Kalman 濾波在ECT 圖像重建中的應用

文/霍啟正

ECT 技術發展于上個世紀80年代，根據電容在通電時可以產生電磁場原理對工業管道中多相流體進行在線監測，在不接觸管道內部流體情況下能夠進行監測而且成本低的優點，為現代工業生產中多相流體的在線測量提供了一種新的測量方式。

ECT 技術主要分為兩個問題：正問題和反問題。解析法及數值計算法為求解前者的主流方法。反問題是ECT 圖像重建最為關鍵的問題，這是比較突出的病態求解問題，該問題制約了ECT 的發展。ECT 圖像重建算法主要包括兩大類：代數法和迭代法。代數法主要有線性反投影算法(LBP)、Tikhonov 正則化算法等；迭代算法包括Landweber 迭代算法、Kalman 濾波迭代算法等。代數類算法可以保證圖像重建的實時性，迭代類算法可以增強圖像重建精度。為提高ECT 圖像重建質量，本文提出了一種在采集的原始數據中添加5%、10%和15%的高斯白噪聲，然后分別使用Landweber 算法和Kalman 濾波算法進行圖像重建。

1 成像原理

電容層析成像技術是近年來一種成本低，操作簡單具有很高實用性的成像技術。ECT系統如圖1所示。

ECT 系統可以分為三部分：

（1）電容傳感器，一般有8 電容，12 電容和16 電容空間敏感陣列電極；

圖1：ECT 系統原理框圖

圖2：加入5%的噪聲成像

（2）數據采集系統，采集系統進行測量域的電容值獲取，并將模擬信號轉變為數字信號，發送至計算機處理端；

（3）圖像重建系統，采用相適的圖像重建算法，對被測對象某一截面的圖像有針對性的重建。圖像在重建過程中可以進行進一步的分析調整，并實現對其它參數的測量記錄。

2 圖像重建算法

ECT 系統模型如式（1）所示：

式中，C 為電容測量值，S 為靈敏度系數矩陣，G 為圖像灰度矩陣，M 為獨立測量數，N 為場域內剖分網格單元數，ε 為系統以及環境所存在的噪聲。

2.1 Landweber算法

Landweber 迭代算法基于最速下降法選擇負梯度方向為迭代方向，其法迭代公式為：

式中，Gk為第k 步迭代的圖像灰度值，G0即為圖像灰度原始值（該值經由靈敏度系數法得出），α 為迭代因子。

2.2 Kalman濾波算法

Kalman 濾波是一種最優估計方法，準則依據是選取最小均方誤差為標準，在此基礎上建立狀態空間模型，模型與信號、噪聲相關聯，通過前一時刻的狀態預測值和當前時刻的測量值來實現對當前時刻狀態值的估計。將Kalman 濾波算法應用到ECT 圖像重建上所建立的狀態方程如式（3）所示：

式中，Gk為第k 步迭代的圖像灰度值，Gk-1為前一步迭代圖像灰度值。

由式（1）可以了解到圖像灰度與電容測量值的狀態方程如式（4）所示：

Ck為k 時刻的歸一化電容測量值，Gk為k 時刻的圖像灰度值，εk為作為k 時刻監測到的噪聲，在實驗環境中一般用協方差矩陣R表示，可以近似認為不變。Kalman 濾波算法的ECT 圖像重建方程組為：

表1：空間成像誤差（SC）

表2：相關系數（CC）

圖3：加入10%的噪聲成像

圖4：加入15%的噪聲成像

式（5-7）中，P 為最小均方誤差矩陣，K為濾波增益矩陣。

在已知R 的情況下，給定初始值G0和P0，根據k 時刻的觀測矩陣Ck遞推出k 時刻的狀態估計值。一般將非迭代算法的成像結果作為初始值G0，或者簡單的取0。由于對第一次估計的估計均方誤差P0沒有先驗值，一般取一個較大的常數矩陣。

Kalman 濾波算法的ECT 圖像重建有兩個過程：預測和校正。預測過程估計當前公式（5）的圖像灰度值和公式（8）的誤差方差矩陣，作為下一時刻的先驗估計信息；核對糾正過程建立在先驗估計的基礎上，校正時也會會對比當前時刻電容值。通過兩個數值的對比可以推出圖像灰度最優時的預測值。

3 仿真實驗及結果分析

本文采用Landweber 算法以及Kalman 濾波算法進行ECT 圖像重建。仿真過程中，以油/氣兩相流為研究對象，設定了三種典型流型進行仿真實驗，并分別命為名流型a、流型b 流型c。第一種考察重點在探究重建算法對位于管道壁和中心單一流型的重建效果，第二種考察對于復雜流型的重建效果，最后一種則重點考察對于在有其他流型影響下的管道中心靈敏度的成像效果。搜集參考數據可知油、氣的相對介電常數（油為2.6、氣為1），輸入相關參數使用COMSOL 有限元軟件測得測量電容值的相關數據，再使用MATLAB 進行ECT 圖像重建，實現可視化的觀測。

仿真過程中，Landweber 算法和Kalman濾波算法迭代次數取50 次，選取分別選取5%、10%和15%的噪聲添加，仿真實驗重建圖像如圖2，3，4 所示。

為定量評價重建圖像質量，引入空間成像誤差（SC）及相關系數（CC）進行評價，其定義為：

式中，Gsi，Gri分別為仿真原型和重建圖像電常數分布矩陣，和分別為其均值，N 為剖分的正方形網格像素，N=812。

對圖2，3，4 的重建圖像，計算其對應的圖像評價指標，如表1、2 所示。

從圖1、2 以及表1、2 可以很明顯的看出對于三種流型在相同迭代步數下，對數據采取歸一化處理，并向電容值中加入相同的噪聲后，Kalman 濾波算法重建圖像質量更好，空間成像誤差（SC）更小，相關系數（CC）更大。加入合適的噪聲可以在一定程度上可以提高重建圖像的質量。然而當加入15%的噪聲時，Landweber 算法重建的流型a 和b 出現更多的偽影，流型c 出現較為嚴重的失真。盡管如此Kalman濾波算法仍能重建出較高質量的圖像。重建后的圖像先對于原圖相似性也比較大。

4 總結

本文研究Landweber 算法和Kalman 濾波算法在ECT 圖像重建的效果，并對結果進行對比。即分別研究了Landweber 算法和Kalman濾波算法在加入不同噪聲的重建效果。仿真實驗的數據以及結論表明：Kalman 濾波算法能夠有效地過濾掉噪聲在重建圖像中的影響，當加入適當的噪聲時，重建圖像質量更高，空間成像誤差更小，圖像的相關系數更大；當噪聲較大時，其依然能夠重建出較高質量的圖像，且圖像與原始圖像更相似。