不同雷諾數下圓柱繞流多重分形研究

東喬天 張淼

【摘 要】湍流是世界復雜問題之一，目前還沒有方法準確的描述湍流。研究通過多重分形去趨勢波動分析（MFDFA）流體力學中基本的圓柱繞流問題，通過CFD計算獲得四個不同雷諾數速度場，利用MFDFA方法研究了不同雷諾數速度流場的尺度特性。結果在不同雷諾數下，圓柱繞流的速度場數據在變為湍流時呈現出不同的尺度特性，雷諾數越大，湍流的分形測量值越高。本文提供了一種描述自然界湍流的方法。

【關鍵詞】多重分形;MFDFA;圓柱繞流;湍流

中圖分類號： TP393.06 文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）03-0239-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.03.100

0 引言

當人類對自然有更深入的了解時，多重分形不僅僅限于幾何或統計領域，近年來隨著人們對混沌世界和湍流的關注，多重分形分析逐漸被應用于物理學、生物學、金融學等領域。流體從層流轉變為湍流時，可以清晰的發現某些多重分形特征[1]，而這也為湍流學者提供了一個新的視角[2]。隨著實驗流體技術和計算流體力學的發展，對湍流分形測量的研究越來越多，如PIV技術等，可以獲得整個速度場。圓柱繞流是流體動力學中的一種基本流，當雷諾數較低時，圓柱繞流呈現層流。然而，隨著雷諾數的增加，流動轉化為湍流，當流動條件改變時，可以觀察各種卡門渦街的各種形成。

本文著重研究了不同雷諾數引起的圓柱繞流的多重分形勘探。雷諾數在一定程度上取決于湍流強度，對于不同的流場，應該有不同的分形測度來描述。因此，本文試圖通過計算流體力學和MFDFA方法，找出圓柱繞流多重分形與雷諾數的關系規律。

1 CFD模型

雷諾數是本研究中唯一變量，使用相同的網格計算4個不同雷諾數工況（Re=1，102，103，104），以減少網格數量或質量引起的誤差。

Re=（V×D×ρ）/μ，式中，V為來流速度，D為圓柱直徑，ρ為流體密度，μ為流體粘度。為了方便地改變雷諾數，來流速度、圓柱直徑和流體粘度都設置為1。

網格圓柱直徑D=1，整個計算域為80D×40D的矩形，圓柱距速度入口20D，距速度出口60D，距上下壁面20D，以避免速度進出口和壁面的干擾。

圖1顯示了雷諾數從1到104時，圓柱繞流速度云圖結果。隨著雷諾數的增加，邊界層越來越薄。且需要注意的是，當雷諾數較低時，圓柱周圍的流動是層流（如Re=1所示），但當雷諾數增加時，圓柱尾流變成湍流。

2 MFDFA分析

數值模擬只是獲得整個速度場數據的一種方法。為了分析圓柱繞流的多重分形特征，以圓柱后中心線的速度量為研究對象。圖2為不同雷諾數下圓柱繞流中心線速度場，當圓柱繞流為層流時，速度級平穩上升，無波動，但當氣流轉為湍流時，速度級數據隨著雷諾數的增加波動更大。

3 結果

通過線性多項式去趨勢方法獲得了波動函數Fq（s），在最小二乘法方程假設下，擬合h（q）。

從圖3可以明顯看出，當Re=102，103，104時，α最小值接近0.84，當Re=1時，最小值為1.12;在所有雷諾數下，f（α）最大值為1。應注意，當流動從層流轉換為湍流時， f（α）最大值的位置值逐漸向前移動，當Re=100，α0=1.56，當Re=1000，α=1.85，當Re=10000，α0=2.25。α被稱為局部分形，它表示一個小區域的分形，換句話說，α0反映了平均分形度量。隨著雷諾數的增加，α0增加，湍流的分形也越復雜。另一方面，隨著雷諾數的增加，多重分形寬度Δα也隨之增大，進一步證明了多重分形特征的尺度更大。還應注意的是，當Re=1，流動處于層流，f（α）最大值α=2（圖6中用虛線表示），這意味著層流的多重分形特征接近2維。

綜上所述，當圓柱繞流為層流時，圓柱繞流速度大小的分形接近二維。湍流的分形測度隨雷諾數的增加而增大，隨湍流的發展而增大。

4 結論

近年來學者提出了許多描述湍流特征的方法和技術，這些方法和技術鼓勵我們使用分形或多重分形等技術來分析速度數據。本文用CFD計算了不同雷諾數下圓柱繞流的速度場，并通過MFDFA方法對不同雷諾數下的多重分形特征、多重分形譜、最大位置和寬度進行了分析，研究結果表明，層流的分形測量維度接近于2維，當流動從層流轉為湍流時，隨著雷諾數的增加，多重分形特征的尺度越大，湍流的分形測量值越高。本研究對流體進行深入的多重分形研究，為認識和描述自然界的湍流提供了新的途徑。在下一階段，將整個圓柱繞流的尾流場作為數據分析，作為一個系列開展多重分形分析，系統地描述湍流特征。

【參考文獻】

[1]Mandelbrot B B. Intermittent turbulence in self-similar cascades-Divergence of high moments and dimension of the carrier[J].Journal of Fluid Mechanics， 1974， 62（2）： 331-358.

[2]Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature[M]. Macmillan， 1983.