考慮價(jià)格外生時(shí)的易逝品動(dòng)態(tài)廣告最優(yōu)投入控制模型

薛木森

摘要：本文研究了在以逝品企業(yè)產(chǎn)品價(jià)格外生時(shí)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)廣告投入策略，考慮了廣告投入的長遠(yuǎn)影響。建立了以廣告投入策略為決策變量的最優(yōu)控制模型，并且考慮了企業(yè)的預(yù)算約束。利用極大值原理得到了計(jì)劃周期內(nèi)的最優(yōu)的廣告投入策略。最后給出了數(shù)值算例，驗(yàn)證了模型的有效性。

Abstract： In this paper， a dynamic advertising model is constructed with exogenous price and considering the long effect of advertising on firms' profits and budget constraints. The demand function is determined on the exogenous price and the goodwill of products. The optimal advertising strategy is obtained by solving an optimal control model with maximum principle. Finally， a numerical example is given to illustrate effectiveness of this method.

關(guān)鍵司：價(jià)格外生；動(dòng)態(tài)廣告；最優(yōu)控制

Key words： exogenous price；dynamic advertising；optimal control

中圖分類號(hào)：F713.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2019）02-0024-03

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的程度越來越高，企業(yè)之間的競爭也越來越激烈。在激烈的市場競爭中，企業(yè)要想獲得較高的市場份額， 就必須依靠產(chǎn)品創(chuàng)新，不斷提高產(chǎn)品的競爭力。那么，怎樣讓消費(fèi)者知曉新產(chǎn)品，接受新產(chǎn)品？這就需要一種重要的營銷手段——廣告。

企業(yè)的銷量主要有兩個(gè)因素決定：一是企業(yè)所占的市場份額；二是產(chǎn)品的銷量。影響這兩個(gè)因素的主要是產(chǎn)品的價(jià)格和企業(yè)的廣告。廣告投入決策是企業(yè)重要的決策之一。對企業(yè)而，廣告具有良好的經(jīng)濟(jì)功能。作為企業(yè)一項(xiàng)重要的營銷手段，廣告不僅能夠讓更多的消費(fèi)者知曉產(chǎn)品，指導(dǎo)消費(fèi)者購買產(chǎn)品，還能提高企業(yè)的品牌聲譽(yù)，增加銷售量，同時(shí)，企業(yè)又能夠根據(jù)需求狀況安排生產(chǎn)，使企業(yè)產(chǎn)生長期的收益。因此，企業(yè)為了取得良好的收益，都會(huì)投入大量的廣告費(fèi)用。例如，在食品行業(yè)，特別是飲料行業(yè)，百事公司在中國投入“藍(lán)色風(fēng)暴”系列產(chǎn)品的廣告耗資億元[1]。廣告的投入成本也是企業(yè)主要的成本之一。這樣，確定未來一段時(shí)間內(nèi)的最佳的廣告投入，也就成為企業(yè)一個(gè)非常重要的決策。

對于最優(yōu)廣告投入的研究已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，并且有些研究成果已經(jīng)成為企業(yè)做出廣告投入決策時(shí)重要的參考依據(jù)。Vidale和Wolfe（1957）提出了廣告銷量的動(dòng)態(tài)模型。這類動(dòng)態(tài)廣告模型稱為VW廣告模型。VW 模型假設(shè)企業(yè)的廣告投入可以增加企業(yè)的銷售量，運(yùn)用最優(yōu)控制方法對企業(yè)的廣告投入決策進(jìn)行了優(yōu)化。Nerlove和Arrow（1962）提出了廣告影響企業(yè)商譽(yù)的動(dòng)態(tài)廣告模型，這類動(dòng)態(tài)廣告模型又稱為NA廣告模型。NA廣告模型假設(shè)企業(yè)的廣告投入可以增加企業(yè)的商譽(yù)，企業(yè)的商譽(yù)可以增加產(chǎn)品的需求。以極大化企業(yè)的收益為目標(biāo)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制方法對企業(yè)的廣告投入進(jìn)行了優(yōu)化。張勤生和孟廣燕（2004）在消費(fèi)者行為分析和廣告作用原理分析的基礎(chǔ)上，利用動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制理論，研究了信息型廣告和品牌廣告投入比率的確定和廣告的最優(yōu)投入策略。Grosset和Viscolani（2009）在 NA廣告模型中考慮了廣告的投入對企業(yè)的商譽(yù)可能會(huì)產(chǎn)生負(fù)面作用，廣告投入對商譽(yù)產(chǎn)生的負(fù)面作用的可能原因?yàn)槠髽I(yè)的零售商進(jìn)行的一些打折促銷廣告所引起的。他們研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)副作用較小時(shí)，存在最優(yōu)的廣告投入決策，而一旦副作用足夠大，那么不存在最優(yōu)的廣告投入。聶佳佳和熊中楷（2008）運(yùn)用NA模型研究了廣告影響需求下的壟斷企業(yè)的定價(jià)和廣告聯(lián)合決策模型。Xiong和Nie（2009）、聶佳佳和熊中楷（2006，2009）、熊中楷等（2009）以及聶佳佳等（2008）研究了廣告影響需求下的價(jià)格和廣告聯(lián)合決策模型。

上述廣告投入策略都是在廣告投入預(yù)算沒有約束的情況下獲得最佳的廣告投入策略。然后，在實(shí)際中，企業(yè)用于廣告的投入不能無限大，都存在預(yù)算約束。Sethi（1977）研究了廣告預(yù)算約束的問題。他發(fā)現(xiàn)，預(yù)算約束較大時(shí)，不會(huì)影響企業(yè)的廣告投入決策，但是預(yù)算約束較小時(shí)，會(huì)影響企業(yè)的廣告投入決策。可見，在企業(yè)確定最優(yōu)廣告投入決策時(shí)，不能夠忽略預(yù)算約束的影響。本文將考慮預(yù)算約束的影響和產(chǎn)品價(jià)格外生時(shí)，在給定的計(jì)劃周期內(nèi)，以極大化企業(yè)的收益為目標(biāo)，建立廣告投入的最優(yōu)控制模型，求解最優(yōu)的廣告投入策略，為企業(yè)決策提供參考。

1 模型描述

圖1給出了不同階段的廣告策略。

從圖中可以看到，銷售階段開始時(shí)，由于產(chǎn)品的商譽(yù)較低，因此，企業(yè)必須投入較多的廣告，迅速地提高產(chǎn)品的商譽(yù)，以增加產(chǎn)品的需求量。隨著銷售周期的延長，市場逐漸成熟，企業(yè)可以逐漸的減少廣告的投入量，以減小由廣告投入帶來的成本。利用這個(gè)最優(yōu)的控制策略，通過式（3）就可以計(jì)算出計(jì)劃周期內(nèi)的最大總利潤為8703.4597。

4 結(jié)論

由于受傳統(tǒng)廣告模型結(jié)論的影響和缺乏實(shí)證性分析，許多企業(yè)將廣告的投入量視為一個(gè)常數(shù)值，在進(jìn)行廣告投入決策時(shí)，沒有考慮廣告的對需求和收益的長遠(yuǎn)影響。本文研究了在企業(yè)產(chǎn)品價(jià)格外生時(shí)的動(dòng)態(tài)最優(yōu)廣告投入策略，考慮了廣告投入的長遠(yuǎn)影響。建立了以廣告投入策略為決策變量的最優(yōu)控制模型，并且考慮了企業(yè)的預(yù)算約束。利用極大值原理得到了計(jì)劃周期內(nèi)的最優(yōu)的廣告投入策略。最后，給出了一個(gè)數(shù)值算例，驗(yàn)證了模型的合理性。

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