基于BP神經網絡的FTS輸出控制

呂雪軍， 李國平， 胡 力， 婁軍強， 呂俊智

(寧波大學 機械工程與力學學院， 浙江 寧波 315211)

具有特定微結構表面的光學精密元件在現代光學領域得到了越來越多的應用，光學精密元件的加工需要車刀與主軸的旋轉運動保持高頻同步,也就意味著切削進給機構必須在提供足夠的切削力的同時，具有足夠的剛度，盡可能減少加工過程中的振動，保證加工精度，這些要求對于傳統的車削設備是無法完成的。為了解決上述難題，近些年快速伺服刀架系統(Fast Tool Servo，FTS[1])的研究逐漸興起。FTS根據光學精密元件的加工特點，采用頻率響應能力高的驅動單元控制刀具的進給等一系列運動，保障具有特定微結構表面的光學精密元件的加工要求[2]。直線電機、電磁執行器和壓電陶瓷執行器等常見的驅動單元均可以實現上述功能[3]。根據當前伺服刀架的發展現狀，基于壓電陶瓷執行器的快速伺服刀架由于其精度高、控制簡單等特點得到了較為廣泛的應用。國內外對于壓電伺服刀架系統[4]的輸出位移的精確控制一直都是一個難題。對于該系統，利用傳統控制方法很難實現最佳控制，其主要原因是壓電伺服刀架系統受驅動器非線性特性、結構特性等因素影響。其次常規比例-積分-微分(Proportional Integral Derivative，PID[5])控制器的參數[6]是固定不變的，無法適應參數變化、干擾等變化因素，對于那些機理較復雜，具有高階非線性[7]、參數時變性、遲滯[8]等特點的被控對象，難以獲得理想的控制效果。只有當參數的變化限定在一定的范圍內時，才能夠保證系統的工作性能，所以，傳統控制方法無法滿足上述光學精密元件所提出的高精度加工要求。

針對上文中所提到的傳統控制方法的不足，一些學者為了優化快速伺服刀架控制方法，提高控制的精度，對刀架物理特性進行了建模分析，并在模型基礎上展開了控制方法研究。Andrew等[9]對其設計的壓電型FTS進行了建模和控制算法研究。在建模時，將刀架動力學特性等效為集中參數的單自由度結構，將壓電陶瓷的機電傳遞函數等效為線性比例系數，而遲滯和蠕變特性與切削力共同視為外力擾動，建立了刀架模型微分方程。根據已有的刀架模型微分方程，通過不同算法的對比分析，最終設計總結出滑模控制算法。并且通過相關實驗，驗證該算法的優點，具有較好的穩定性，可以弱化切削力的作用效果，能將定位誤差限制在20 μm之內。但該算法未能有效改善伺服刀架的位移跟蹤精度，實驗測試結果出現了實際位移曲線滯后于理想位移曲線，且實際的幅值變小的情況。Wu等[10]以音圈電機型FTS為研究對象，開展了相應的建模和控制算法探究。建模時，仍然將刀架的動力學模型簡化為集中參數的單自由度結構，將電機的力電關系等效為線性比例系數，得到電壓與位移的傳遞函數。通過建模分析得到該控制系統的傳遞函數，進行了主動自抗擾算法的研究。通過實驗顯示，該算法可以實現對于FTS的實時追蹤，響應速度快、靈敏度高，但是單純的主動自抗擾算法精度較差，導致最終誤差較大。通過模型前饋處理，可以對其誤差進行有效的減少，但仍然接近行程的5%。Wang等[11]設計了一套用于非圓活塞加工的壓電型FTS，并采用重復控制的方法來提高控制精度。王海峰將FTS刀架等效為一個單自由度系統，將刀架的電壓位移關系等效為一個線性増益，因此刀架的傳遞函數是一個典型的二階系統。以二階系統為理論基礎，采用PID控制技術，進行了重復控制算法的研究。通過大量的試驗驗證，可以發現該算法有效提高了在位移追蹤過程中的精度，有效地減小了追蹤誤差。但是該模型在對于信號的處理過程中，忽略了信號響應延遲對于信號分析的影響。而且由于該模型重復控制的特性，對于以正弦周期信號進行位移控制的FTS具有較為優異的效果，但是，不具備較好的推廣性，對于其他類型信號控制的FTS適用性較差。以上幾位學者的研究工作從FTS的建模出發，研究其控制算法，取得了不錯的成果，但建模分析和控制算法仍然存在一些值得改進的地方，最需要解決的是提高系統模型的準確性，并設計控制精度高的控制算法。

鑒于當前的發展趨勢，控制領域的專家學者也對PID控制的改進進行了大量深入的研究，并且取得了一定的研究成果。比如自校正控制、模糊控制等方案。上述改進方法基于各自的理論基礎，具有各自獨有的優點，但是在具體的改進過程中，均著眼于對于參數選取的改進，并沒有對傳統的控制器結構進行改進。上述方案相比于現有的PID控制器，得到了一定程度的改進，但是均具有一定的局限性，無法適用于種類繁多的控制問題，使它們的廣泛應用受到限制。針對上文中所提到的已有的控制技術的不足，本文采用BP神經網絡優化算法[12]，提出了一種新型的壓電伺服刀架位移輸出控制技術。并且根據大量的試驗結果顯示，該控制技術在實際使用過程中，綜合考慮了系統參數變化等問題對于控制效果的影響，可靠性較高。

1 壓電伺服刀架的總體設計

通過對上述壓電型FTS的分析，得出了機械結構的彈性模量對于刀具的回復力具有重要的影響。上述結構的缺陷主要在于無法提高刀具回復力，導致響應速度較慢。針對上文中所提到的缺陷，本文采用兩個壓電陶瓷執行器和柔性鉸鏈相結合，通過壓電陶瓷執行器為刀具提供回復力，而不僅僅是依賴機械結構本身的彈力，極大的提高了刀具的頻率響應速度。同時，該裝置采用對稱布局的結構，保證了裝置的整體剛度。具體設計如圖1所示 。

圖1 新型FTS模型Fig.1 New FTS model

在上述設計中，壓電執行器與柔性鉸鏈的接觸面一直處于預緊螺釘的預緊力作用下，保證二者的結合面一直處于貼合的狀態。當該裝置處于工作狀態時，壓電執行器A的電壓的改變會導致其伸縮長度的改變，繼而驅動柔性鉸鏈運動。比如，當電壓下降，壓電執行器A的伸長量逐漸減小，柔性鉸鏈依靠彈性回復力與壓電執行器B的推動力同步產生“收縮”運動。從而實現快速伺服刀架系統所需的伸縮運動。

2 壓電伺服刀架系統建模

上文所提及的壓電伺服刀架的驅動裝置為壓電陶瓷執行器[14]，由于壓電陶瓷執行器的非線性和遲滯特性的影響，定位精度很難達到理想的狀態，為了提高刀架的定位精度，必須對壓電伺服刀架系統進行控制研究，設計有效的控制器和控制算法。

2.1 壓電陶瓷執行器傳遞函數

壓電陶瓷執行器在工作過程中，通過改變其電壓，從而改變其厚度。這一特性可以與電容器的充發電過程進行類比。所以可將其當作一個電容和一個電阻的組合，構成一個慣性環節。其簡化模型如圖2所示。Ui為壓電陶瓷執行器的驅動電壓，C為壓電陶瓷執行器的等效電容，R為等效電阻。

圖2 壓電陶瓷執行器充放電過程的簡化模型Fig.2 Simplified model of charging and discharging process of piezoceramic actuator

根據基爾霍夫定律可得電路的微分方程：

(1)

進行相應變換得：

(2)

當電介質晶體受到電場作用時，會導致形變，繼而導致其自身物理特性的改變，這一現象也就是逆壓電效應[15]，逆壓電效應方程表示為：

S=d33E

(3)

式中：S為應變；d33為壓電系數(m/v);E為電場強度(v/m)。

聯合式(2)和(3)可以得到該執行器的傳遞函數：

(4)

結合該執行器性能參數，可以得到該壓電陶瓷執行器的壓電系數d33=0.33，壓電陶瓷執行器等效電容C=4.52 μF，等效電阻R=285 Ω。

2.2 壓電伺服刀架傳遞函數

2.2.1 壓電伺服刀架傳遞函數的構建

根據該伺服刀架的運動特點，可以用質量-彈簧-阻尼系統進行類比，具體結構如圖3。其中m為伺服刀架的等效質量，k為刀架的等效剛度系數，c為刀架的等效阻尼系數，y(t)為刀架的輸出位移，F1(t)為刀架的驅動力，F2(t)為刀架受到的徑向切削力。

圖3 壓電伺服刀架動力學模型Fig.3 Dynamic model of piezoelectric servo tool holder

根據牛頓運動定律可得出其微分方程為

(5)

空載情況下F2(t)=0，式(5)簡化為，

(6)

對式(6)進行拉式變換，得，

(7)

2.2.2 壓電伺服刀架傳遞函數參數的辨識

通過ANSYS進行該刀架的有限元建模，分析得到其剛度k，ωn和ξ可通過壓電伺服刀架的頻率響應特性測試來獲得，最終得到壓電伺服刀架動力學模型。

通過Creo2.0進行該刀架的三維建模，采用有限元分析軟件對其進行有限元仿真，采用SOLID單元進行網格劃分，材料屬性為：彈性模量E=68 GPa，泊松比為0.33，密度為2.7 g/cm3,材料的屈服強度為470 MPa。然后分析刀架的剛度，大部分光學精密元件的加工的載荷在1 000 N左右[13]，故設置邊界載荷為1 000 N，其有限元分析結果，如圖4所示。

圖4 1 000 N時仿真的變形分布圖Fig.4 Deformation distribution of simulation at 1 000 N

當刀具獲得了大小為1 000 N的外力后，此時可以得出刀具最大輸出位移是64.058 μm ，經計算刀具運動部分的剛度為27.427×106N/m。

圖5給出了測量壓電伺服刀架頻率響應特性的實驗系統。FFT儀器、脈沖錘和加速度傳感器共同組成了測量壓電伺服刀架頻率響應特性的實驗系統。其工作過程是脈沖錘敲打壓電伺服刀架使其產生物理上的波動，而這個波動會被敏感的加速度傳感器檢測到，儀器檢測到后會把監測到的波動送入FFT儀器中，最后再經過FFT儀器分析后，得出刀架的頻率響應特性曲線。

圖5 壓電伺服刀架頻率響應特性測試系Fig.5 Test system for frequency response characteristics of piezoelectric servo turret

圖6給出了基于所搭建系統測得的壓電伺服刀架頻率響應特性。

根據頻譜圖半功率帶寬法得出阻尼系數：

(8)

Δf=f2-f1

(9)

式中：f和ξ分別表示實際工作過程中壓電伺服刀架的固有頻率和阻尼系數，f1、f2為在頻譜圖中共振峰值0.707倍與共振曲線上的兩個交點數值。由圖6可知共振頻率、共振峰值分別是922 Hz和6.342。則f1=843 Hz，f2=952 Hz。將數值代入式(8)可得：

(10)

2.3 壓電伺服刀架系統傳遞函數

(a) 平臺加速度

(b) 幅頻特性圖6 壓電伺服刀架的頻率響應特性曲線Fig.6 Frequency response characteristic curve of piezoelectric servo tool holder

壓電陶瓷執行器的驅動電源實質上是一個功率放大器，把計算機D/A輸出的0～5 V電壓放大到適用于壓電陶瓷執行器的0～150 V電壓，其放大倍數為30，因此電源傳遞函數為：

G3(s)=30

(11)

根據各模塊的模型，建立整體的開環系統框圖，如圖7所示。

圖7 壓電伺服刀架開環系統框圖Fig.7 Block diagram of piezoelectric servo turret system

G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)=

(12)

式(12)是壓電伺服刀架開環系統的傳遞函數。通過MATLAB simulink進行仿真，圖8是得到的系統單位階躍響應曲線。

從圖12中可以看出，該系統響應時間約為1 s，振蕩次數為3次，穩態值為0.009 9，峰值時間為0.144 0 s，超調量為0.497 8。分析數據可得該壓電伺服刀架系統的響應時間較長，穩定后的輸出值不能準確跟蹤輸入值，其次，超調量過大，所以必須對該開環系統進行閉環控制，提高其控制精度。

圖8 壓電伺服刀架開環系統階躍響應圖Fig.8 Step response diagram of open loop system of piezoelectric servo tool holder

3 壓電伺服刀架系統前饋控制和PID控制研究

3.1 壓電伺服刀架系統的前饋控制器設計

前饋控制屬于開環控制，它在模型預測的基礎上提前補償可能出現的偏差，從而及時有效地跟蹤被控對象的參考輸入。前饋控制需要對所建立的遲滯模型求逆模型。如圖9所示，PI遲滯模型及其逆模型在笛卡爾坐標系中關于直線z=r對稱，且二者的乘積為單位矩陣E，即z′z=E。

圖9 PI模型與其逆模型Fig.9 PI model and its inverse model

由文獻[1]可知，PI模型的逆模型為：

(13)

在Backlash算子中，r，w，z，x分別表示閾值、權重、輸出和輸入。T為采樣周期。0=r0

式中，

(14)

(15)

(16)

i=1, 2, …,n-1

(17)

將文獻[1]中辨識所得到的PI模型參數代入式(14)～式(17)，即可求得逆模型的參數，然后將參數代入式(13)，從而可得逆模型，即壓電伺服刀架系統的前饋控制器。

3.2 PID控制器設計

PID控制算法是由比例、積分和微分三種算法組成的，其中，比例環節調節系統的偏差，積分環節主要提高系統的無差度，微分環節減少調節時間。PID參數整定是PID控制器設計的關鍵，對控制器的響應速度及控制精度非常重要。本文將采用目前應用較為廣泛的Ziegler-Nichols參數整定法[14]，達到最優化的參數整定。從而提高壓電伺服刀架系統的響應速度及控制精度。

其整定公式如下：

(19)

式中：kp,kd和ki分別為比例系數、微分時間常數以及積分時間常數，wm和km分別系統的振蕩頻率和剛剛產生振蕩時的增益大小。在MATLAB 中進行參數整定，得到未整定時開環系統的根軌跡圖，如圖10所示。在該圖上可選定穿越jw軸時的點，從而獲得增益km和該點的w值即為wm。

圖10 系統整定之前的根軌跡圖Fig.10 The root locus diagram of system before tuning

圖10和圖11分別是整定前閉環系統的根軌跡和整定前后系統的伯特圖，在圖11中，系統整定后，頻帶拓寬，相移超前，系統達到完全穩態狀態。通過Matlab可求得穿越增益km=164.367 8。采用Ziegler-Nichols整定方法可求得PID參數：

3.3 PID控制器的Simulink仿真

在Matlab環境中建立壓電伺服刀架系統PID控制的Simulink仿真模型如圖12所示。控制器采用上文提到的PID算法來實現控制。

圖11 整定前后系統的伯特圖

Fig.11 The Bert diagram of the system before and after the setting

圖12 PID控制的Simulink模型Fig.12 Simulink model controlled by PID

圖13是PID控制階躍響應曲線，由圖可得大約在經過0.4 s整個系統趨于穩定，不過還具有超調現象，超調量為：

(20)

相對于開環系統而言，PID控制在超調量方面改善還是比較明顯的，然而在響應時間方面改善不夠明顯。

圖13 PID控制階躍響應曲線Fig.13 Step response curve of PID control

4 基于BP神經網絡PID控制器的控制仿真

4.1 BP神經網絡的PID 控制器原理

BP神經網絡不僅結構和學習算法簡單而且具有逼近任意非線性函數的能力[15]。基于神經網絡自學習的能力，可得系統最優控制的PID參數。讓控制系統的控制參數一直是最優解，可以實現刀架輸出位移的高精度控制。圖14為以BP神經網絡為前提設計出的PID控制系統結構圖。

圖14中e(k)和u(k)分別是系統實際輸出和標準數值的差和控制器的輸出。

圖14 基于BP神經網絡的PID控制系統結構圖Fig.14 Structure of PID control system based on BP neural network

該控制器控制算法流程圖，如圖15所示。

4.2 BP神經網絡的PID 控制器在FTS控制系統中的仿真研究

使用MATLAB軟件建立神經網絡，將學習速率η=0.3，慣性系數設置為α=0.3，加權系數是在[-0.5，0.5]區間內的隨機值。初始權值也設置為一個隨機數，然后開始運行神經網絡，當網絡穩定收斂后采用穩定值作為不同層級之前的權值。當我們運行穩定后得到一組新的權值wi，wo如下

圖15 BP網絡算法流程圖Fig.15 Flow chart of BP network algorithm

用該組數據重新仿真得到實時整定參數，控制效果明顯得到改善，如圖16所示。

圖16 穩定權值下BP網絡的階躍響應曲線Fig.16 Step response curve of BP network with stable weights

由圖17可得BP神經網絡PID控制器性能優秀，在很短時間內就收斂，具有很強的穩定性與適應性。仿真得到的響應結果如表1所示。

表1 控制系統的性能參數Tab.1 Performance parameters of control system

由表1可以得出，BP神經網絡PID控制器的最大超調量是一個較小的水平，表明控制效果良好，響應時間僅有0.12 s，這表明系統響應速度快，動態特性良好，可以滿足高速響應的要求。

圖17 穩定權值下BP網絡的參數自適應kp、ki、kd整定曲線

Fig.17 Parameter adaptiveKP,KiandKDsetting curves of BP network with stable weights

5 實驗結果與分析

壓電陶瓷伺服刀架實驗平臺的組成有五個部分，如圖18所示，分別是負責實驗平臺運算控制的計算機、電渦流位移傳感器、負責采集數據的數據采集器、為壓電陶瓷執行器提供電源的壓電陶瓷驅動電源以及信號調理電路。

圖18 壓電伺服刀架實驗平臺Fig.18 Piezoelectric servo tool stand experimental platform

圖19給出了在階躍信號作用下有無前饋控制時壓電伺服刀架平臺的響應。由該圖可知：在10 μm的階躍信號作用下，圖19(a)表示不采用控制措施，刀架平臺實際位移與參考位移的最大誤差為0.494 1 μm，平均誤差為0.363 2 μm，響應時間為0.01 s；圖19(b)表示經過前饋控制后，實際位移與參考位移之間的最大誤差為0.436 5 μm，平均誤差為0.233 1 μm，響應時間為0.01 s。這說明采用控制系統可以顯著降低刀架平臺的運動誤差。

圖20表示PID控制系統對刀架平臺進行控制后，刀架平臺輸出位移誤差顯著降低，僅為0.174 3 μm，響應時間為0.36 s，與前饋控制方式相比，平臺運動精度得到了很大程度的提高，但是系統響應時間變慢。

(a) 受控前誤差圖

(b) 受控后誤差圖圖19 有無前饋控制時平臺的誤差圖Fig.19 The error diagram of platform with or without feedforward control

圖20 PID控制下平臺的誤差圖Fig.20 Response and error diagram of platform under PID control

圖21是BP神經網絡PID控制系統對階躍輸入的響應，可以得到壓電刀架平臺在經過控制后的輸出位移誤差為0.112 6 μm，響應時間為0.15 s；相比于前兩種控制方式，BP神經網絡PID控制在響應時間與控制精度上均有所提高，能夠實現高速高精度控制，這可以讓刀架平臺在短時間內達到很好的定位精度。

圖21 BP神經網絡PID控制平臺的誤差圖Fig.21 Response and error diagram of platform under BP neural network PID control

6 結 論

本文針對壓電伺服刀架系統所存在的遲滯、非線性等問題，首先對壓電伺服刀架系統進行了系統建模。運用Ziegler-Nichols參數整定法設計PID控制器，但是單獨運用PID 控制器對刀架系統進行控制，雖然可以得到較好的控制精度，但是系統的響應時間較長，為了更好進行控制，需要更為優越的參數整定方法。遺傳算法相比Ziegler-Nichols參數整定法更為有效。本文提出了基于BP神經網絡的PID控制器，可以實現對PID參數的優化調整，能夠實現參數動態尋優，讓控制系統的控制參數一直是最優解，可以實現刀架輸出位移的高精度控制。通過在MATLAB中進行仿真，可以得出基于BP神經網絡的PID控制系統性能優良，系統超調量為25%，響應時間為0.12 s，在保證精度的前提下實現了高速動態響應，并且系統穩定性非常好。基于BP神經網絡的PID控制器與傳統PID控制以及前饋系統相比，參數整定更為優秀，控制效果也得到了顯著提高。實驗驗證了10 μm的階躍輸入條件下BP神經網絡PID控制系統響應時間為0.15 s，與前饋系統相比雖然響應略微滯后，但是控制精度比很高，平均誤差僅為0.112 6 μm，這與其他兩種方式相比優勢顯著。