基于頻響函數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別模型修正方法

殷 紅，馬靜靜，董小圓，彭珍瑞，白 鈺

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州730070）

模型修正在復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別中有著非常重要的作用。目前設(shè)計(jì)參數(shù)型有限元模型修正（Finite element model updating，F(xiàn)EMU）方法應(yīng)用廣泛，主要有基于頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）的模型修正和基于模態(tài)參數(shù)的模型修正[1]。和后者相比，基于FRF 的FEMU 不需要模態(tài)識(shí)別，避免了在模型修正過程中引入識(shí)別誤差，并且FRF能夠提供更多的數(shù)據(jù)，適用范圍更廣[2]。

在模型修正中建立靈敏度方程時(shí)，要求實(shí)測自由度數(shù)等于有限元模型的自由度數(shù)，而通常實(shí)測自由度數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于有限元模型的自由度數(shù)，這就導(dǎo)致有限元模型與試驗(yàn)所測的自由度數(shù)目不匹配。通常用試驗(yàn)?zāi)B(tài)擴(kuò)展方法[3]和有限元模型縮聚方法[4]來解決此問題，然而這些方法往往會(huì)讓有限元模型修正變成非線性優(yōu)化問題[5]。為了得到準(zhǔn)確的結(jié)果，建立線性靈敏度方程是非常需要的。文獻(xiàn)[6]用損傷結(jié)構(gòu)的固有頻率近似計(jì)算未測量的FRF 數(shù)據(jù)。此外，目前把模型修正與損傷識(shí)別相結(jié)合的方法引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[7]用模型修正理論對(duì)橋墩進(jìn)行損傷定位與定量評(píng)估。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于FRF 模式置信準(zhǔn)則的改進(jìn)模型修正方法，用以識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷指數(shù)。

FEMU 的結(jié)果往往受多種因素影響，除了建立準(zhǔn)確的靈敏度方程外，測點(diǎn)位置的選擇也是FEMU必須解決的關(guān)鍵問題，而且，選擇合適的頻率范圍也對(duì)FEMU 的結(jié)果有著重要影響。基于此，本文用FRF 攝動(dòng)分析法建立FRF 靈敏度方程，研究如何選擇頻率范圍以及解決測試信息不完備問題，然后提出針對(duì)于頻響函數(shù)模型修正的傳感器優(yōu)化布置方法，確定傳感器的數(shù)目和位置，最后通過給桁架結(jié)構(gòu)設(shè)定損傷工況來驗(yàn)證該模型修正方法的有效性。

1 基于頻響函數(shù)的模型修正方法

1.1 位移頻響函數(shù)

一個(gè)具有比例阻尼的多自由度系統(tǒng)，激勵(lì)向量為f，位移響應(yīng)向量為x。在外部激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為

式中：M、K和C分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。對(duì)式(1)進(jìn)行傅里葉變換，可得

Z(ω)的逆矩陣即為位移頻響函數(shù)矩陣

則位移頻響函數(shù)即為響應(yīng)與激勵(lì)傅氏變換之比

位移頻響函數(shù)可以寫成如下模態(tài)疊加的形式，從而可以通過系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)來計(jì)算頻響函數(shù)。

式中：ωg為第g階無阻尼固有頻率；ξg為模態(tài)阻尼系數(shù)；?gp和?gq分別為第g 階模態(tài)在節(jié)點(diǎn)p 和節(jié)點(diǎn)q 的振型幅值；Hpq(ω)為頻響矩陣H 的第(p,q)元素，表示在第q自由度施加簡諧激勵(lì)時(shí)，第p自由度上的位移響應(yīng)；r表示模態(tài)數(shù)目。

1.2 基于頻響函數(shù)攝動(dòng)分析的模型修正

利用結(jié)構(gòu)實(shí)測頻響函數(shù)和有限元計(jì)算得到頻響函數(shù)間的差值構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)

式中：ε 和Hd(ω)分別為測量得到的結(jié)構(gòu)位移頻響函數(shù)和根據(jù)有限元分析得到的位移頻響函數(shù)；ε 為頻響函數(shù)殘差向量。

當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)特性和響應(yīng)會(huì)隨之發(fā)生改變，為了避免由對(duì)頻響函數(shù)的求導(dǎo)和運(yùn)用1 階泰勒級(jí)數(shù)所引起的復(fù)雜運(yùn)算，用攝動(dòng)法建立靈敏度方程，損傷結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的傅里葉變換為

損傷結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣為

式中：δM、δC 和δK 分別表示損傷結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣相對(duì)于完好結(jié)構(gòu)的攝動(dòng)量。

將式(10)代入式(9)可得

將上式展開并從中求出δX(ω)，得到

將式(5)和式(9)代入式(12)，并消去F(ω) ，可得

式(13)可準(zhǔn)確地修正結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度參數(shù)，因?yàn)樗鼘?shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于結(jié)構(gòu)參數(shù)變化量的線性函數(shù)。目前大多數(shù)阻尼模型不能很準(zhǔn)確地去模擬實(shí)際阻尼效應(yīng)，反而會(huì)增加模型誤差，影響模型修正結(jié)果，所以本文中不對(duì)阻尼參數(shù)進(jìn)行修正。

其中，結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的變化可由各剛度修正單元的偏微分之和來表示

同理，結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量矩陣的變化表示如下

將式(14)、式(15)代入式(13)，并忽略對(duì)阻尼參數(shù)的修正，即δC=0，可得

式(16)可以改寫為如下矩陣相乘的形式

式中：δPM為質(zhì)量參數(shù)靈敏度矩陣，δPS為剛度參數(shù)靈敏度矩陣。δPM和δPS分別為質(zhì)量參數(shù)和剛度參數(shù)的變化量，δP 為所有修正參數(shù)的變化量。S(ω)表示總體靈敏度矩陣。

在實(shí)際測試中，方程組(17)通常是不適定的，其最小二乘解為

式中：S+=[S(ω)TS(ω)]-1S(ω)T。最小二乘法的解主要由數(shù)值系數(shù)較大的部分方程決定，也就是說有些方程可能會(huì)掩蓋其他方程的信息。所以，通常選用適當(dāng)?shù)恼齽t化方法來減小靈敏度矩陣的條件數(shù)[9]，進(jìn)而降低靈敏度矩陣的病態(tài)性，減少其對(duì)模型修正結(jié)果的影響。本文中采用相應(yīng)行的2-范數(shù)對(duì)靈敏度矩陣的每一個(gè)行向量進(jìn)行歸一化。

1.3 估計(jì)損傷結(jié)構(gòu)的FRF

由式(13)建立模型修正的靈敏度方程時(shí)，要求實(shí)測自由度數(shù)等于有限元模型的自由度數(shù)，而通常實(shí)測的自由度數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于有限元模型的自由度數(shù)。

圖1 是結(jié)構(gòu)在完好和損傷狀態(tài)下的FRF 曲線，從圖中可看出當(dāng)激勵(lì)頻率位于結(jié)構(gòu)的共振區(qū)周圍時(shí)，損傷將導(dǎo)致FRF沿著坐標(biāo)軸有一定的移動(dòng)，但形狀并沒有發(fā)生明顯的改變。分析表明，在不同的共振區(qū)完好狀態(tài)FRF曲線與損傷狀態(tài)FRF曲線的平移距離不同。因而可以先測量各共振區(qū)內(nèi)的平移量，再將完好狀態(tài)FRF曲線通過平移得到損傷狀態(tài)FRF曲線的近似估計(jì)。

因此，在共振區(qū)附近Hd(ω)的近似估計(jì)可表示為

其中

式中：Ωdn和Ωn分別為完好結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的第n階固有頻率，δΩn表示完好結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)間的頻率變化量，m表示測量得到的損傷結(jié)構(gòu)固有頻率的階數(shù)。圖1顯示了這種估計(jì)的過程。

建立靈敏度矩陣時(shí)用的是無阻尼的H(ω)和估計(jì)得到的Hd(ω)，但是為了模擬阻尼對(duì)算法的影響，用有阻尼的Hd(ω)和無阻尼的H(ω)來計(jì)算殘差向量ε。在之后的迭代計(jì)算中，完好結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)將不斷地更新，逐漸趨近于損傷結(jié)構(gòu)的參數(shù)，因而，式(19)和式(20)中，初始Ωn和H(ω)將不斷迭代更新，向損傷結(jié)構(gòu)的固有頻率和頻響函數(shù)不斷收斂。

圖1 結(jié)構(gòu)在完好和損傷狀態(tài)時(shí)第n階固有頻率附近的FRF

2 模型修正頻率范圍選擇

頻率的合理選擇能提高有限元模型修正的精度和收斂性。圖2 是在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)受到激勵(lì)時(shí)所有測點(diǎn)自由度響應(yīng)的靈敏度矩陣的2-范數(shù)圖。范數(shù)的值越大，表明結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其FRF的靈敏度越高。

圖2 完整頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)單點(diǎn)激勵(lì)時(shí)所有測量點(diǎn)靈敏度矩陣的2-范數(shù)

從圖2 可以看出，結(jié)構(gòu)的FRF 在遠(yuǎn)離共振頻率時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化不敏感，而在共振頻率附近具有良好的靈敏度，所以選共振頻率附近的頻率點(diǎn)進(jìn)行模型修正。

本文沒有對(duì)阻尼參數(shù)進(jìn)行修正，所以要減小結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)模型修正結(jié)果的影響。由于阻尼在共振區(qū)內(nèi)對(duì)振幅的影響很大，當(dāng)遠(yuǎn)離共振區(qū)時(shí)影響迅速減小，因此所選擇的頻率范圍應(yīng)與共振點(diǎn)保持一定距離，在每次迭代中，始終排除共振點(diǎn)周圍約4 Hz 以內(nèi)的頻率范圍。

若2 個(gè)相鄰的共振峰距離太近，則其之間的頻段內(nèi)不能保證FRF 的變動(dòng)量在修正過程中單調(diào)下降，因而排除該區(qū)域，以避免振幅非線性問題[10]。在每次迭代時(shí)，頻率范圍還需根據(jù)共振點(diǎn)的變化進(jìn)行調(diào)整。

3 模型修正測點(diǎn)選擇

在模態(tài)測試及模型修正中，有效獨(dú)立法（Effective independence，EFI）被廣泛應(yīng)用于確定傳感器測點(diǎn)。后來，Kammer[11]提出了頻率響應(yīng)有效獨(dú)立 法（Frequency effective independence，F(xiàn)EFI）。FEFI的主要步驟如下：

(1)在目標(biāo)頻率范圍內(nèi)，利用有限元分析得到結(jié)構(gòu)固有頻率和振型計(jì)算頻響數(shù)據(jù)矩陣

式中：H(ωi)∈Cns×na為頻率ωi處的頻響矩陣，i=1，2，…，f 表示采樣頻率點(diǎn)，f 為頻率點(diǎn)總數(shù)，ns和na為傳感器數(shù)目和激勵(lì)點(diǎn)數(shù)目。

(2)對(duì)頻響數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行奇異值(SVD)分解，對(duì)模型進(jìn)行降維和去噪。D經(jīng)SVD分解后表示為

式中：U 是一個(gè)ns×ns維的復(fù)正交矩陣，它相互正交的列向量也稱為主方向；S 是由奇異值組成的對(duì)角矩陣；V是一個(gè)na×na維的復(fù)正交矩陣，它的行向量表示相應(yīng)主方向上歸一化的頻率響應(yīng)。頻響矩陣的各主方向同時(shí)滿足

式中：U∈Cns×na和V ∈Cns×na為酉矩陣，對(duì)角陣S 對(duì)角線上的元素即為奇異值。U相互正交的列向量也稱為主方向；V 的行向量表示相應(yīng)主方向上歸一化的頻率響應(yīng)。頻響矩陣的各個(gè)主方向滿足關(guān)系。式中：上標(biāo)*表示共軛轉(zhuǎn)置。由于奇異值的大小反映了系統(tǒng)的總能量在相應(yīng)主方向上的分布，因此，將奇異值按降序排列，去除接近于0的奇異值，進(jìn)行主成分分析，保留占系統(tǒng)總能量95%～99%的主分量，實(shí)現(xiàn)降維和去噪，同時(shí)保留系統(tǒng)中的真實(shí)模態(tài)信息。

設(shè) U=[u1,u2,…,uns]，V =[v1,v2,…vna]T，S=diag(σ1,σ2,…,σr,0,…,0)。其中，us∈Cns×1，σi是D的奇異值，若選前l(fā) 個(gè)分量進(jìn)行重構(gòu)，則H 可近似表示為

式中：DD為D的主分量。

(3)根據(jù)主成分分析，將U中保留主方向的列向量組成的矩陣記為ψ。參照EFI，頻響數(shù)據(jù)矩陣可表示為主方向上的頻率響應(yīng)與獨(dú)立同分布高斯白噪聲的和。記高斯白噪聲為N，則有

其中：ψ表示相應(yīng)主方向上的頻率響應(yīng)。根據(jù)Fisher信息矩陣推導(dǎo)可得

以信息矩陣的行列式作為目標(biāo)范數(shù)，計(jì)算有效獨(dú)立分布向量

ED中越小的元素表示對(duì)應(yīng)的候選測點(diǎn)對(duì)目標(biāo)模態(tài)分量線性獨(dú)立性的貢獻(xiàn)越小，應(yīng)該首先剔除，依次迭代，直至候選測點(diǎn)數(shù)目為所需要的傳感器數(shù)目為止。

由文獻(xiàn)[12]可知，采用EFI 選擇測點(diǎn)時(shí)，若傳感器數(shù)目大于目標(biāo)模態(tài)數(shù)目，測點(diǎn)可能在局部聚集，從而導(dǎo)致信息冗余。由于FEFI 是EFI 在頻域內(nèi)的推廣，具有與EFI 相同的性質(zhì)，因此，分兩步為模型修正選擇測點(diǎn)位置。首先采用FEFI 確定與主方向相等數(shù)目的測點(diǎn)位置；然后采用文獻(xiàn)[13]中的距離系數(shù)—有效獨(dú)立法，確定傳感器的數(shù)目。該方法以距離系數(shù)修正Fisher信息矩陣，避免了EFI中信息冗余的問題。迭代中以使修正后的Fisher信息矩陣行列式最大化來逐步增加傳感器布置節(jié)點(diǎn)，直到布置的傳感器采集的信息能夠得到可靠的模型修正結(jié)果。

算法的流程如圖3所示。

圖3 模型修正流程圖

4 數(shù)值模型試驗(yàn)

4.1 模型簡介

圖4 桁架結(jié)構(gòu)的單元及尺寸/cm

圖4所示的平面桁架結(jié)構(gòu)由40 個(gè)桿單元組成。每個(gè)桿單元的密度為7 800 kg/m3，彈性模量為200 GPa。1－9號(hào)單元、10－18號(hào)單元、19－26號(hào)單元以及27－40號(hào)單元的橫截面積分別為18 cm2、15 cm2、10 cm2和12 cm2。結(jié)構(gòu)有18 個(gè)節(jié)點(diǎn)，33 個(gè)自由度，如圖5所示。

圖5 桁架結(jié)構(gòu)的自由度

這里用0.5%的阻尼系數(shù)來模擬模型的實(shí)際阻尼，選擇單元軸向剛度EA 作為待修正參數(shù)，E 為彈性模量，A為橫截面積。設(shè)定2種損傷工況來驗(yàn)證模型修正方法的有效性，在工況1中，預(yù)設(shè)第7、10、17、23 和30 號(hào)單元為損傷單元，其剛度分別下降20%、20%、20%、30%和30%；工況2中，預(yù)設(shè)第15、25和38 號(hào)單元為損傷單元，軸向剛度分別下降30 %、40%和30%。假設(shè)結(jié)構(gòu)受單點(diǎn)激勵(lì)，激勵(lì)點(diǎn)分別選擇在第2、16、19、29 和33 自由度處。對(duì)以上2 種損傷工況進(jìn)行有限元分析，得到損傷結(jié)構(gòu)的固有頻率和頻響函數(shù)。

4.2 選擇頻率范圍并估計(jì)損傷結(jié)構(gòu)的FRF

分別對(duì)完好結(jié)構(gòu)和損傷工況1 這2 種工況下的結(jié)構(gòu)在第2 自由度處進(jìn)行激勵(lì)，第13 自由度上采集輸出信號(hào)，分析得到無阻尼頻響函數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 結(jié)構(gòu)在完好狀態(tài)和損傷工況1對(duì)應(yīng)的FRF

可以看出，在共振區(qū)完好結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)差異變大，再結(jié)合第2小節(jié)的規(guī)則，模型修正的頻率選擇為共振區(qū)附近的頻率點(diǎn)。去除含有前3個(gè)共振區(qū)的低頻段；為避免振幅非線性的問題，忽略第5和第6共振區(qū)之間以及第7和第8共振區(qū)之間的頻率點(diǎn)。

選取結(jié)構(gòu)的前8階固有頻率，根據(jù)以上分析，采樣間隔為1 Hz，工況1和2中分別選擇的頻率范圍如表1所示。

表1 用于模型修正的頻率范圍

根據(jù)上面選擇的頻率，采用1.3小節(jié)的方法對(duì)相應(yīng)的FRF 進(jìn)行估計(jì)。圖7 為損傷工況1 下結(jié)構(gòu)的精確FRF曲線以及在所選頻段內(nèi)估計(jì)的FRF圖。從圖7 中可以看出FRF 的估計(jì)值高度近似于FRF 的精確值。

圖7 工況1下精確的FRF以及在所選頻段內(nèi)估計(jì)的FRF

4.3 測點(diǎn)優(yōu)選

根據(jù)FEFI的算法思想，分兩步完成測點(diǎn)優(yōu)選。

第一步，初選感器布置位置。

根據(jù)4.2 小節(jié)確定的頻率范圍計(jì)算頻響數(shù)據(jù)矩陣D。對(duì)D 進(jìn)行SVD 分解，降維后保留前5 個(gè)奇異值，讓主方向上的能量占到系統(tǒng)總能量的95%。由式(28)計(jì)算有效獨(dú)立分布向量,在迭代中逐次剔去其中最小元對(duì)應(yīng)的候選測點(diǎn)，直至候選測點(diǎn)減少至5個(gè)時(shí)停止。迭代結(jié)束時(shí)確定初選測點(diǎn)為第3、10、17、19、33自由度。

為了和采用距離系數(shù)—有效獨(dú)立法優(yōu)化測點(diǎn)位置后的效果相比較，在進(jìn)行下一步之前，在此先取初選測點(diǎn)進(jìn)行模型修正，得到結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果。

針對(duì)工況1，在這5 個(gè)初選自由度上布置傳感器，進(jìn)行基于FRF 的FEMU，損傷識(shí)別結(jié)果如圖8所示。

由圖8 可看出，對(duì)第7、10、17、30 單元的損傷識(shí)別較準(zhǔn)確，對(duì)第23 單元處的損傷程度識(shí)別較差，同時(shí)對(duì)第5、20、21、22、33 等單元處出現(xiàn)了損傷誤判。說明在初選測點(diǎn)下直接進(jìn)行模型修正雖然可以對(duì)大多數(shù)實(shí)際損傷位置進(jìn)行識(shí)別，但同時(shí)會(huì)在其他位置上出現(xiàn)誤判斷和欠判斷的情況。由于損傷識(shí)別結(jié)果不能很好地反映實(shí)際工況，在此不再對(duì)工況2 進(jìn)行試驗(yàn)。

圖8 布置5個(gè)傳感器時(shí)模型修正識(shí)別的損傷和工況1實(shí)際損傷

第二步，采用距離系數(shù)—有效獨(dú)立法增加測點(diǎn)位置。

為了改善損傷識(shí)別效果，可逐步增加結(jié)構(gòu)中布置的傳感器數(shù)目，并采用距離系數(shù)—有效獨(dú)立法確定增加的測點(diǎn)位置，得出第6 個(gè)測點(diǎn)位置為第25 自由度。針對(duì)工況1和工況2，分別在第3、10、17、19、25、33自由度處布置傳感器，進(jìn)行基于FRF的FEMU，損傷識(shí)別結(jié)果如圖9所示。

4.4 模型修正結(jié)果分析

從圖9可以看出，布置6個(gè)傳感器時(shí)獲得的頻響數(shù)據(jù)能識(shí)別出工況1和2的損傷程度和位置，且識(shí)別結(jié)果較為準(zhǔn)確。雖然在一些位置出現(xiàn)了虛假損傷，但都很微小，可以忽略不計(jì)。這主要是受阻尼和模型修正中估計(jì)誤差的影響而導(dǎo)致的。

表2 給出了彈性模量的修正結(jié)果。可看出，修正后損傷單元的彈性模量和真實(shí)值高度吻合，修正結(jié)果相對(duì)誤差的最大值為2.58%。

表3給出了兩種損傷工況下固有頻率的修正結(jié)果。可以看出，修正后的結(jié)構(gòu)前8 階固有頻率和通過有限元分析計(jì)算得到的精確值基本一致，最大相對(duì)誤差僅為0.33%。說明采用本文方法能有效地識(shí)別出損傷結(jié)構(gòu)的真實(shí)參數(shù)，可以提高結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的準(zhǔn)確性，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

5 結(jié)語

(1)建立數(shù)學(xué)模型時(shí)采用攝動(dòng)法進(jìn)行靈敏度分析，推導(dǎo)出質(zhì)量和剛度參數(shù)變化與FRF 變化之間的線性關(guān)系。避免了使用泰勒展式以及對(duì)頻響矩陣的求導(dǎo)運(yùn)算，而且建立的模型修正方程沒有截?cái)嗾`差，在參數(shù)修正過程中穩(wěn)定性良好。

(2)分析完整頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)單點(diǎn)激勵(lì)下所有測量點(diǎn)靈敏度矩陣的2-范數(shù)，合理確定用于模型修正的頻率范圍。利用測量得到的損傷結(jié)構(gòu)的固有頻率和完好結(jié)構(gòu)的FRF 來重構(gòu)未測量節(jié)點(diǎn)上的FRF，解決了測試信息的不完備問題。對(duì)靈敏度矩陣的每一個(gè)行向量采用相應(yīng)行的范數(shù)進(jìn)行歸一化，提高了算法的穩(wěn)定性。

圖9 布置6個(gè)傳感器時(shí)模型修正識(shí)別的損傷和實(shí)際損傷

表2 彈性模量修正結(jié)果

表3 2種損傷工況下結(jié)構(gòu)固有頻率的精確值及修正值

(3)測點(diǎn)的優(yōu)選決定了損傷識(shí)別的精度。采用FEFI 與距離系數(shù)—有效獨(dú)立法相結(jié)合的方法來確定傳感器布置方案。數(shù)值模型試驗(yàn)分析表明，由該方法確定的少量傳感器獲得的FRF數(shù)據(jù)就能較為準(zhǔn)確地識(shí)別損傷，模型修正結(jié)果與損傷結(jié)構(gòu)真實(shí)參數(shù)高度吻合。

雖然數(shù)值算例中得到了較為理想的修正結(jié)果，但是實(shí)際試驗(yàn)中存在環(huán)境等不確定性因素，所以，需要進(jìn)一步研究如何利用實(shí)測數(shù)據(jù)并考慮不確定因素進(jìn)行模型修正。