角度偏移對微機械陀螺系統(tǒng)響應特性的影響

張利娟， 李欣業(yè)， 張華彪

(1. 河北工業(yè)大學 機械工程學院， 天津 300130; 2. 天津商業(yè)大學 機械工程學院， 天津 300134)

微機械陀螺由于體積小、重量輕、可靠性高等優(yōu)點，被廣泛應用于商業(yè)和軍事領(lǐng)域。微機械陀螺的性能與其動力學特性緊密相關(guān)，因此微機械系統(tǒng)相關(guān)動力學問題的研究受到了人們的普遍關(guān)注。國內(nèi)外學者對此進行了比較深入的研究，李欣業(yè)等[1-2]分別對簡諧激勵和參數(shù)激勵的微機械陀螺系統(tǒng)的動力學特性及其時滯反饋控制進行研究，分析了系統(tǒng)參數(shù)和反饋增益及時滯對振幅和分岔特性的影響。尚慧琳等[3]研究了參數(shù)激勵和具有立方非線性的切向梳齒驅(qū)動型微陀螺，利用分岔理論得到了Hopf分岔條件，并通過數(shù)值模擬揭示了系統(tǒng)參數(shù)對驅(qū)動和檢測模態(tài)振幅和分岔行為的影響機制。文永蓬等[4]通過對微陀螺非線性模型的求解，探討了驅(qū)動微彈性梁和檢測微彈性梁的非線性剛度對微陀螺輸出的影響規(guī)律，研究了微陀螺的帶寬在非線性剛度作用下的設(shè)計原則。張琪昌等[5-6]分別研究了微機械系統(tǒng)中的空氣阻尼與非線性靜電力以及驅(qū)動器的時滯特性對系統(tǒng)共振頻率和響應特性的影響。

對于微機械陀螺而言，除了自身參數(shù)外，加工誤差的影響也很重要。由于尺寸很小，微機械陀螺的敏感結(jié)構(gòu)通常采用微加工技術(shù)一次成型，在現(xiàn)有條件下，其加工誤差是很難控制的。加工誤差的存在使得微機械陀螺的彈性主軸和驅(qū)動/敏感軸不能完全重合[7]，導致驅(qū)動模態(tài)將部分彈性力耦合到敏感模態(tài)，引起了誤差信號的出現(xiàn)，直接影響到陀螺儀的性能。Mohammadi等[8]研究了耦合誤差對諧波和參數(shù)激勵的微陀螺系統(tǒng)精度的影響。吝海鋒[9]研究了不同誤差來源對正交耦合的影響，發(fā)現(xiàn)振動結(jié)構(gòu)支撐梁的加工誤差是引起結(jié)構(gòu)剛度不對稱并產(chǎn)生正交耦合的主要因素，計算了正交耦合系數(shù)對梁寬誤差和梁傾斜誤差的敏感度。 姜劭棟等[10]利用能量方法推導陀螺儀驅(qū)動梁的面內(nèi)剛度，建立陀螺儀的剛度矩陣，推導了交叉耦合系數(shù)的理論計算公式。Tatar等[11]利用有限元計算和試驗證實正交誤差主要來源于機械剛度不對稱，并設(shè)計了一種閉環(huán)控制裝置對正交誤差進行補償，該裝置可以有效減小正交誤差，同時還可以提高系統(tǒng)的機械靈敏度和線性度。賀琨等[12]認為振動結(jié)構(gòu)支撐梁的加工誤差是產(chǎn)生模態(tài)耦合誤差的主要因素，在與該誤差對稱的位置去除相應材料可以減小甚至消除模態(tài)耦合誤差，并利用紫外激光對微陀螺樣機進行了結(jié)構(gòu)平衡實驗。郝淑英等[13]建立的微機械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的有限元模型，研究了微陀螺驅(qū)動微梁在加工誤差下的微梁形狀變化對正交耦合誤差、模態(tài)耦合以及檢測信號的影響。Gao等[14]研究了雙質(zhì)量MEMS陀螺儀的最佳正交誤差修正方法，比較了電荷校正，正交力校正和耦合剛度校正三種方法，發(fā)現(xiàn)耦合剛度校正效果更好。Phani等[15]考慮非對稱剛度和阻尼的影響，提出三種基于參數(shù)辨識的微機械陀螺系統(tǒng)建模方法，用于確定驅(qū)動和敏感模態(tài)耦合程度以及兩者頻率之間的匹配。

雖然很多文獻指出加工誤差引起剛度不對稱是機械耦合誤差產(chǎn)生的主要原因，但這些文獻更多的關(guān)注誤差的補償方法以及加工誤差對交叉耦合剛度的影響，針對加工誤差對微陀螺系統(tǒng)誤差的影響機理的研究并不多見。同時在微機械系統(tǒng)中，非線性是普遍存在的，現(xiàn)有文獻大多沒有考慮到非線性的影響。

本文的第2部分將考慮微陀螺系統(tǒng)的剛度非線性以及加工誤差引起的彈性主軸和驅(qū)動/敏感軸之間的角度偏移，建立微機械陀螺的動力學方程，并利用平均法求得了關(guān)于系統(tǒng)響應振幅和相位的慢變方程。第3部分基于同倫延拓方法研究了偏移角度對零偏、機械靈敏度和非線性度的影響。

1 微機械陀螺的動力學模型及其周期解

微機械陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中微機械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量為m，Ω為被檢測的角速度，xa-ya是絕對坐標系，x-y為微陀螺系統(tǒng)的驅(qū)動/檢測坐標系，x軸為輸入軸(驅(qū)動模態(tài)方向)，y軸為輸出軸(檢測模態(tài)方向)，xp-yp為微陀螺系統(tǒng)彈性主軸坐標系，φ和ψ分別是x和xp以及y和yp之間由于加工誤差產(chǎn)生的偏移角度。

圖1 微機械陀螺物理模型Fig.1 The physical model of MEMS gyroscope

容易求得質(zhì)量塊的絕對坐標為

xa=xcosθ-ysinθ,ya=ycosθ+xsinθ

(1)

其中θ=Ωt，xa,ya對t求導可得m的絕對速度為

(2)

因此可得質(zhì)量塊的動能為

(3)

考慮到驅(qū)動/檢測軸和彈性主軸發(fā)生偏斜，彈性主軸的變形量為

(4)

假定微陀螺系統(tǒng)的剛度具有三次非線性，可求得的勢能為(此處不考慮微陀螺重力勢能)

(5)

式中：kx,ky分別為驅(qū)動、檢測方向的線性剛度系數(shù)，αx,αy分別是驅(qū)動、檢測方向的非線性剛度系數(shù)，Ue為電動勢能，有fd=-Fcosωt=-?Ue/?x，為x方向電極的驅(qū)動力，y方向敏感電極的驅(qū)動力是y的近似線性函數(shù)，大小為-?Ue/?y=key。根據(jù)拉格朗日方程，可求得系統(tǒng)的動力學方程為

(6)

式中：cx,cy分別是x,y方向的阻尼系數(shù)，考慮到交叉耦合阻尼對系統(tǒng)誤差影響很小，這里忽略了交叉耦合阻尼項，G=2mΩ,為陀螺力項系數(shù)。方程(6)中出現(xiàn)了線性和非線性的交叉耦合剛度，各剛度項的系數(shù)見式(7)。

(7)

定義X=x/r,Y=y/r,τ=ωt，其中r為基準長度。對式(6)進行無量綱化，有

(8)

其中

(9)

X=A1cos(τ+θ1),Y=A2cos(τ+θ2)

可得關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的平均方程為

(10)

2 偏移角度對系統(tǒng)響應特性的影響

m=0.01 g,r=1 μm,kx=ky=1.5×103N/m,cx=cy=5×10-3Ns/m,ke=100 N/m，αx=αy=7.5×103N/m3,ω=12 600 rad/s

圖2 敏感方向無量綱振幅隨被檢測角速度Ω變化的 曲線(φ=0)

Fig.2 Variation of non-dimensional amplitude in sensitivity direction with the detected angular velocityΩ(φ=0)

圖2和圖3中可以看到隨偏移角度的增大，系統(tǒng)的零偏也在增大。為了描述偏移角度對零偏的影響，圖4給出了偏移角度對零偏的影響，其中A20表示無量綱零偏，可以看到沿-φ=ψ方向，零偏隨偏移角度的增大逐漸增大。為了更好的描述偏移角度對零偏的影響，圖5給出了幾種特殊情況下偏移角度對零偏的影響，可以看到偏移角度為0時，零偏也為0；當只有一個方面有角度偏移時(另一方向角度偏移為0)，ψ和φ對零偏的影響是相同的；當兩個方向的偏移角度相等時(φ=ψ)，零偏的值較??；而兩個方向的偏移角度互為相反數(shù)時(-φ=ψ)，零偏值的變化范圍很大，隨著偏移角度的增大，零偏迅速增大。圖5中同時給出了基于龍格庫塔法的數(shù)值計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其與解析計算結(jié)果吻合的非常好。

圖3 敏感方向無量綱振幅隨被檢測角速度Ω變化的 曲線(ψ=0)

Fig.3 Variation of non-dimensional amplitud in sensitivity direction e with the detected angular velocityΩ(ψ=0)

圖4 偏移角度對無量綱零偏的3D影響圖Fig.4 3D influence diagram of deviation angular on the non-dimensional zero bias

(a) φ=0

(b) ψ=0

(c) φ=ψ=β

(d) -φ=ψ=β圖5 偏移角度對無量綱零偏的影響曲線Fig.5 Influence of angular deviation on the non-dimensional zero bias

此外從圖2和圖3可以看到，加工誤差引起的偏移角度不僅對曲線的零偏有影響，對曲線的斜率和線性程度也有影響，它們在陀螺系統(tǒng)響應特性上分別表現(xiàn)為系統(tǒng)的機械靈敏度和非線性度。為了對系統(tǒng)的機械靈敏度和非線性度進行分析，設(shè)定系統(tǒng)的量程為0～50 rad/s，利用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行線性擬合，設(shè)定擬合公式為[17]

A2l=SΩ+A20

(11)

式中：S為系統(tǒng)的無量綱機械靈敏度，A20為無量綱零偏。圖6給出了敏感方向振幅隨被檢測角速度變化曲線擬合的結(jié)果，其中A2為原始數(shù)據(jù)，A2l為擬合后的結(jié)果，顯然兩者不可能完全一致，兩者之間的差異可以用非線性度來表示，定義非線性度為[17]

(12)

圖6 敏感方向振幅隨被檢測角速度變化曲線的 線性擬合(φ=ψ=-0.5°)

Fig.6 Linear fitting of variation of amplitude in sensitivity direction with the detected angular velocity (φ=ψ=-0.5°)

圖7和圖9分別給出了偏移角度對無量綱機械靈敏度和非線性度的影響，可以看到機械靈敏度沿-φ=ψ方向隨偏移角度絕對值的增大而減小，而非線性度的變化相對復雜，沿-φ=ψ方向在偏移角度絕對值較小時，非線性度隨偏移角度的增大而增大，在偏移角度較大時，對應局部區(qū)域，非線性度出現(xiàn)了一些峰值。為了更好的描述偏移角度對機械靈敏度和非線性度的影響，圖8和圖10分別給出了幾種特殊情況下，偏移角度對無量綱機械靈敏度和非線性度的影響，可以看到偏移角度為0時，無量綱機械靈敏度最大，非線性度最?。划斨挥幸粋€方面有角度偏移時(另一方向角度偏移為0)，ψ和φ對無量綱機械靈敏度和非線性度的影響是相同的；當兩個方向的偏移角度相等時(φ=ψ)，無量綱機械靈敏度和非線性度隨偏移角度的變化幅度很小，且機械靈敏度較大，而非線性度較小；而兩個方向的偏移角度互為相反數(shù)時(-φ=ψ)，機械靈敏度和非線性度隨偏移角度變化劇烈，隨著偏移角度的增大，機械靈敏度迅速減小，而非線性度迅速增大，且非線性度在某些參數(shù)范圍出現(xiàn)了峰值。圖8和圖10中給出了基于龍格庫塔法的數(shù)值計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其與解析計算結(jié)果吻合的非常好。

圖7 偏移角度對無量綱機械靈敏度的3D影響圖Fig.7 3D influence diagram of deviation angular on the non-dimensional mechanical sensitivity

(a) ψ=0

(b) φ=0

(c) φ=ψ=β

(d) -φ=ψ=β

圖8 偏移角度對無量綱機械靈敏度的影響

Fig.8 Influence of deviation angular on the non-dimensional mechanical sensitivity

圖9 偏移角度對非線性度的3D影響圖Fig.9 3D influence diagram of deviation angular on the nonlinearity

對于理想的微陀螺系統(tǒng)，我們希望其零偏和非線性度較小，而機械靈敏度較大，圖4、7、9中可以看到當偏移角度ψ和φ滿足一定關(guān)系時，系統(tǒng)的零偏、非線性度和機械靈敏度取極值。圖11給出了系統(tǒng)零偏、非線性度取極小值，機械靈敏度取極大值時ψ和φ的關(guān)系曲線，可以看到三條曲線是重合的，當偏移角度接近該曲線時，微陀螺系統(tǒng)的零偏、機械靈敏度和非線性度都較好。在工程中，微機械陀螺的敏感結(jié)構(gòu)加工出現(xiàn)誤差時，需要對其進行修型，修型并不需要將每個方向的角度偏差都修正為0，只需對某一方向進行修正使得兩方向的偏移角度值靠近圖11所給出的曲線，系統(tǒng)就會變現(xiàn)出較好的響應特性。

(a) Ψ=0

(b) φ=0

(c) φ=Ψ=β

(d) -φ=Ψ=β圖10 偏移角度對非線性度的影響Fig.10 Influence of deviation angular on the nonlinearity

圖11 零偏、非線性度取極小值，機械靈敏度取極大值 時偏移角度的關(guān)系曲線

Fig.11 The relation curves between deviation angles when zero bias, nonlinearity is minimized and the mechanical sensitivity is maximized

3 結(jié) 論

本文針對微機械陀螺系統(tǒng)加工誤差對響應特性的影響，主要進行了如下工作：

(1) 考慮微陀螺系統(tǒng)的剛度非線性以及加工誤差引起的彈性主軸和驅(qū)動/敏感軸之間的角度偏移的影響，通過拉格朗日方程求得了系統(tǒng)的動力學方程，利用平均法求得了關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的慢變方程。

(2) 采用同倫延拓方法分別研究了加工誤差引起的角度偏移對微陀螺系統(tǒng)響應特性的影響，給出了偏移角度對零偏、機械靈敏度和非線性度影響的三維曲面，發(fā)現(xiàn)只有一個方向有角度偏移時，驅(qū)動或者敏感方向的角度偏移對三者的影響是相同的，即隨著偏移角度絕對值的增大，零偏和非線性度增加，機械靈敏度降低。驅(qū)動和敏感方向同時有角度偏移時，沿兩個偏移角度互為相反數(shù)的方向，零偏、機械靈敏度和非線性度隨偏移角度大小的變化非常劇烈；而當偏移角度接近時，零偏、機械靈敏度和非線性度隨偏移角度大小的變化較為平緩。

(3) 給出了系統(tǒng)零偏、非線性度取極小值，機械靈敏度取極大值時兩個方向偏移角度之間的關(guān)系曲線，當偏移角度接近該曲線時，微陀螺系統(tǒng)的零偏、機械靈敏度和非線性度都較好。在工程中，對微機械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的修型并不需要將每個方向的角度偏差都修正為0，只需對某一方向進行修正使得兩方向的偏移角度值接近該曲線即可。