基于字典訓練的Bregman迭代地震數據重建

(東北石油大學 計算機與信息技術學院， 大慶 163000)

0 引言

目前，隨著國內外油氣勘探技術的不斷進步，地質勘探技術逐漸難以滿足現在的地質勘探的需求。在石油工業日漸成熟的過程中，勘探的難度也不斷增大，探測地區的客觀環境變得日益復雜，在各種因素的影響情況下，將導致地震數據不規則、不完整，使得勘探得到的地震數據的道缺失現象相對增多，這些問題對地震數據的后續處理與解釋造成不利影響，給油氣藏位置的判斷增加難度。傳統的地震數據重建方法為奈奎斯特Nyqusit采樣定理它要求采樣頻率一定要在信號帶寬的2倍以上，而這種方法使勘探成本的增加。為了解決這個問題，需要尋找更加適合地震數據的重建算法，對地震數據進行規則重建，得到精度較高、更加完整的地震數據，以降低地震勘探過程的成本。然而隨著信號重建技術的日益進步，Donoho、Emmanuel Candès與Terence Tao等人提出壓縮感知理論，該理論為信號處理提供了全新的研究方向。壓縮感知理論一般分為稀疏變換、構造采樣矩陣與信號重建3個部分，研究領域對稀疏表示和重建算法頗為重視，在稀疏表示研究中Mallat、Zhang二人構造了一種新的稀疏分解，將壓縮感知理論框架與冗余字典相結合，取得了進一步的發展。隨后Aharon等人將K-means聚類算法改進為K-SVD算法，但這類方法要求相對較多的計算量與較大的存儲空間。為了完善現有的重建算法和壓縮感知理論框架，還需要對冗余字典類方法進行更多的研究。在重建算法研究方面，Tropp和Gilbert提出的正交匹配追蹤算法[1]不僅提高迭代收斂的速度，且能得到較好的重建效果；BP算法為求得全局最優解會進行窮舉運算，重建精度和穩定性好，能夠解決夾帶的假頻問題，但本身算法的復雜度導致計算時間過長。對此在國內也開展了一些研究，如哈爾濱工業大學的張鍵，趙德斌提出了一種基于分離 Bregman 迭代方法求解協同稀疏模型正則化的圖像壓縮感知重建算法，能夠在有效地刻畫圖像的局部平滑性和非局部自相似性的同時，獲得更高質量的重建效果[2]。總體來說，國內在壓縮感知的研究方面還需要繼續進行，大多是基于各種理論的應用。目前仍需開發低復雜度、高壓縮率、高重建度的實用算法。

為了解決由地震數據的道缺失所導致的問題，就需要對地震數據重建進行深入的研究。本文根據壓縮感知理論，將K-SVD分解算法與Bregman迭代相結合，對地震數據進行仿真模擬試驗，進行地震數據的重建，得到完整地震數據。

1 基于K-SVD字典訓練的Bregman迭代地震數據重建

1.1 Bregman 迭代方法

在圖像處理領域與壓縮感知理論框架中，選用適合重建過程的Bregman迭代算法，能使用稀疏信號更好地匹配原地震數據奠定基礎。起初是Osher等人將Bregman散度的概念引入到迭代正則化過程中，實現了滿足平滑去噪需求的Bregman迭代。隨后Cai等人在研究基追蹤重建時，提出將不動點迭代法[3]與Bregman迭代算法[4]相結合，提出了線性Bregman迭代算法，雖然線性Bregman迭代算法可以對傳統的BP問題進行求解，但是在信號分析、圖像處理等領域中，一般是針對l1范數最小化求解為式(1)。

(1)

為了解決上述形式的l1范數最小化求解問題，Tom Glodstein等[3]結合Bregman迭代方法和算子分裂技術，于2008年提出了分裂Bregman迭代(Split-Bregman iteration, SBI)算法。分裂Bregman迭代算法的收斂速度更快，有著易于編程實現、易并行化等優點。式(1)根據凸優化理論可得而式(2)是無約束問題最優化，為式(2)。

(2)

(3)

u0←0,p0←0;

Fork=0,1,… do

(4)

fk+1←f+(fk-Auk)

(5)

利用式(4)和(5)對該問題進行求解，可得到分裂Bregman迭代形式，即式(6)。

bk+1=bk+(Φ(uk)-dk)

(6)

由文獻[5]可知，分裂Bregman迭代算法的收斂速度更快，有著易于編程實現、易并行化等優點。因此本文選擇分裂Bregman迭代算法來進行地震數據的重建。

2.2 K-SVD字典訓練

在2006年Michal Aharon等人[6]基于K-means算法，提出了K-SVD字典訓練算法，在國內唐剛、周亞同等已在地震數據重建上使用了K-SVD算法。本文提出的地震數據算法的插值循環中包含了K-SVD算法，它在整個稀疏變換中，不停的更新超完備字典中的列，在結束迭代時就得到了能更好的對圖像進行描述的超完備字典。其另一個優點就是能夠與所有的分解算法結合，通過對超完備字典的更新，提高變換后圖像的稀疏性，加快了分解和收斂的速度。基于K-SVD的超完備字典訓練算法具體流程描述如式(7)。

(7)

先利用式(2-7)，通過超完備字典D的迭代訓練，如果有D的第k列向量為dk，則此時可以將式(7)轉化為式(8)。

(8)

(9)

(10)

1.3 地震數據重建的實現

本文在Bregman迭代重建算法框架中，使用K-SVD對聯合數據樣本進行初步的數據處理，每次迭代最后進行插值處理，進行多次迭代后得出重建的地震數據，實驗說明，使用本文算法能夠更有效的進行地震數據的重建。具體實施步驟如下。

(1)字典初始化。本文使用處理過的地震數據作為聯合數據樣本，生成初始字典。

(2)稀疏變換。利用已知字典D，根據OMP算法和式(7)，求解每一個樣本yi的稀疏系數向量xi。

(3)字典更新。固定向量xi后更新字典D，對字典D的每一列向量(dk，k=1,2,3…)進行更新，此時的具體分解形式可以用式(8)與(10)來表達。即式(11)。

(11)

利用上述方法更新D的每一列和稀疏編碼，當迭代次數達到上限或者殘差足夠小的時候，得出新的字典。否則繼續迭代步驟(2)。

(5)對得到的結果進行插值處理，如果未滿足迭代次數，則返回步驟(5)繼續迭代，若滿足迭代次數，則退出迭代過程并輸出地震數據重建結果。

2 地震數據重建實驗及分析

本文使用的地震數據如圖1所示。

(a) 地震數據 A(b) 地震數據 B

圖1 完整地震數據

為兩幅地震數據單炮記錄，總共128道數據，橫向為地震道軸，縱向為時間軸，長度為512。

對地震數據A和地震數據B進行40%隨機道缺失采樣(即采樣率為60%)后，地震數據如圖2所示：

(a) 隨機道缺失的地震數據A(PSNR=20.789 4)(b) 隨機道缺失的地震數據B (PSNR=20.544 6)

圖2 采樣后的地震數據(采樣率為60%)

根據上節所敘述的原理及步驟，對地震數據A和地震數據B進行重建的地震數據重建方法進結果分析，如圖3所示。

(a) 重建后的地震數據A(PSNR=26.431 4)(b) 重建后的地震數據B(PSNR=25.311 6)

圖3 本文算法重建后的地震數據

4 總結

經對Bregman迭代算法分析后，提出了改進型的基于K-SVD的分裂Bregman迭代算法，在分裂Bregman迭代框架中，采用K-SVD算法進行自適應字典訓練，進一步提高了地震數據重建的準確性。結合K-SVD的分裂Bregman迭代重建算法在重建地震數據的結果中，相對于道缺失的采樣地震數據，觀察其重建結果，發現兩張圖像PSNR的提升都在5左右通過實驗，通過實驗說明本文算法能夠更好的重建圖像的紋理，更精確的還原地震數據的原貌。