講臺，把線段圖投影在大屏幕上，說道：“圖中實線表示甲火車行駛的路程，虛線表示乙火車行駛的路程。”

根據(jù)線段圖可以看出：

第一次相遇時，兩車行駛的路程和是一個AB距離;

第二次相遇時，兩車行駛的路程和是三個AB距離。此時，甲行駛了一個全程還多55千米。

當甲、乙兩車共行駛一個A、B兩地間的距離時，甲車行駛了75千米;當它們共行駛?cè)齻€A、B兩地間的距離時，甲車就行駛了3個75千米，即75×3=225（千米）。而這225千米比一個A、B兩地間的距離多55千米，可得：

A、B兩地的距離是：225-55=170（千米）。

“原來如此！”看著同學們恍然大悟的樣子和老師向我投來的贊許的目光，我的心里充滿了成就感。

解決這道題的關鍵在于—

①找出“幾個全程”;

②找出甲或乙行駛的路程與“全程”的關系。

教室里的爭吵

5月7日 星期二 天氣：晴

六（7）班 秦奮

午后，懶洋洋的陽光照進教室，把我照得昏昏欲睡……突然，一陣爭吵聲從教室后排響起……

我回頭一看，只見數(shù)學課代表和學習委員不知因為什么爭得面紅耳赤……正當我要上前詢問的時候，數(shù)學老師拎著教具走了進來。還沒等數(shù)學老師站定，數(shù)學課代表就先聲奪人：“老師，上午您留的題目，答案是什么？”

“對！對！老師，您快說！”學習委員也催促道。

“既然同學們這么迫不及待，就讓課代表和學委給我們講講吧！”說完，數(shù)學老師打開多媒體，放出題目：

小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追擊也算相遇），則甲、乙兩地的距離是多少千米？

“老師，我先來！”課代表挑釁地看了學委一眼，大步走向講臺，畫出線段圖：

兩人第一次在A處相遇，第二次在B處相遇。

第一次相遇時，兩人合走1個全程，小王走了3千米;從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個全程，所以這期間小王走了3×2=6千米。由于A、B之間的距離也是3千米，所以B與乙地的距離為（6-3）÷2=1.5千米，甲、乙兩地的距離為6+1.5=7.5千米。

聽完課代表的答案，雖然沒錯，可是……兩人同時出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇……但第二次相遇……

“老師，我有不同答案！”學委一句話打斷了我的思緒，只見他走上講臺，畫出另一個線段圖：

兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回，在B處追上小王。在這個過程中，小王走了6-3=3千米，小李走了6+3=9千米，兩人的速度比為3 ： 9=1 ： 3。所以第一次相遇時小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為9+3=12千米。

果然如我所料！“老師，我也有話要說！”在老師的點頭示意下，我站起來說道：“其實，課代表和學委的答案都是對的！兩人同時出發(fā)相向而行，第一次相遇一定是迎面相遇;但是……本題中追上也算相遇，所以兩人第二次相遇可能是課代表的答案——迎面相遇，也可能是學委的答案——同向追及！所以甲、乙兩地的距離既是7.5千米，也是12千米。”

“三位同學說得非常好！同學們記住：審題時一定要找出所有有效信息，這樣給出的答案才能全面，不扣分！”

柳卡圖遇上相似三角形

5月18日 星期六 天氣：晴

六（7）班 黃星睿

又到周末，爸爸媽媽帶我去看望外婆。

媽媽為了減肥，堅決步行去。這不，自知速度慢，早早就出發(fā)了;

我決定低碳出行，騎“敞篷”自行車。在媽媽出發(fā)1小時后也出門了;

爸爸“懶蟲”一個，準備開他的四輪轎車，比我還晚出發(fā)了45分鐘。

我一路用力蹬，追趕媽媽，好不容易看到了媽媽健步如飛的背影。追上媽媽時，我大喊：“媽媽加油啊！我到外婆家等你哦！”話音剛落，一陣喇叭聲從我身邊呼嘯而過，原來爸爸也正好追上了我們倆。爸爸搖下車窗，喊道：“我到外婆家等你們哦！”真巧，我們居然在同一點相遇。我繼續(xù)用力蹬腳踏板，等我到達外婆家時，爸爸正向我這邊打著眼罩張望著呢！我坐下后掐著時間，24分鐘后，媽媽終于到了。

“老黃，你比我早到幾分鐘啊？”爸爸剛想回答，又停住了，轉(zhuǎn)身問我：“你知道我比你和媽媽分別早到多長時間嗎？”

“這我哪知道啊？我是在爸爸后面到的啊！”說完，看著爸爸挑釁的目光，一時沖動接受了挑戰(zhàn)！我拿紙和筆把條件羅列了了下來，除了知道我們比彼此晚多少時間出發(fā)以外，我毫無頭緒。

或許我可以畫個圖試試？我邊畫邊想……有了，用可以標示每個時間點和路程點的柳卡圖試一試，一定會有新發(fā)現(xiàn)的。

從圖上可以找到兩對相似的三角形，它們的三個角的度數(shù)都是相等的，它們相對應的邊長對比也應該是相等的。

“呵，不錯嘛，這個方法好！沒想到行程方面的問題還可以通過圖形關系和比例的知識來解答。咱們小睿數(shù)學功底還是很牛的哦！”爸爸摸著我的頭夸贊道。

“這可是大數(shù)學家柳卡發(fā)明的最神奇的圖，能解決很多特別復雜的多次相遇問題，我今天變通了一下而已。”我驕傲地說。“哈哈，還是我的外孫最聰明！走，讓外婆給你做最愛吃的紅燒肉補補腦。”外婆走過來拉起我的手，喜悅之情溢于顏面……

設爸爸比我早到x分鐘，

根據(jù)這個長度比相等的關系，列出比例方程：

60：24=45：x。

解得x=18。

也就是爸爸比我早到了18分鐘，

比媽媽則早到18+24=42（分鐘）。

“柳卡圖”解題步驟：

①畫出時間—距離圖

②畫上密密麻麻的交叉線，按題目要求數(shù)交點個數(shù)。

折線示意圖能清晰地體現(xiàn)運動過程中“相遇的次數(shù)”“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”。

注意：使用“柳卡圖”，需要明確每個物體走完一個全程時所用的時間。