解三角形的快速解題技巧

趙靜

摘要：縱觀歷年高考數學試卷解三角形作為必要內容，對三角函數解答題部分的考查主要有三個方面；三角函數的圖象與性質，三角恒等變換，解三角形問題.作者認為只要考生把握命題意圖與考點，找到科學的方法和技巧，才能獲得正確的結論.特此結合自己的教學實際提出一些探析建議。

關鍵詞：解三角形；高考；快速解題；技巧

1 新課標解三角形教材及內容分析

1.1 教材分析

新課改的實施，使得高中數學教材與傳統數學教材無論在結構上，還是在內容上，都發生了很大的變化。對于解三角形這一模塊來說，結構上新課標將其重新整合安排在必修五的第一章節，在學習三角函數、平面向量的基礎上進行學習。內容上相比以往大綱版教材則更加關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，側重點放在學生探究和推理能力的培養上。

1.2 內容分析

教材的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。總之，解三角形是高中數學的重要內容之一，內容本身是傳統內容，并具有豐富的實際背景，學生應該十分熟悉。

1.3 教材分析的原則和方法

方法：理論與實踐相結合的方法、教與學相結合的方法。

原則：課標原則、學生中心原則、數學思想方法原則。

1.4 教學目標

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理的內容及證明方法，會運用正弦定理、余弦定理與三角形內角和定理解斜三角形等基本問題。通過正弦、余弦定理的探究性學習，培養掌握三角形的邊長與角度之間數量關系及學生探索數學規律的思維能力，培養學生用數學的方法解決實際問題的能力，通過學生的積極參與和親身實踐，并成功地解決實際問題。通過本節學習，激發學生對數學學習的熱情，培養學生獨立思考和勇于探索的精神。

2 轉化為平面向量解題

例1.已知△ABC中，D是BC邊上的一點，BD=2DC，∠BAC= ，AB=4，AC=3，求線段AD的長度。

[分析]此題屬于已知一個角的大小，且過該角的頂點有三條邊，其中已知兩條邊的長度，求另一條邊的長度，可轉化為平面向量求解。

[點評]類似這樣的題型，如果用常規的方法即正弦定理和余弦定理來求解，則需要用到兩個三角形列出方程組，計算量大，容易出錯，而且在選用哪兩個三角形列方程的時候會搖擺不定，也減慢了解題速度。結合平面向量求解這類題型，一步到位，解題效果得到大大提高。

3 轉化為平行四邊形求解

例2.已知，△ABC中，點O是BC的中點，AB=7，AC=6，AO=5，求BC的長。

[分析]在平行四邊形中，用余弦定理可以證明出“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和”這一重要的結論。此題有一個中點O，只要延長AO到點D，使AO=OD，連接BD和DC，顯然四邊形ABDC為平行四邊形，應用平行四邊形這個結論，列出方程即可求解。

[解析]因為點O是中點，所以把原圖還原為平行四邊形，根據“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和”，于是有：2（AB2+AC2）2=AD2+BC2，把AB=7，AC=6，AD=2AO=10代入，求得BC=

[點評]在高中數學教材中，平行四邊形的這個結論只是在數學4-4（選修）的練習中出現過，所以在解三角形的過程中往往被大家忽略。此題屬于三角形邊長有中點的題型，這樣的題型都可以用平行四邊的這個結論來求解，瞬間化繁為簡。

4 轉化為圓求解

例3.在△ABC中，∠B= AC= ，求△ABC的面積的最大值。

【分析】此題屬于典型的解三角形題目中有關取值范圍的題型。常規的解題策略是應用正弦定理、余弦定理再結合基本不等式、輔助角公式來求解。這道題的特點是已知一個角和這個角的對邊是定值，如果我們結合這個三角形的外接圓，則從圖形上就可以直觀得出三角形面積最大值的情況，從而得出結果。

【解析】如圖3所示，根據“圓的等弦對等角”性質，由正弦定理易得：

求得R=1，即△ABC是在一個半徑為1的圓內接三角形，∠B=π/3，AC= ，則點B是優弧AC上的動點。當點B在圖中的最頂端，即BO垂直于AC的時候，AC邊上的高達到最大值，即△ABC的面積達最大值。此時，△ABC為正三角形，所以， ，即△ABC的面積最大值為

【點評】在解三角形的題型中，求相關取值范圍是最常見的。如一條邊的取值范圍、周長的取值范圍或最值、面積的取值范圍或最值等，當題型的已知條件是“一個角和此角的對邊為定值”，則轉化為圓的題目求解，將得到事半功倍的效果。

5 結語

總之，高考命題逐年加強對知識的綜合性和應用性的考察，常在知識的交匯點設計綜合試題，綜合考查學生對解三角形與其他知識點的結合，注重靈活運用。

參考文獻

[1]李桂平.求解三角函數問題的幾大思路[J].科學之友：版，2010（1）：135-136.

（作者單位：黑龍江省五大連池市高級中學）