螺桿定子襯套熱老化本構參數及內腔變形規律研究*

(西南石油大學機電工程學院 四川成都 610500)

螺桿鉆具(Positive Displacement Motor，PDM)作為石油天然氣開采中的主要動力工具之一，在我國年使用量超過2萬套[1]。但螺桿鉆具電動機在工作超過100 h后，其機械效率往往會從50%下降到35%左右，在深井高溫環境中更是如此，其性能衰退的主要原因是定子橡膠的熱老化[2]。目前國內外關于螺桿鉆具定子橡膠力學性能的研究已有一定的進展，但是關于深井高溫環境下定子襯套材料氫化丁腈橡膠力學性能的研究還不充分。隨著我國深井、超深井鉆探數量的增多，亟需研究深井高溫環境下襯套橡膠熱老化過程中的力學性能變化，以及對螺桿鉆具定子襯套線型變形規律的影響。

國內外學者的研究表明，橡膠的熱老化過程實際上是高分子材料發生化學交聯的過程，交聯度和交聯密度隨著溫度的升高及老化時間的增加而變化，它們共同影響著橡膠硬度及其力學性質的變化[3]。葉衛東等[4]利用經驗公式得到Mooney-Rivlin模型參數，模擬了橡膠材料力學參數對螺桿泵密封性能的影響。WOO等[5-6]基于單軸拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗研究了天然橡膠的力學性能，預測了天然橡膠的壽命。王明起[7]總結了橡膠力學性能試驗的相關方法，提出了橡膠定子疲勞壽命預測方法。曹婷婷[8]進行了密封圈橡膠材料老化試驗，并建立了相關的有限元模型。文獻[9-11]對橡膠疲勞特性和螺桿泵結構參數開展了研究。然而，目前學者對石油裝備中螺桿鉆具定子橡膠襯套的系統研究仍較少，對螺桿鉆具力學性能研究的相關文獻也不多。

本文作者基于ASTM材料試驗標準，制備螺桿鉆具定子襯套采用的氫化丁腈橡膠試樣，并進行熱老化處理及拉伸試驗；基于Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型理論擬合了本構模型參數；建立了定子襯套有限元模型，并模擬了不同井深下的定子襯套變形規律。

1 橡膠本構模型及參數擬合

目前橡膠材料超彈性本構模型種類較多，文中僅討論在工程計算中應用較多且在各應變區間計算精度不同的Mooney-Rivlin和Yeoh 2種本構模型。

1.1 Mooney-Rivlin模型

該模型假設橡膠材料應變能密度W可以分解為應變偏量能和體積應變能兩部分，在未變形狀態下其彈性是各向同性的，且完全不可壓縮的，那么W的函數形式如下：

(1)

式中:Cij(C00=0)為常數;I1為第一應變不變量;I2為第二應變不變量;I1、I2和第三應變不變量I3與3個方向的主拉伸比λ1、λ2、λ3關系如下：

(2)

按Mooney-Rivlin模型的常用簡化形式能夠將硫化橡膠應變能W表示為

(3)

對于不可壓縮的橡膠材料，I3=1。橡膠材料主應力τi與其主生長比λ之間的關系為

(4)

在單軸拉伸試驗中，上式中τ2=τ3=0，可得到：

(5)

并且應力差關系如下:

(6)

不難發現式(6)中的偏導式可由式(1)兩邊分別對I1、I2求偏導得到，并能得到如下結論：

(7)

將式(7)代入式(6)中可以獲得如下關系:

(8)

在力學中，真實應力τ與實際應力σ有如下關系：

τ=λσ

(9)

最后使用工程應力代替實際應力，獲得工程應力和工程應變的關系：

(10)

利用式(10)確定C1、C2的方法為：以1/λ為橫坐標，以σ/[2(λ-1/λ2)]為縱坐標，將試驗得到的數據擬合為一條直線，該直線截距即為C1，斜率即為C2。

1.2 Yeoh模型

在研究橡膠材料應力應變關系的過程中，Yeoh模型對單軸拉伸應力與應變之間的關系進行了一定的簡化，使用了一個3次應變能函數來描述這種關系：

(11)

式中:N一般為3，即為三次應變能函數；對于橡膠類不可壓縮材料，J取值為1；Ci0為Yeoh模型系數。

因此上式等號右邊可以省略一半，對W求I1、I2的偏導，可得下式：

(12)

由于都是單軸拉伸試驗，將式(12)代入式(8)可得到τ與I的關系，再由式(2)獲得I與λ的關系，最后用式(9)將τ轉化為σ，獲得σ與λ的關系式如下：

(13)

式(13)即最后用于Yeoh模型的試驗數據處理公式。利用式(13)確定C10、C20和C30的方法為：以(λ2+2/λ-3)為橫坐標，以σ/[2(λ-1/λ2)]為縱坐標，擬合出一條二次曲線，C10即最低點(最高點)的縱坐標，C20即1/2一次項系數,C30即1/3二次項系數。

1.3 橡膠熱老化試驗及本構模型參數擬合

試驗用氫化丁腈橡膠試樣、老化試驗箱和橡膠拉伸試驗儀如圖1所示。

圖1 試驗試樣及設備

按照ASTM標準，將氫化丁腈橡膠試樣放置于老化試驗箱內，分別在70、100、130、150 ℃溫度下進行熱老化處理，然后在橡膠拉伸試驗儀上進行拉伸試驗，得到橡膠試樣的工程應力-工程應變數據。每種試驗條件下重復5次試驗，取平均值。

按照橡膠本構模型理論中的應力-應變處理方式，計算出Mooney-Rivlin模型數個橫縱坐標點，并擬合直線，結果如圖2所示。

圖2 Mooney-Rivlin模型的擬合直線

圖2中擬合直線的截距即為Mooney-Rivlin模型參數C1，直線斜率即為模型參數C2。不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數如表1所示。可以看出，Mooney-Rivlin模型的參數C1、C2隨著溫度增加均表現出先減小后增大的變化趨勢。

表1 不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數

Yeoh模型橫縱坐標點計算方法同上，對得到的散點擬合二次曲線，結果如圖3所示。

圖3 Yeoh模型的擬合二次曲線

Yeoh模型參數可由圖3所示曲線獲得，取擬合曲線最低點(或最高點)的縱坐標為參數C10，一次項系數的1/2為參數C20,二次項系數的1/3為參數C30，得到的不同溫度下氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin模型參數如表2所示。可以看出，隨溫度升高Yeoh模型參數C10、C20均呈現出先增加后減小再增加的波浪形趨勢，而參數C30則相反。

表2 不同溫度下氫化丁腈橡膠Yeoh模型參數

2 Mooney-Rivlin和Yeoh模型參數擬合精度評價

深井高溫環境下螺桿鉆具定子襯套橡膠本構關系的恰當選取及其模型參數擬合精度的正確評價是保證有限元計算結果準確的關鍵。

2.1 本構模型參數擬合精度評價方法

對式(1)中的勢能函數W在單軸拉伸狀態下的拉伸率求導，可求得該狀態理論工程應力。如式(14)所示。

(14)

式中：λ為單軸拉伸的拉伸率；σ為理論工程應力；W為應變能函數；I1、I2分別為第一、二應變不變量。

式(14)中應變不變量I1、I2由下式計算：

(15)

本構模型的擬合精度由式(16)計算。

(16)

將所測量的單軸拉伸的應力-應變數據代入式(14)、(15)、(16)可計算出Mooney-Rivlin模型以及Yeoh模型擬合精度。具體計算結果如表3所示。可以看出：兩本構模型的誤差隨溫度升高均表現出先增大后減小的趨勢，均在130 ℃達到誤差最大值；不同溫度下Yeoh模型的誤差均比Mooney-Rivlin模型的誤差小，因此，對于橡膠超彈性材料，Yeoh模型的計算精度優于Mooney-Rivlin模型。

表3 氫化丁腈橡膠Mooney-Rivlin和Yeoh模型擬合誤差

2.2 本構模型參數擬合精度校核

為檢驗2種本構模型擬合精度，通過仿真分析研究了最貼近真實的螺桿電動機定子橡膠變形。建立的有啞鈴型有限元模型如圖4所示。將模型左端邊界設置為全約束，右端施加位移條件，分別設置材料屬性為Mooney-Rivlin和Yeoh模型參數。考慮到溫度跨度較大，因此進行常溫和130 ℃兩組仿真。設置應變條件，獲得了兩組溫度下的應力數值，如圖5所示。可見，Yeoh模型比Mooney-Rivlin更能反映實際情況。

圖4 啞鈴型試片仿真模型

圖5 Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型仿真結果

綜合本構模型參數擬合精度的評價和校核結果，確定Yeoh模型能更真實地反映氫化丁腈橡膠的力學特性。

3 橡膠熱老化本構參數對定子襯套內腔變形規律研究

以國內應用較為廣泛的5/6頭螺桿鉆具定子襯套為研究對象，開展仿真研究。有限元模型如圖6所示，該模型外殼體為φ172 mm，橡膠襯套內壁等距圓半徑R=13.2 mm，偏心距e=7.99 mm。文獻[12]采用三維螺桿電動機模型進行了力學性能有限元分析，對比相同條件二維模型的分析結果，發現兩者差距很小。因三維模型運算量較大，因此文中使用二維螺桿電動機定子襯套模型研究內腔變形規律。

圖6 定子襯套仿真模型

為了模擬螺桿電動機在井下的工作環境，設置該定子的外側邊界為全約束,在螺桿電動機定子襯套內部施加均勻壓力，壓力數值根據螺桿鉆具所在井深和地層壓力梯度計算確定。

根據經驗公式，取井下地溫梯度為每2.113 ℃/100 m。試驗中，橡膠拉伸試驗溫度70、100、130和150 ℃可以對應井下深度2 460、3 880、5 300和6 246 m。鉆井液密度為1 200 kg/m3，按液體壓力公式p=ρgh計算內腔壁壓力，得到4個溫度下對應的內腔壓力為27.1、44.7、62.3和74.1 MPa。

定子真實位移數據采集路徑如圖7所示，由內壁上方中央開始順時針逐一選點繞內壁一周，常規定子和等壁厚定子路徑相同。圖8、9分別示出了考慮和不考慮老化時常規定子和等壁厚定子在4種井深條件下的真實位移。可見：在同一井深條件下，無論是常規定子還是等壁厚定子，不考慮老化(使用常溫下氫化丁腈橡膠Yeoh模型參數)的真實位移比考慮老化時的真實位移要大，并且隨著溫度的增加，這個差值表現出先增大后穩定再增大的趨勢，差值在6 246 m井深時甚至達到了70%。由此說明，在仿真分析時應考慮老化因素的影響。

圖7 截面路徑典型點

圖8 考慮和不考慮老化時不同井深下常規定子的真實位移

圖9 考慮和不考慮老化時不同井深下等壁厚定子的真實位移

常規定子和等壁厚定子的真實位移最大值、最小值位置幾乎完全相反，如何綜合2種定子結構使運動更平穩以延長螺桿鉆具的使用壽命將成為一個研究方向。

圖10比較了不同井深下定子的真實位移。常規定子的真實位移隨著井深的增加而增加，位移幅值也隨著井深的增加而增加，在6 246 m井深處定子位移幅值比2 460 m井深處增加了170%。等壁厚定子的真實位移同樣隨著井深的增加而增加，且其位移幅值增長率與常規定子幾乎相同。但同溫度下常規定子是等壁厚定子的幅值的5倍，等壁厚定子可用較小過盈量滿足密封要求，以降低定子襯套磨損，并提高單級承壓能力。

圖10 不同井深下定子的真實位移

4 結論

(1)通過熱老化和單軸拉伸試驗，獲得了氫化丁腈橡膠試樣不同溫度下的本構模型參數。其中Mooney-Rivlin模型的參數C1、C2隨著溫度增加均先減小后增大；Yeoh模型參數C10、C20均呈現出先增加后減小再增加的波浪形趨勢，而參數C30則相反。

(2)利用計算誤差評價方法和仿真校核方法比較了2種本構模型參數擬合精度，最終確定Yeoh模型更能真實地反映氫化丁腈橡膠的力學性能。

(3)無論常規定子還是等壁厚定子，隨著井深的增加，常溫本構模型與熱老化本構模型的差值不斷增加，因此在仿真分析時應考慮老化因素的影響。

(4)相同溫度下常規定子的位移幅值是等壁厚定子的5倍，等壁厚定子可用較小過盈量滿足密封要求，以降低定子襯套磨損，并提高單級承壓能力。

(5)對于螺桿鉆具電動機的后續研究，可基于深井高溫環境，建立螺桿鉆具電動機熱-機耦合三維動力學模型和數值模擬方法，進一步揭示電動機工作效率衰退及漏失機制，為合理選擇定子襯套橡膠材料、匹配螺桿鉆具定轉子結構參數及線型優化設計提供理論基礎。