柔性機械臂殘余振動控制

杜嚴鋒， 王 聰

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

近年來隨著航天技術的不斷發展，為了提高運載工具的效率，增大有效載荷，航天器的附件結構逐漸呈現輕質、柔性等特點，如太陽翼、衛星天線和空間機械臂等結構。這類柔性結構在執行運動任務過程中很容易產生較大的殘余振動，影響操作精度，甚至會影響結構的安全。為了使這類結構快速精確地完成機動任務，很多研究人員從不同方面進行了廣泛的研究。為了對柔性結構運動后的殘余振動進行控制，主要的方法為被動控制和主動控制等。其中被動控制主要通過在柔性結構上附加阻尼結構，來增加柔性結構的阻尼，吸收結構振動的能量，或者附加隔振結構隔離振動的能量，使殘余振動很快衰減。主動控制主要包括前饋控制方法和閉環反饋控制方法等，前饋控制是指通過調節輸入指令使柔性結構完成機動任務的同時減小殘余振動，閉環反饋控制是指將柔性結構的振動用傳感器測出，經過信號傳遞將振動信號反饋給控制系統，控制系統輸出指令使作動器控制結構的振動。被動控制方法對結構的高頻振動具有較好的抑制效果，但是對結構的低頻振動不能起到很好的抑制，主動控制方法由于在設計方面非常靈活，從而引起了研究人員的極大興趣。

前饋控制方法主要包括分力合成方法、輸入整形方法和S曲線方法等。Shan等[1]介紹了分力合成方法(Component Synthesis active Vibration Suppression,CSVS)抑制振動的原理，并將分力合成方法應用在柔性機械臂的殘余振動抑制方面，結果顯示分力合成方法使機械臂在完成機動動作的同時很好地抑制了殘余振動，Shan等還分析了分力合成方法對系統建模誤差的魯棒性。在CSVS方法的基礎上，Zhang等[2]基于零點配置方法設計了合成力來同時消除多模態殘余振動。Singhose等[3-4]采用了輸入整形方法來抑制殘余振動并分析該方法的魯棒性。除了CSVS方法和輸入整形方法以外，采用S曲線運動方式[5-7]來抑制殘余振動的方法也被廣泛研究。

在閉環反饋控制方法中，往往需要在結構上附加壓電傳感器和壓電作動器，壓電傳感器測量并向控制系統傳輸柔性結構的振動信號，壓電作動器接受控制系統的指令控制柔性結構的振動。董興建等[8]在懸臂梁上附加壓電材料作為傳感器和作動器，并對壓電懸臂梁進行了動力學建模，采用極點配置方法實現了對懸臂梁的振動主動控制。曹青松等[9-10]考慮了剛柔電相互耦合，利用模糊自整定PID算法，對壓電機械臂的振動控制進行了研究。姜晶等[11]將鑭改性鋯鈦酸鉛用作壓電作動器，利用光電效應實現了對結構振動的光學控制，并采用獨立模態控制方法對懸臂梁的振動控制進行了研究。陳希等[12]考慮壓電片不同粘貼位置，對柔性臂的振動控制進行了實驗研究，并得到了壓電片的最優控制位置。閉環反饋控制方法還包括正位置反饋控制方法[13]、變結構控制方法[14]和模態預測控制方法[15]等。其中正位置反饋控制方法采用柔性結構的廣義位移作為反饋來抑制柔性振動，廣義位移可以由傳感器測出柔性結構的應變經過變換得到，這就使得正位置反饋方法實現起來比較簡單和直接，并且正位置方法可以有效地增加柔性結構的模態阻尼。變結構控制方法具有很強的魯棒性，可以有效地處理柔性結構系統參數不確定和存在干擾力的情況。模態預測控制方法在系統存在多變量和高度非線性時具有很好的控制效果和魯棒性。但是由于閉環反饋控制通常需要為柔性結構附加傳感器和作動器結構，相對前饋控制來說較為復雜，所以本文通過調節柔性結構的輸入指令來控制柔性結構的殘余振動。

本文主要研究了柔性機械臂的殘余振動控制問題，用一次近似剛柔耦合模型對柔性機械臂進行了建模，得到了非慣性系下柔性機械臂的剛柔耦合模型。并用所建立的動力學模型對柔性臂系統進行了數值仿真，研究了柔性機械臂的殘余振動與機械臂的運動規律和運動參數的關系。

1 柔性機械臂動力學模型

1.1 柔性機械臂模型介紹

如圖1所示為柔性機械臂結構模型，柔性機械臂結構主要由中心剛體、柔性桿和末端質量組成。柔性桿的一端固定在中心剛體上，另一端連接末端質量。圖1中O0X0Y0為慣性坐標系，ObXbYb為浮動坐標系，未變形的柔性桿與末端質量用虛線表示，柔性桿變形后的柔性桿與末端質量用實線表示。其中浮動坐標系的ObXb軸固連在未變形柔性桿的中心軸線上。忽略中心剛體的形狀尺寸，慣性坐標系的原點O0與浮動坐標系的原點Ob重合。慣性坐標系和浮動坐標系的夾角為θ。

中心剛體的轉動慣量為Jh，作用在中心剛體上的控制力矩為τ。柔性桿的彈性模量為E，橫截面積為A，截面慣性矩為I，密度為ρ，長度為L。末端質量為mp，不計末端質量的尺寸。

1.2 一次近似剛柔耦合動力學建模

圖1中柔性桿中心軸線上距離原點x處的一點P0在柔性桿變形后為點P，點P0到點P的變形矢量在浮動坐標系下為up：

(1)

式中：u和v為變形矢量up在浮動坐標系下的分量;w1和w2為柔性桿軸向伸長量和橫向變形量;由于柔性臂在運動時橫向變形量遠大于軸向伸長量;所以取v=w2。wc為柔性桿橫向變形量引起軸向收縮量，為柔性桿橫向變形量與縱向變形量的二次耦合項，在傳統的零次近似模型中，這一項被忽略。wc表示為

(2)

柔性桿上的點P0在浮動坐標系ObXbYb下的位置矢量為ra=[x，0]T，則柔性桿變形后點P在慣性坐標系下的位置矢量為rp=Ts(ra+up)，其中Ts為浮動坐標系到慣性坐標系的轉換矩陣，Ts=[cosθ，-sinθ；sinθ，cosθ]。末端質量在浮動坐標系ObXbYb下的位置矢量為rb=[L，0]T，變形矢量為ub=[u(L，t)，v(L，t)]T，柔性桿變形后末端質量在慣性坐標系下的位置矢量為rm=Ts(rb+ub)。

柔性機械臂結構系統的動能Tsys主要由中心剛體的轉動動能Tz、柔性桿的動能Tr和末端質量的動能Tm組成，即Tsys=Tz+Tr+Tm。則系統的動能Tsys為：

(3)

式中:Jh為中心剛體的轉動慣量，柔性桿軸線上點P在慣性坐標系下的位置矢量rp對時間的導數為：

(4)

末端質量在慣性坐標系下的位置矢量rm對時間的導數為：

(5)

柔性機械臂結構系統的勢能Usys主要為柔性桿的變形能，Usys可以表示為：

(6)

通過系統動能和勢能的表達式，可以得到系統動能的變分δTsys和勢能的變分δUsys。系統的控制力矩為τ，系統的外力做功為Wf=τθ，則系統外力做功的變分為δWf=τδθ。由哈密爾頓原理，得到：

(7)

(9)

(10)

并得到一次近似剛柔耦合動力學方程在柔性桿兩端的邊界條件為：

其中B(x，t)為：

1.3 有限元離散動力學方程

(11)

2 非慣性系下柔性機械臂動力學模型

在大多數情況下，由于中心剛體的轉動慣量遠大于柔性桿和末端質量的轉動慣量，所以忽略機械臂柔性變形對系統轉動的影響，即假設柔性機械臂系統的運動規律是事先已知的。在柔性機械臂的轉動規律事先確定的時候，去掉方程(11)中的第一行，即得到非慣性系下柔性機械臂的動力學模型為：

(12)

式(12)為非慣性系下一次近似剛柔耦合動力學模型，將方程(12)中與柔性桿橫向變形量和縱向變形量的二次耦合項wc有關的項設為0即可得到傳統的零次剛柔耦合模型。

3 數值仿真

3.1 柔性機械臂運動規律

柔性機械臂轉動的角度為θ，角速度為ωa，角加速度為αa，柔性機械臂轉動角速度的規律設置如圖2所示。柔性機械臂先加速到角速度為ωa=ωa0，然后以ωa0的角速度勻速轉動，最后減速到角速度為0。如圖2所示，柔性機械臂加速轉動的時間為tacc，勻速轉動的時間為tcon，最后減速轉動的時間為tdec，柔性機械臂轉動的時間總共為tm=tacc+tcon+tdec。

圖2 柔性機械臂運動規律Fig.2 Motion profile of the flexible manipulator

當勻速轉動的時間tcon>0時，柔性機械臂為梯形運動規律，當勻速轉動的時間tcon=0時，柔性機械臂為三角形運動規律。柔性機械臂轉動的角度為θm，即圖2中柔性臂角速度曲線與時間軸所圍成圖形的面積。對于給定的轉動角度，勻速轉動的角速度ωa0=θm/(0.5tacc+tcon+0.5tdec)。柔性機械臂在各段時間轉動的角速度ωa和角加速度αa為：

對于給定的旋轉任務，即在一定的時間內柔性臂完成指定的旋轉角度，通過調節減速段的時間可以在一定程度上控制柔性臂旋轉后的殘余振動。柔性機械臂的仿真參數如表1所示。

表1 柔性機械臂仿真參數Tab.1 Simulation Parameters of flexible manipulator

用表1的參數對靜止時的柔性機械臂進行模態分析，得到柔性機械臂靜止時的前兩階固有頻率分別為f1=3.755 Hz，f2=30.991 Hz。用商業軟件ANSYS對靜止時的柔性機械臂進行模態分析，得到柔性機械臂的前兩階固有頻率分別為f1=3.753 Hz，f2=31.478 Hz，與前面計算得到的固有頻率基本接近，驗證了本文所建立有限元模型的準確性。設ζ為柔性臂的模態阻尼比，取值通常在0.03～0.05之間，則瑞利阻尼系數為b1=4π*f1*f2*ζ/(f1+f2)，b2=ζ/π/(f1+f2)。取模態阻尼比ζ為0.03，則得到瑞利阻尼系數,如表1所示。

3.2 殘余振動控制數值仿真

在柔性機械臂的自由振動中，柔性臂的第一階振動占據主要成分，柔性機械臂第一階振動的周期T1=1/f1，設Th=T1/8。在仿真過程中設定柔性機械臂轉動角度為θm=60°，轉動時間為tm=2 s，仿真時間為4 s，在轉動時間tm結束后，即仿真時間在2 s～4 s時間內主要為系統的殘余振動。為了研究柔性臂在給定圖2所示的運動規律時，不同的加速轉動時間tacc、勻速轉動時間tcon和減速轉動時間tdec對系統運動結束后殘余振動的影響，對不同的時間分配情況分別進行仿真。由于柔性機械臂的總轉動時間tm一定，所以加速轉動時間tacc、勻速轉動時間tcon和減速轉動時間tdec三個變量中只有兩個變量獨立，本文設置不同的勻速轉動時間tcon和減速轉動時間tdec，在給定tcon和tdec時，加速轉動時間tacc可以求出。

首先研究在不同的減速轉動時間tdec情況下系統的殘余振動情況，設置勻速轉動時間tcon=0 s，即柔性機械臂為三角形轉動規律，設置tdec=Th，用一次近似剛柔耦合模型對系統轉動進行仿真，仿真得到柔性桿末端的橫向變形w2和橫向變形的加速度a2隨時間變化規律,如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可以看出，當tdec=Th時在柔性機械臂轉動結束后，柔性機械臂出現較大的殘余振動，殘余振動的振動周期為T1。柔性機械臂振動變形的最大峰值的絕對值用Am表示，Am出現的時間為ta，由圖3可以看出，當tdec=Th時Am出現在2 s后，即系統轉動結束后。為了描述系統轉動結束后殘余振動的大小，以2 s后系統振動的第一個峰值的絕對值Ah來表示殘余振動的大小。

圖3 柔性桿末端的橫向變形(tdec=Th)

Fig.3 The transverse deformation of the flexible beam tip (tdec=Th)

圖4 柔性桿末端的橫向變形的加速度(tdec=Th)

Fig.4 The transverse deformation acceleration of the flexible beam tip (tdec=Th)

當tdec=8Th時，用一次近似剛柔耦合模型對系統進行仿真，仿真得到柔性桿末端的橫向變形w2和橫向變形的加速度a2隨時間變化規律如圖5和圖6所示。對比圖3和圖5可以看出，當tdec=8Th時系統振動變形的峰值Am出現在系統轉動結束之前，并且此時Am的值為0.032 6 m，小于減速時間為Th時Am的值0.079 9 m。系統轉動結束后殘余振動的第一個峰值絕對值Ah為0.003 8 m，遠小于減速時間為Th時Am的值0.079 9 m。當系統轉動剛結束時，由圖6可以看出系統的殘余振動中有高階振動分量，但是高階振動在系統殘余振動中占據成分很少，并且高階振動分量衰減很快。對比圖4和圖6可以看出，減速時間tdec為8Th時比減速時間tdec為Th時，柔性桿末端振動變形的加速度得到了很大的降低。綜合圖5和圖6可以看出，當減速時間為8Th時，系統的殘余振動得到了較大程度的抑制。

圖5 柔性桿末端的橫向變形(tdec=8Th)

Fig.5 The transverse deformation of the flexible beam tip (tdec=8Th)

圖6 柔性桿末端的橫向變形的加速度(tdec=8Th)

Fig.6 The transverse deformation acceleration of the flexible beam tip (tdec=8Th)

設置減速轉動時間tdec=i*Th，其中i=1，2，…，20。由于系統的總轉動時間和總轉動角度相同，勻速轉動的時間為0，所以在不同的減速時間情況下，系統的最大轉速ωa0相同。在設置不同的減速時間tdec情況下，系統振動變形的最大峰值Am以及它出現的時間ta如圖7所示。由圖7可以看出，在tdec≤4Th時，系統振動變形的最大峰值Am出現在系統轉動結束后，當tdec>4Th時，系統振動變形的最大峰值Am出現在系統轉動結束前。隨著tdec的增加，Am出現的時間ta逐漸減小，并且Am的值總體上先大幅減小后緩慢減小。在tdec處于12Th到16Th之間，Am的值變化平緩。系統殘余振動最大峰值的絕對值Ah與減速時間tdec的關系如圖8所示。由圖8可以看出當減速時間tdec=8Th和16Th時，殘余振動的最大峰值Ah達到局部最小，當tdec=8Th時，Ah的值為0.003 8 m大于當tdec=16Th時Ah的值0.003 0 m。由圖8可以知道隨著減速時間的增加殘余振動在整體上呈減小趨勢。

圖7 最大峰值Am以及Am出現時間ta隨減速時間的變化

Fig.7 The maximum peakAmand timetavary with the deceleration time

圖8 殘余振動最大峰值Ah隨減速時間的變化Fig.8 The residual vibration peak Ah vary with the deceleration time

為了研究不同的勻速轉動時間對系統殘余振動的影響，設置減速時間tdec為8Th，設置勻速轉動時間tcon=i*Th，其中i=0，1，…，20。當設置的勻速轉動時間tcon逐漸增大時，系統的最大轉速逐漸減小。系統殘余振動最大峰值的絕對值Ah與勻速轉動時間tcon的關系如圖9所示。由圖9可以看出，系統殘余振動隨著勻速轉動時間的變化而波動變化，當勻速轉動時間tcon=2Th、10Th和18Th時，殘余振動峰值Ah達到局部極小。

4 結 論

本文用一次近似剛柔耦合模型對柔性機械臂進行了建模，并得到了在非慣性系下柔性機械臂的動力學模型。當柔性機械臂為三角形和梯形運動規律時，針對不同的運動參數設置，用所建立的一次剛柔耦合模型對柔性臂系統進行了仿真，主要得出以下結論：

(1) 當系統的減速時間相對系統的一階振動周期較小時，系統轉動后殘余振動的幅值較大。當系統的減速時間等于系統的一階振動周期，系統的殘余振動得到了很好地抑制。在系統轉動剛結束時，殘余振動中含有高階振動分量，但高階振動在殘余振動中分量占比較小，并且很快衰減。

圖9 殘余振動最大峰值Ah隨勻速時間的變化Fig.9 The residual vibration peak Ah vary with the constant speed time

(2) 當勻速轉動時間不變時，隨著設置的減速時間的增加，系統振動變形的最大峰值逐漸減小，出現的時間逐漸提前，當減速時間處于12Th到16Th之間，振動變形的最大峰值變化平緩。當減速時間等于8Th和16Th時，即減速時間等于柔性臂一階振動周期的整數倍時，殘余振動的最大峰值達到局部極小。

(3) 當減速時間不變時，隨著勻速轉動時間的增加，系統最大殘余振動變形波動變化。當勻速轉動時間等于2Th、10Th和18Th時，即勻速轉動時間等于柔性臂一階振動周期的1/4，或者等于一階振動周期的1/4與一階振動周期的整數倍的和時，殘余振動峰值達到局部極小。