三項式系數演示器

劉家軒

一、制作原理

三項式系數有其數陣模型，恰為一個正三棱錐，由此可以找到三項式定理的三棱錐模型，如圖1。

在第n層中，三個頂點分別為an、bn、cn，離三個頂點越遠，對應字母的次數越低。某一層非邊緣的一個數必然位于上層三個數的中心（若處于邊緣則為兩個數的中間），且其系數為上層三個系數之和。

例如，第四層的abc位于第三層ab ac bc的正中心，而其系數亦為ab ac bc系數之和，每個節點向下都恰好連接著三個節點。由此，可分析得到數陣模型對應的演示模型，如圖2。

根據三棱錐模型的特性，我將每個系數節點都換成水罐，每個水罐與上層的三個水罐用粗細相同、長度相等的水管相連，從最上層水罐倒水，每個水罐向下都連接三個水罐。這樣，每個水罐的水量就是上方相連的水罐總水量的1/3。當水全部流至第n層時，n層內水罐水量之比恰為三項式系數之比。

二、制作演示器

1.材料準備

亞克力管20根（5cm直徑1根，2.9cm直徑3根，2.4cm直徑16根）及其底板、頂蓋，亞克力柱（高10cm、直徑10mm）、細水管（內徑3mm、壁厚1mm）若干，微型水泵11個，微型電磁閥10個，金屬四通20個，塑膠轉接頭40個。

單片機開發板1塊，杜邦線若干，可調降壓模塊和繼電器各4塊，24V交流轉直流電源1個，交流電源插座1個，4V單片機電源線1根。

2.制作過程

（1）將預制的亞克力管和頂板、底板用膠粘牢，確保邊緣不漏水。

（2）用細水管將水閥接于水罐上，將水閥用熱熔膠固定在水罐下，將亞克力柱固定在預制的亞克力孔內。

（3）將1～3層的亞克力柱底板預留孔與微型水泵、四通用水管連接，將四通的三根出水管插入下一層的亞克管上部預留孔。插入時應注意，每根亞克力管的出水管需插入下一層邊緣的3個亞克力管預留孔中。第四層的亞克力管底部接入微型電磁閥，再將電磁閥出水口用水罐連接，最后接入粘貼在第四層底板上的微型水泵進水口，將該出水口的水管插入第一層的進水口，以實現循環演示。

（4）將主體結構、水管等裝好后，用延長線將微型水泵和微型電磁閥的電源線接在焊有接口的洞洞板上。同一層的微型水泵和微型電磁閥并聯。

（5）編寫并調試單片機程序，連接電路并調節輸出電壓。

（6）調試程序，并在每一根亞克力管壁貼上標簽，更改單片機程序的時間設定。

三、演示效果

插上電源，為第一層水罐加水，啟動自動演示功能。三項式n=0，1，2，3時相應的第0層、第1層、第2層和第3層的容器水位與三項式系數對應，利用水體流動表示乘法過程，形象生動地展示了（a+b+c）n 這個抽象的數學式。