基于頻率分布直方圖的應用視角

基于頻率分布直方圖，有圖表有數據，有效考查直觀想象、數學分析，以及數學運算等核心素養，成為高考命題中的基本知識點之一。下面利用頻率分布直方圖的場景創設，就其不同的應用視角進行實例剖析。

一、中位數與百分位數的確定

例1 （多選題）某學校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強學生的國防意識，組織了一次“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，對100名學生的參賽成績進行統計，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，為進一步了解學生的答題情況，通過分層隨機抽樣，從成績在區間[70，90）內的學生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績進行分析，下列結論正確的是（ ）。

A.頻率分布直方圖中的x=0.03

B.估計100名學生成績的中位數是85

C.估計100名學生成績的80% 分位數是95

D.從6人中先后抽取2人進行分析時，若先抽取的學生成績位于[70，80）內，則后抽取的學生成績在[80，90）內的概率是4/15

解：對于A，由學生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10×（0.005+0.01+0.015+x+0.04）=1，解得x=0.03，A 正確。對于B，由（0.005+0.01+0.015）×10=0.3lt;0.5，（0.005+0.01+0.015+0.03）×10=0.6gt;0.5，可知中位數位于[80，90）之間，所以中位數為80+0.5-0.3/0.3 ×10≈86.7，B錯誤。對于C，80%分位數約為90+0.8-0.6/0.4 ×10=95，C 正確。對于D，在被抽取的學生中，成績在區間[70，80）和[80，90）內的學生人數之比為10×0.015/10×0.03 =1/2，所以在[70，80）中抽取了2人，在[80，90）中抽取了4 人。若先抽取的學生成績位于[70，80）內，則第二次抽取時，是在其余5個人中抽取，此時學生成績在[80，90）內的個數為4，所以概率為4/5，D不正確。應選AC。

總結提煉：注意中位數是百分位數的一個特例，中位數左邊和右邊的小矩形的面積和相等。

二、樣本平均數與方差的求解

例2 從某企業的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得到的頻率分布直方圖，如圖2所示。

（1）求這500件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差s2（同一組數據用該區間的中點值作代表）。

（2）產品質量指標值在185與215之間的每個盈利200元，在175與185或215與225之間的每個虧損50元，其余的每個虧損300元。該企業共生產這種產品10000個，估計這批產品可獲利或虧損多少元。

解：（1）由題意可得，樣本平均數x =（170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+210×0.024+220×0.008+230×0.002）×10=200，樣本方差s2 =（170-200）2 ×0.002×10+（180-200）2 ×0.009×10+ （190-200）2 ×0.022×10+（200-200）2 ×0.033×10+（210-200）2 ×0.024×10+ （220-200）2 ×0.008×10+（230-200）2×0.002×10=150。

（2）由頻率分布直方圖可知，質量指標值在[185，215）的頻率為（0.022+0.033+0.024）×10=0.79，質量指標值在[175，185）和[215，225）的頻率為（0.009+0.008）×10=0.17，質量指標值在[165，175）和[225，235]的頻率為0.002×2×10=0.04，所以（200×0.79-50×0.17-300×0.04）×10000=1375000（元）。故10000件產品獲利1375000元。

總結提煉：在頻率分布直方圖中，平均數等于各組區間的中點值與對應頻率的乘積的和，方差s2 =（x1 -x）2 ×f1 +（x2 -x）2 ×f2+… + （xn -x）2 ×fn ，其中xi （i=1，2，…，n）表示小矩形的底邊中點的橫坐標，fi（i=1，2，…，n）表示各個小矩形的面積（即頻率），x 是樣本數據的平均數。

三、統計中的決策與判斷

例3 某公司新研發一種電子產品，準備從甲、乙兩個代加工廠中選擇一個進行生產，為此先讓甲、乙兩個代加工廠分別試生產20件產品，通過檢測，將甲工廠試生產產品的質量分數（單位：分）按照[88，90），[90，92），[92，94），[94，96），[96，98），[98，100]分組，得到頻率分布直方圖，如圖3所示，乙工廠試生產產品的質量分數分別為86，89，89，90，90，92，92，93，93，93，93，93，93，93，95，95，95，98，98，100。已知產品質量越好，質量分數越高。以頻率估計概率，以樣本估計總體。

（1）已知甲工廠試生產產品的質量分數的方差為7.29，乙工廠試生產產品的質量分數的平均數為93，判斷該公司應該選擇哪個工廠進行生產，并說明理由（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）。

（2）現將質量分數低于92分的產品定為二等品，質量分數不低于92分的產品定為一等品，已知每生產一件二等品的利潤為300元，每生產一件一等品的利潤為400元，請估計（1）中選擇的工廠生產一件產品的利潤。

解：（1）甲工廠試生產產品的質量分數的平均數為0.1×89+0.2×91+0.3×93+0.2×95+0.15×97+0.05×99=93.5，甲工廠試生產產品的質量分數的方差為7.29。

乙工廠試生產產品的質量分數的平均數為93+1/20×（-7-4-4-3-3-1-1+2+2+2+5+5+7）=93，乙工廠試生產產品的質量分數的方差為1/20× [（86-93）2 +2×（89-93）2+2×（90-93）2+2×（92-93）2+7×（93-93）2 +3×（95-93）2 +2×（98-93）2+（100-93）2]=10.6。

因為甲工廠試生產產品的質量分數的平均數大于乙工廠，且甲工廠試生產產品的質量分數的方差小于乙工廠，所以選擇甲工廠。

（2）甲工廠每生產一件產品是二等品的概率為2×（0.05+0.1）=0.3，所以一等品的概率為1-0.3=0.7，所以估計甲工廠生產一件產品的利潤為300×0.3+400×0.7=370（元）。

總結提煉：統計中的決策方案，一般是將統計中樣本的平均值或方差的大小關系進行比較，從而得以科學決策。

作者單位：江蘇省宜興市丁蜀高級中學

（責任編輯 郭正華）