基于粗糙表面分形表征新方法的結(jié)合面法向接觸剛度模型

孫見君， 張凌峰， 於秋萍， 嵇正波， 馬晨波

(南京林業(yè)大學 機械電子工程學院，南京 210037)

機械結(jié)構(gòu)中結(jié)合面的接觸剛度對結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能影響巨大。有研究[1]表明，機床結(jié)合面的剛度約占機床總剛度的60%～80%，結(jié)合面引起的變形量約占機床總的靜變形量的85%～90%。機床結(jié)構(gòu)設計時，如何有效預測結(jié)合面的動態(tài)參數(shù)，如結(jié)合面接觸剛度，是機床動力學建模的一個重要問題。目前的結(jié)合面接觸剛度計算模型主要有基于統(tǒng)計學參數(shù)和分形參數(shù)的兩種。基于統(tǒng)計學特征參數(shù)研究獲得的結(jié)合面接觸剛度計算模型[2-7]，因為采用了粗糙表面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其準確度受制于儀器的分辨率。20世紀90年代初，Majumdar等[8]提出的采用分形參數(shù)D，G和微凸體接觸面積表征等效粗糙表面特性的方法，為研究者[9-11]進一步研究結(jié)合面接觸剛度模型提供了新的途徑。溫淑花等[12-13]對M-B表征方法進行了修正，考慮彈塑性過渡變形機制，建立了法向接觸剛度彈塑性分形模型;楊紅平等[14]研究了微凸體由彈性變形向彈塑性變形和完全塑性變形轉(zhuǎn)化時，不同的塑性指數(shù)下接觸載荷與法向剛度的關(guān)系。Jiang等[15]在M-B分形接觸模型基礎上推導了粗糙平面的法向接觸剛度，并進行了試驗驗證。Buczkowski等[16]基于分形理論，考慮微凸體在受載過程中的相互強化作用，建立了粗糙表面法向剛度模型。然而，基于M-B的輪廓表征方法，人們獲得的“微凸體先發(fā)生完全塑性變形，再發(fā)生彈塑性變形、彈性變形”的結(jié)論[17-19]有違常理，建立的剔除了“微凸體完全塑性變形”加載初始階段的法向接觸剛度表達式因?qū)嶒灂r無法將加載初始階段的塑性變形值從總變形量中分離出來而使所做的驗證缺乏效力。Morag等[20-21]注意到這一問題，并采用微凸體基底開口尺寸描述微凸體輪廓，糾正了M-B模型中微凸體變形是從塑性變形起向彈性變形模式轉(zhuǎn)變的錯誤；但是，Chen等[22]將取樣長度L=1/γn作為最大微凸體基底尺寸，以及據(jù)此推導出的與取樣長度相關(guān)的結(jié)合面接觸剛度模型值得商榷。可見，結(jié)合面法向接觸剛度模型仍有待于更為深入的探討。

本文擬基于確定粗糙表面的初始輪廓與接觸面積無關(guān)的思想，采用D，G和與最大微凸體高度表征分形粗糙表面輪廓，探討微凸體的變形狀態(tài)判據(jù)和微凸體接觸變形機制，建立粗糙表面的接觸剛度分形模型，并將模型計算結(jié)果與文獻實驗數(shù)據(jù)比較，考察模型的正確性，據(jù)此分析接觸剛度變化規(guī)律，以期為新建模型的應用提供理論基礎。

1 粗糙表面輪廓分形表征新方法

1.1 分形粗糙表面的接觸表征

兩個各向同性的粗糙表面的接觸可以等效為一個粗糙表面與一個剛性光滑平面的接觸，其粗糙表面二維輪廓曲線可采用Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(W-M函數(shù))表征[23]

(1)

式中：Z(X) 表示粗糙表面輪廓曲線的高度；X為輪廓的位置坐標；D為表面輪廓分形維數(shù)；G為輪廓特征尺度系數(shù)；γn表示輪廓曲線的空間頻率，nmin為最低層次指數(shù)；γ為大于1的常數(shù)，對于服從正態(tài)分布的表面，取γ= 1.5。輪廓曲線由D，G和nmin3個參數(shù)決定，D和G可由二維W-M函數(shù)的功率譜獲得，最低層次指數(shù)與最大微凸體的高度有關(guān)。圖1為一等效粗糙表面與一個剛性光滑平面的接觸。其中L，H分別為最大微凸體輪廓底面直徑和高，L′、H′分別為第二大微凸體輪廓底面直徑和高；Δ為一定載荷下最大微凸體法向變形量；L是在以最大的波谷處為基面得到的最大微凸體底面直徑。

圖1 一等效粗糙表面與一個剛性光滑平面的接觸Fig.1 Contact between a rough surface and a rigid flat plane

1.2 粗糙表面微凸體輪廓分形表征

對于公式(1)描述的由一系列不同尺寸的余弦波狀微凸體疊加而成的粗糙表面，如果忽略接觸過程中微凸體之間的相互作用、微凸體發(fā)生變形時的宏觀基體變形、接觸過程中材料硬化以及微凸體間的摩擦，并假設微凸體在垂直于粗糙度深度方向的任一截面均為圓截面，則粗糙表面上的任何一個微凸體，變形前的輪廓曲線均可描述為

(2)

式中：l為微凸體輪廓底面直徑，l=1/γn。當n=nmin，最大微凸體的基底l=1/γnmin=L；當n=nmin+1，對應微凸體的基底l′=1/γnmin+1=L′；以此類推，可獲得各對應微凸體的基底尺寸。

考慮到微凸體原始輪廓的表征參數(shù)不因承載而變化，這里定義的l與Majumder等[8]描述的與載荷作用后形成的微凸體接觸面對應的輪廓開口尺寸不同，而是一個只與微凸體高度相關(guān)的參數(shù)。

圖2為單個接觸微凸體及其接觸變形示意圖，h為微凸體的高度幅值。

圖2 單個微凸體的接觸變形Fig.2 Contact deformation of a single asperity

根據(jù)式(2)，微凸體高度可以表示為

h=GD-1l2-D

(3)

通過式(3)，可以計算出l。由此獲得的式(2)，只與D，G和Ls相關(guān)，而與測量尺度無關(guān)。

粗糙表面微凸體峰點處的曲率半徑為

(4)

圖2中δ為實際壓縮量，取值范圍為 0≤δ

通過簡化

(a)1/2=(πr2)1/2=2x

(5)

考慮到變形前后微凸體體積相等，并比較簡化成圓臺后的微凸體體積與變形前的體積，求取V1-V0極值，可獲得簡化公式(5)給變形帶來的誤差為(V1-V0)/V0=3.24%。

利用圖2所示的幾何關(guān)系，實際壓縮量δ可表示為

(6)

實際壓縮量δ是由變形情況，即接觸點產(chǎn)生彈性變形、彈塑性變形或塑性變形情況決定的。

2 粗糙表面真實接觸面積接觸載荷分析

2.1 微凸體接觸變形機制

在接觸壓力作用下，粗糙表面上的微凸體存在3種可能的變形狀態(tài)，即彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形狀態(tài)。

(1)彈性變形狀態(tài)：按照Hertz接觸理論，一定接觸壓力下微凸體的接觸面半徑r可表示為[25]

(7)

當接觸面上的平均接觸壓力pm小于粗糙表面材料的屈服極限σy時，微凸體處于彈性狀態(tài)；彈性接觸壓力pe可用pm表示，即

(8)

當pm=σy時微凸體出現(xiàn)初始屈服。將式(4)、(8)代入式(7)，則臨界彈性變形面積aec可以表示為

(9)

如果微凸體接觸面積a≤aec，則發(fā)生彈性變形；否則，微凸體將發(fā)生彈塑性或完全塑性變形。

(2)完全塑性變形：當接觸面上的平均接觸壓力pm=3σy時，微凸體完全屈服[26]，即塑性接觸壓力pp=3σy，此時

(10)

將式(4)、(7)代入式(10)可得

(11)

如果微凸體接觸面積a>apc，則微凸體發(fā)生完全塑性變形。

(3)彈塑性變形狀態(tài)：當aec≤a≤apc時，微凸體處于彈塑性變形狀態(tài)，這一階段微凸體接觸面積和接觸壓力的關(guān)系極為復雜。考慮到在初始屈服臨界點和完全塑性變形臨界點，接觸壓力的變化是連續(xù)和光滑的，利用文獻[27]構(gòu)造樣板函數(shù)

(12)

可導出彈塑性變形時的接觸壓力

pep=pe+(pp-pe)f(a)

(13)

2.2 粗糙表面接觸載荷

分形粗糙表面接觸載荷Fc與最大微凸體的變形狀態(tài)相關(guān)。接觸面上的接觸面積大小分布密度函數(shù)n(a)可表示為[28]

(14)

式中：a為微接觸點的面積；Ψ為真實接觸面積與最大微接觸點面積之比Ar/aL的修正系數(shù)；aL為微接觸點的最大面積。

對于aL

(15)

對于aec≤aL

(16)

對于aL≥apc，接觸表面上的接觸點處于塑性變形、彈塑性變形和彈性變形狀態(tài)，所承受的載荷Fc為彈性載荷、彈塑性載荷與塑性接觸載荷三者之和，即

(17)

由式(15)～(17)和式(3)可知

Fc=F(E,D,G,h,aL)

(18)

3 結(jié)合面的法向接觸剛度模型

結(jié)合面的法向接觸剛度等于接觸壓力對法向壓縮量的一階導數(shù)。考慮到粗糙表面的壓縮量與最大微凸體的變形量一致，則由式(18)與式(6)聯(lián)立，可得粗糙表面的法向接觸剛度

(19)

式中：aL可依據(jù)式(18)求得。之所以這樣描述法向接觸剛度，是因為粗糙表面的法向接觸剛度不同于微凸體接觸剛度，即在接觸壓力的作用下，即使aL>apc，接觸表面上仍有彈性變形狀態(tài)的接觸點存在，并隨著接觸界面間空隙被壓實，甚至成為近似剛體。

當aL

(19a)

4 與實驗數(shù)據(jù)的比較

本文模型計算剛度與Jiang等[15]實驗數(shù)據(jù)的比較如圖3所示。材料為鑄鐵，等效粗糙表面的彈性模量E=100 GPa，粗糙度Ra=1.44 μm，采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算獲得的分形參數(shù)D=1.405 8，G=2.282 6×10-10。本文模型計算剛度與實驗值具有相同的變化趨勢，在接觸荷載小于1.2 MPa時，兩者吻合度高，當接觸載荷大于1.2 MPa后，誤差趨大。本文剛度模型計算值偏離實驗值的主要原因在于：①采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算的分形維數(shù)D比實際的大[29]，尤其是小于D<1.5時更是如此，這就意味著實際粗糙峰比模型粗糙峰尖削，在接觸壓力作用下，其變形量較理論粗糙峰的大，從而導致初始接觸時實測剛度小于理論模型計算剛度值。②本模型忽略了接觸變形過程中相鄰接觸微凸體之間的相互作用，以及形變時材料強化作用；實際上，接觸壓力越大，相鄰接觸微凸體之間的相互作用即材料流動的阻力將越大，表現(xiàn)為實驗剛度值也就越大。

圖3 本模型剛度與Jiang的實驗數(shù)據(jù)比較Fig.3 Comparison with the Jiang’s test data

5 接觸剛度變化規(guī)律討論

圖4和圖5分別描述了分形參數(shù)D，G和接觸壓力對法向接觸剛度的影響。隨著分形維數(shù)或接觸壓力的增大，法向接觸剛度增大；隨著尺度系數(shù)的增大，法向接觸剛度減小。這是因為：分形維數(shù)的增大，使得微凸體基底尺寸增大，微凸體輪廓變得更加扁平，微凸體法向變形時承載面積增大速度快，承載能力急速增大；接觸壓力的增大，使得接觸面下移，接觸面積增大，承載能力急速增大；尺度系數(shù)的增大，微凸體波峰值增大，獲得相同承載面積時接觸壓力作用引起的法向變形較大。當G≤10-10m，D=1.6或D≥1.6，G=10-10m時，粗糙表面的空隙已經(jīng)壓實，變?yōu)閯傮w。

6 結(jié) 論

(1)提出了一種基于D，G與最大微凸體高度相關(guān)的粗糙表面輪廓分形表征方法。這種方法的應用，保證了確定粗糙表面的原始輪廓特征參數(shù)不因承載力大小的變化而變化。

(2)結(jié)合面的接觸載荷可以采用表達式Fc=F(E,D,G,h,aL)描述。

(3)當結(jié)合面上的接觸壓力小于其屈服強度時，不論微凸體發(fā)生彈性變形、彈塑性變形還是塑性變形，結(jié)合面均因存在有彈性變形的接觸點而具有一定的法向接觸剛度。當aL

(4)分形參數(shù)D，G和接觸壓力對法向接觸剛度的影響顯著。隨著分形維數(shù)或接觸壓力的增大，結(jié)合面的法向接觸剛度增大；隨著尺度系數(shù)的增大，結(jié)合面的法向接觸剛度減小。對于由分形粗糙表面與剛性平面構(gòu)成的結(jié)合面，存在某一接觸壓力，在這一接觸壓力下，其空隙被壓實，結(jié)合面將成為近似剛體。