微擾理論的可視化—以一維線性諧振子為例

肖奎 羅子安

摘 要：對許多實(shí)際物理問題而言，哈密頓量比較復(fù)雜，使得薛定諤方程精確求解難以實(shí)現(xiàn)，需要發(fā)展近似方法，微擾理論是量子力學(xué)中的一種近似方法。量子力學(xué)中的微擾理論，有一套完備的計算步驟，但計算過程相對較為繁雜，較難直觀展示微擾理論的物理內(nèi)涵。為了直觀展示微擾理論對波函數(shù)及能級產(chǎn)生的影響，本文以一維線性諧振子為例，做簡諧振動的粒子為帶電粒子，當(dāng)其處在弱電場中時，會受到微擾。本文借助Mathematica軟件，展示帶電諧振子處在弱電場時，能量及波函數(shù)的變化情況。

關(guān)鍵詞：量子力學(xué)；一維線性諧振子；微擾；Mathematica

中圖分類號：0413，1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）05-0218-02

量子力學(xué)中的定態(tài)問題，通過解薛定諤方程，原則上可以得到哈密頓算符的本征值譜和本征函系。但當(dāng)哈密頓算符比較復(fù)雜的時候，很難獲得薛定諤方程的精確解。量子力學(xué)發(fā)展了很多近似的方法，比如微擾理論、變分法等。本文以一維線性諧振子為例，當(dāng)諧振子處在外電場的情況下，并利用Mathematica來展示如何直觀的展示波函數(shù)和能量的變化情況。

1 模型

可見，當(dāng)帶電諧振子處在弱外電場時，其能級以及波函數(shù)都相應(yīng)的發(fā)生了變化。微小量對波函數(shù)的影響顯而易見，即諧振子的平衡位置發(fā)生了平移。但其對能級的影響情況是怎樣的？單從公式的表述中難以得到一個直觀理解。為了得到一個直觀的理解，可以借助數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)。借助數(shù)學(xué)軟件理解量子力學(xué)，國內(nèi)外已經(jīng)有大量的實(shí)例[3，4]，這里，我們采用Mathematica軟件，比較上述實(shí)例中的波函數(shù)及能級變化情況。

2 圖形展示

在Mathematica網(wǎng)站中，對諧振子的微擾進(jìn)行了兩種不同情況下的展示。本文采用比較簡單的命令，來實(shí)現(xiàn)微擾理論的可視化。在Mathematica軟件中，利用內(nèi)部命令Manipulate 可以實(shí)現(xiàn)對控件的操作，其基本形式為：

Manipulate[expr，{u，umin，umax，du}]

其作用是產(chǎn)生一個帶有控件的expr表達(dá)式版本，該控件允許對u的值進(jìn)行交互式操作，其中umin，umax分別是u的最小值和最大值，du表示從最小值到最大值以du步長變化。

為了方便，我們直接令質(zhì)量m=1，=1。為了能比較波函數(shù)及能量微擾前后的變化情況，這里我們采用Mathematica中的內(nèi)部命令Manipulate進(jìn)行演示。代碼如下：

其中左圖中紅色實(shí)線表示未受微擾的波函數(shù)，黑色點(diǎn)線表示微擾后的波函數(shù)；右圖表示微擾前后的能級差。

為了能分析不同能級，不同微擾給波函數(shù)及能級帶來的差異，我們設(shè)置了兩控件，分別為能級n及微擾量，其中n∈[0，10]，∈[0，0.1]，步長分別為1及0.02。為了方便比較能級的關(guān)系，我們直接用微擾后的能量減去未微擾的能量。運(yùn)行上述程序，可以得到不同情況下的未微擾波函數(shù)和能級與微擾后的波函數(shù)和能級的關(guān)系，具體展示如圖1及圖2。

通過調(diào)整微擾能量En[n_，_]、波函數(shù)φ[n_，x_，_]，及控件n，的取值范圍，可以得到不同微擾情況下，未微擾波函數(shù)與微擾波函數(shù)的關(guān)系。

3 結(jié)語

由于量子力學(xué)所研究體系的哈密頓量算符一般比較復(fù)雜，從而能嚴(yán)格求解的薛定諤方程非常少。引入微擾理論獲得薛定諤方程就顯得非常重要。微擾理論的求解往往都是直接對方程進(jìn)行運(yùn)算，但微擾對原來波函數(shù)及能級所產(chǎn)生的影響到底有多大，很難得到一個直觀的印象。本文利用Mathematica計算軟件，對一維線性諧振子的微擾理論進(jìn)行了分析，比較直觀的展示了微擾對原波函數(shù)以及能級的影響，為進(jìn)一步深入理解相關(guān)物理知識奠定了基礎(chǔ)。

本文展示了如何實(shí)現(xiàn)微擾理論的可視化，同時，借用Mathematica軟件中的“量子力學(xué)應(yīng)用的函數(shù)”，可以進(jìn)行更多模擬和展示。

參考文獻(xiàn)

[1] 仲順安，田黎育，等.理論物理導(dǎo)論（第3版）[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2014.

[2] David J. Griffiths， Darrell F. Schroeter， Introduction to Quantum Mechanics （3rd Edition）[M].Cambridge： Cambridge University Press，2018.

[3] 陳鳳翔，汪禮勝，譚改娟，許文英.量子力學(xué)虛擬實(shí)驗(yàn)的MATLAB演示[J].大學(xué)物理，2012，31（05）：58-61+65.

[4] 鮑曼.理論物理中的Mathematica——電動力學(xué)，量子力學(xué)，廣義相對論和分形[M].北京：科學(xué)出版社，2011.