找準不變量，巧解濃度難題

小聰明最愛喝可樂了，那甜甜的味道、沙沙的口感總能把他的抵抗力降到最低。這可愁壞了父親大聰明，既不能斷了小聰明的唯一樂趣，也不想讓他喝太甜的。沒辦法，只好請老聰明出馬。老聰明想到一個好主意：對市場上幾種可樂進行大PK，給小聰明評選出含糖最少的可樂！

可樂大PK，PK的就是可樂中糖的含量，也就是糖的濃度問題。

濃度問題屬于百分數應用題中的一種。學習濃度問題，首先要弄清楚幾個概念：溶質、溶劑、溶液和濃度四個最基本的概念。

溶質：就是溶解在溶劑里的物質，鹽水中溶解在水中的鹽就是溶質;

溶劑：就是溶解溶質的液體或氣體，水就是溶劑;

溶液：就是溶質和溶劑的混合物，鹽溶解在水中，最后形成的鹽水，就稱為溶液。

濃度：就是溶質在溶液里所占質量的比例。

隨后，老聰明給出了這四個數量之間的數量關系和計算公式：

溶液質量=溶質質量+溶劑質量

濃度=溶質質量÷溶液質量×100%

溶液質量=溶質質量÷濃度

溶質質量=溶液質量×濃度

“去吧！絕大部分濃度問題都是利用這幾個基本公式來解題的。只要記住這些，解決區區濃度問題根本不在話下。”

12月6日 星期五 天氣：晴

“我愛數學。英語也許會欺騙我，語文也許會折磨我，但數學不會。數學不會就是不會！”張啟銘同學搖頭晃腦，像是受了什么刺激，走一步念叨一句。

“喂！小銘，怎么了？”我打趣道，“讓人煮了？”

“沒錯，就是數學題這個討厭的‘廚子’，煎、烤、烹、炸給我來了個遍。”啟銘就像抓到救命稻草一樣，雙眼放光，對著我大吐苦水。

“我明白了！哈哈！”我大笑起來，“來來來，讓我看看這個‘數學廚師’長什么樣子？我來幫你收拾它。”

數學廚師

有一瓶200克的糖水，糖的質量占糖水的20%，加了一些水后，糖的質量占糖水的12.5%。問：加了多少克水？

“原來是一道濃度問題。”為了避免他以后再次被其他‘數學廚子’當盤菜給炒了，我決定一點一點解決這個難題。“你知道這道題中的糖、糖水、水分別代表濃度問題中的什么嗎？”

“糖是溶質、水是溶劑、糖水就是溶液。”小銘說道，“可溶液發生了變化，根本沒辦法直接帶入到公式進行計算。”

“沒錯，你已經找到問題的關鍵了。”我娓娓道來，“濃度問題是比較復雜的分數應用題，這復雜就復雜在許多量前后都發生了變化，一個數量的變化往往引起另一個數量的變化。”

“但是，會存在一個不變量，這就是解題的關鍵。”我繼續說到：“像這道題，200克糖水加入一定量水后，水和糖水的質量都增加了，但糖的質量是沒有變化的。根據這一特點可以先求出糖的質量，再根據加水后含糖的濃度計算加水后糖水的質量，最后前后糖水的質量一減，就是加水的質量了。”

小銘恍然大悟，立刻計算起來：

糖的質量=糖水的質量×糖水含糖的濃度=200×20%=40克，

加水后糖水的質量=糖的質量÷加水含糖率=40÷12.5% = 320克，

加的水=加水后糖水的質量-加水前糖水的質量=320-200=120克。

“再也不用怕數學廚師嘍！”小銘一臉興奮地回答。“現在，我還要再找幾個數學廚師好好較量一下呢！”

12月20日 星期五 天氣：暴風雪

“誰也別攔著我，我跟他拼了。”“來來來，今天我不把你打得桃花朵朵開，你就不知道花兒為什么這樣紅！”

我剛從外面回來，就看到鬧哄哄的班級里，澤汶和鄭浩倆人擼胳膊挽袖子，摩拳擦掌地要打架。

我立刻殺入沖突的旋渦，詢問原因：好嘛！原來是因為一道數學題。

“真是國不可一日無君啊，我這‘十道杠大班長’一會兒不在，就鬧出這么大亂子。”我也擼胳膊挽袖子，“來來來，說說是什么數學題。”

有30克濃度為20%的糖水，用什么辦法能讓糖水中糖的濃度變為40%？

“加糖！”“蒸發水！”“加糖！！”“蒸發水！！”“加糖！！！”“蒸發水！！！”

“好了，好了。”我無奈地阻止兩個人的打鳴比賽，“有理不在聲高。你們倆來算一算，加糖的要加多少克？蒸發水的要蒸發多少克？誰的答案正確就聽誰的。”

加糖后，糖的質量和糖水的質量都增加了，但水的質量并沒有改變。

解：原來糖水中水的質量：30×（1-20%）=24克;

現在加糖后糖水的質量： 24÷（1-40%）=40克;

加入糖的質量： 40-30=10克。

我的答案是：需要加入10克糖。

解：蒸發前糖的質量：30×20%=6克;

蒸發后糖水的質量： 6÷40%=15克;

蒸發水的質量： 30-15=15克。

我的答案是：需要蒸發15克水。

“哈哈，不錯嘛！你們倆算的完全正確！”“所以，還是應該加糖！”“應該蒸發水！”

我這下可是徹底無語了，只能看著打鳴比賽再一次拉開大幕。“加糖！”“蒸發水！”“加糖！！”“蒸發水！！”……

12月25日 星期三 天氣：晴

“Jingle bells，Jingle bells，Jingle all the way……”伴隨著圣誕歌聲響起，我在床上一個鯉魚打挺，直奔客廳！

“禮物呢？圣誕禮物呢？”我興奮得滿屋打轉，尋找老爸去年答應過我的高達機器人。

“你爸爸一早去上班了。”媽媽從廚房探出頭來，“他把禮物藏在家里某個地方了！”

“藏？藏哪兒了？”我郁悶地抱起肩膀，“哼！”

媽媽笑盈盈地走出來，說：“爸爸給你留了字條，解開字條上的謎題。就能從我這兒獲得禮物的線索。”

“又想套路我做題，門兒都沒有。”我不信邪地滿屋子翻找起來。本以為憑借我的聰明才智應該很輕松就能找出爸爸藏起來的禮物，誰想道高一尺魔高一丈……把屋子翻了個底朝天，卻連禮物的影子都沒見到。

沒辦法，我只好妥協來尋求線索。

爸爸留下的字條：

甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種濃度的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中。現在丙管中的鹽水的濃度為0.5%。最早倒入甲管中的鹽水濃度是多少？

“果然是老爸，這題可真不簡單。”我一拿到題，立刻被這題的難度震驚了，“最早的鹽水經過三次混合后，無論是溶液、溶質、溶劑、濃度都發生了變化，很難再依靠找出不變量來解題了。”

不過，現在知道丙管中鹽水的濃度和溶液的質量，我就可以利用倒推法：

① 混合后甲、乙、丙3個試管中應有的鹽水分別是20克、30克、40克。可以先求出現在丙管中鹽的質量。

② 又因為丙管中原來只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。就可求出乙管里30克鹽水中鹽的質量。

③ 而乙管里的鹽又是從混合了10克鹽水中的甲管里取出的，由此可以求出甲管里20克鹽水中鹽的質量。

④ 最后，甲管里的鹽就是最初倒入甲管中鹽水的鹽，最早鹽水中鹽的濃度也就解開了。

分析完畢，我立刻拿出筆計算起來。

解：丙管中鹽的質量：

（30+10）×0.5%=0.2（克）;

倒入乙管后，乙管中鹽的質量：

0.2×{（20+10）÷10}=0.6（克）;

倒入甲管，甲管中鹽的質量：

0.6×{（10+10）÷10}=1.2（克）;

最初10克鹽水鹽的濃度：1.2÷10=12%。

“所以，最早倒入甲管中的鹽水濃度是12%。”我興奮地找媽媽論功行賞，“快把禮物的線索交出來吧！”

話音剛落，就看到媽媽笑盈盈地從身后拿出一個大盒子，說：“其實，高達機器人已經恭候你多時了。”

現在，去市場上買幾瓶不同品牌的可樂，算一算哪種含糖量最低，幫小聰明一家解決可樂難題吧！