“導數與函數”高考題解題策略探析

舒華瑛

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“導數與函數”高考題解題策略探析

舒華瑛

（杭州市余杭高級中學，浙江 杭州 311100）

在近年高考數學試卷中，“導數與函數”這一內容難度在逐年增大，這個難度的增加主要包含了兩大部分：一是增加了解不等式及證明不等式等內容；二是函數的結構形式有了很大的改變。但“萬變不離其宗”，教師要指導學生掌握解決這些“變化”的問題的“不變”的“通性通法”。

高考數學；導數與函數；解題策略

在高中數學教學中發現，“導數與函數”這一內容難度在逐年增大，而這個難度的增加主要包含了兩大部分：一是從單純的考查導數在函數中的簡單應用，如利用導數求函數的單調區間、利用導數求函數的極值以及利用導數求函數在閉區間上的最值，到增加解不等式以及證明不等式等內容；二是函數的結構形式有了很大的改變，如從多項式函數轉變到多項式函數與指數函數、對數函數、三角函數的復合函數，或者是多項式函數與指數函數、對數函數、三角函數進行四則運算得到的新的函數類型。雖然函數的結構形式在變，考查的面也在加大，但“萬變不離其宗”。現結合教學實踐談談解決這些“變化”的問題的“不變”的“通性通法”。

一、“導數與函數”這一壓軸題考查的常見形式

除了常見的考查導數了幾何意義，求單調區間，求極值點以及函數在閉區間上的最值，近年來對不等式考查比較常見。筆者以全國新課標Ⅱ卷為例：

近六年的全國新課標Ⅱ第21題考查情況統計

201120122013201420152016 (1)導數的運算導數的幾何意義單調性單調性單調性單調性單調性不等式證明 (2)恒成立求參數范圍恒成立，求值域不等式證明恒成立求參數范圍恒成立求參數范圍函數的最值 (3)估值

二、導數在研究函數中的作用——做出函數的“草圖”

我們知道要想做出函數的“草圖”，需要函數的定義域，單調性，極值，區間端點值（區間端點函數值存在的情況下），漸近線等。導數的正負決定了函數的單調性，從而決定了函數圖像在這一區間的走勢。

筆者將課本的例題進行了改變，并提出了如下問題，進一步理解導數在函數中的作用。

（5）由上述問題（8）和問題（2）你認為求函數單調區間的本質是什么？

三、函數的結構形式

高考考查導數以來，函數的結構形式有了很大的變化，從簡單的三次函數到含參的三次函數，再到多項式函數與指數函數、對數函數、三角函數的復合函數或者是四則運算。近六年的全國新課標Ⅱ第21題函數的結構形式統計：

函數的結構形式的不同直接影響到解決問題的難易程度。

四、解題中的難點以及解決策略

如：（2016年高考全國II卷）

【解析】(Ⅰ)證明：略

【解析】⑴略

總之，導數是解決函數問題的一個強大的工具，通過研究一個函數的導數可以知道這一函數圖像的走勢和極值，再結合函數的定義域、區間端點值以及漸近線可以較為準確的做出函數的“草圖”。導數與函數溝通了數學中的兩大基石——“數”與“形”之間的聯系，需要數學教師認真鉆研，探索出更為有效的教學方法。

2018-08-22

G633.6

A

1673-4564（2019）01-0128-03