考慮最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預報

雷雨,蔡宏兵,高玉平

(1.中國科學院 國家授時中心,西安 710600；2.中國科學院 時間頻率基準重點實驗室,西安 710600)

0 引言

地球自轉運動可以用地球定向參數(Earth orientation parameters,EOP)來表征。EOP包括歲差、章動、UT1-UTC和極移的兩個分量xp和yp。ERP是實現地球參考坐標系與天球參考坐標系相互轉換的必需參數,在天文地球動力學研究、深空探測及衛星導航等領域有著重要應用[1-2]。甚長干涉基線測量(very long baseline interferometry,VLBI)、多普勒衛星定軌和無線電定位(Doppler orbitography and radiopositioning integrated by satellite,DORIS)及全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System,GNSS)等空間測地技術是測量EOP的主要手段,其中UT1-UTC和極移的測量精度可以分別達到10 μs 和100 μas[3],但復雜的資料處理過程致使EOP的獲取存在一定的延遲。由于深空探測等領域對EOP實時測量值有重要需求,而衛星自主導航又對ERP中長期預報值有重要需求,因此對ERP進行高精度的短期與中長期預報是非常必要的。在EOP的幾個分量中,UT1-UTC是變化最快、最難預報的一個分量[4-5]。

目前有多種UT1-UTC預報方法,其中多數方法結合最小二乘(least squares,LS)外推和其他模型進行UT1-UTC預報[6-13],這些方法的思路為,首先采用最小二乘外推模型來提取UT1-UTC序列中的周期性成分,并對其進行外推,然后利用神經網絡(neural network,NN)或者自回歸(autoregressive,AR)模型等對最小二乘擬合殘差進行建模、預報,最后再將周期項和殘差項的外推值相加以得到UT1-UTC預報值。在實際應用中發現,在利用最小二乘外推模型對UT1-UTC觀測資料進行擬合時,在擬合序列的兩端存在發散畸變現象,這種現象在數據處理中稱為端部效應[14-15]。端部效應使殘差項與周期項的預報值出現偏差,最終導致UT1-UTC預報值不準確。本文針對UT1-UTC預報中最小二乘擬合出現的端部畸變現象,在采用最小二乘外推模型對UT1-UTC序列進行擬合之前,先利用端部延拓方法對UT1-UTC觀測資料進行數據延拓,即在UT1-UTC序列的兩端增加應用時序分析方法延拓出的若干數據點,形成一個新序列,然后用新序列求解最小二乘外推模型系數,最后再基于最小二乘外推模型對UT1-UTC序列中的周期項進行外推,這樣就可以將最小二乘擬合出現的端部畸變現象移至模擬序列的兩端。數值分析表明,通過在UT1-UTC觀測序列端部增加統計延拓數據,可以有效地抑制端部效應,從而改進UT1-UTC預報效果。

1 預報方法

本節首先介紹最小二乘和AR組合模型預報UT1-UTC的原理,在此基礎之上,建立考慮最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預報算法。

1.1 數據預處理

本文UT1-UTC觀測資料來源于國際地球自轉與參考系服務(International Earth Rotation and Refe-rence Systems Service,IERS)發布的EOP-08-C04序列,其中UT1-UTC數據的采樣間隔為1 d[16]。UT1-UTC觀測資料中含有閏秒及多種周期項、準周期項,其中,對于周期為5 d～18.6 a的62個固體地球帶諧潮汐項應用IERS協議(IERS Conventions)給出的經驗公式予以扣除[17],扣除62個固體地球帶諧潮汐項后的UT1-UTC稱作UT1R-UTC,然后再去掉UT1R-UTC序列中閏秒,獲得UT1R-TAI序列。本文對UT1-UTC的預測實質上是針對UT1R-TAI的預測。

1.2 最小二乘外推模型

UT1-UTC序列扣除掉62個固體地球帶諧潮汐項后,還含有長期趨勢項、周年項、半周年項等周期性變化成分,長期趨勢項與周年項、半周年項利用如下模型進行擬合、外推：

fUT1R-TAI=a+bt+c1cos(2πt/T1)+d1sin(2πt/T1)+c2cos(2πt/T2)+d2sin(2πt/T2),

(1)

式(1)中,T1、T2分別表示半周年項和周年項的振蕩周期,取T1=182.62 d、T2=365.24 d[4],a、b代表趨勢項參數,c1、d1代表半周年項參數,c2、d2代表周年項參數,這些未知參數可以根據最小二乘法求解。

1.3 自回歸模型

AR模型是對平穩時間序列{zt,t=1,2,…,n}建立的一個概率統計模型,它根據變量自身的歷史變化規律來建立統計模型,其數學公式為

(2)

式(2)中,p為模型階數,εt為白噪聲,φ1,φ2,…,φp為模型參數,可以通過求解Yule-Walker方程來獲得[18-19]。

運用AR模型的關鍵之處在于選取模型階數p。已有的定階準則包括傳遞函數準則、預測誤差準則及信息論準則[11]。本文選用赤池信息量準則(Akaike information criterion,AIC)來確定模型階數p,AIC準則的目標函數可以表示為

(3)

在模型階數p與模型參數φ1,φ2,…,φp確定以后,可以通過如下方式對時間序列作多步外推：

(4)

1.4 預報過程

考慮最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預測方法和常規方法的差別之處在于,該方法在對UT1-UTC觀測序列建立趨勢項及周期項最小二乘外推模型之前,先應用統計學方法在UT1R-TAI序列首部和尾部進行端部數據延拓,以抑制最小二乘擬合端部畸變,預報過程如下：

①首先通過式(1)對UT1R-TAI序列作最小二乘擬合,建立周期項及趨勢項外推模型,然后利用AR模型對最小二乘擬合殘差序列進行建模、預報,最后聯合最小二乘外推模型和AR模型(LS+AR)在UT1R-TAI序列首部和尾部分別外推適當數量的數據點,這樣UT1R-TAI序列加上首部和尾部外推的數據點就構成了一個新序列。

②利用新序列求解最小二乘外推模型系數,即用新序列重新建立趨勢項及周期項最小二乘外推模型,然后再結合最小二乘外推模型和AR模型對UT1R-TAI序列作外推預報。

③將周期為5 d～18.6 a的62個固體地球帶諧潮汐項及閏秒恢復到UT1R-TAI序列的預測值中即可得到UT1-UTC預測值。

圖1為考慮最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預測方法的流程圖。

圖1 考慮最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預測流程

2 數值分析

選取2001-01-01至2016-06-01期間的UT1-UTC觀測序列進行數值分析,其中2010-01-01至2016-06-01為預測期,建模數據長度為10 a,每隔7 d預報1次,總共進行了286次預測。圖2(a)和(b)分別給出了2001-01-01至2016-06-01時段的UT1-UTC測量序列及其扣除閏秒和62個固體地球帶諧潮汐項的UT1R-TAI序列。

圖2 UT1-UTC觀測序列及其UT1R-TAI序列

為了驗證端部延拓方法對最小二乘擬合端部效應的改善效果,首先比較端部延拓前后最小二乘擬合效果。圖3繪出了端部數據延拓前后2001-01-01至2010-12-31時段UT1R-TAI序列的最小二乘擬合序列,其中,端部延拓數據點數為200,即在首尾兩端各延拓100個數據點,ECLS(edge-effect corrected least squares)表示端部效應修正的最小二乘擬合序列。為了更加直觀地、清楚地展示端部數據延拓方法對LS擬合端部畸變的改善效果,對圖3作局部放大處理,圖4(a)繪出了端部數據延拓前后最小二乘擬合序列首部前100個歷元的最小二乘擬合殘差數據點,圖4(b)繪出了端部數據延拓前后最小二乘擬合序列尾部最后100個歷元的最小二乘擬合殘差數據點。

圖3 UT1R-TAI的LS與ECLS擬合序列

從圖4可以發現,與直接對原始UT1R-TAI序列進行擬合相比,端部數據延拓后最小二乘擬合殘差序列在首部和尾部更加接近于零,換言之,端點延拓后最小二乘擬合的UT1R-TAI序列在首部、尾部和原始序列吻合得更好,這說明端點延拓方法能夠有效地抑制最小二乘擬合出現的端部畸變現象。

圖4 UT1R-TAI的LS與ECLS擬合的首尾兩端殘差序列

為了進一步檢驗端部數據延拓方法對最小二乘擬合端部效應的改善效果,分別利用LS+AR模型和ECLS+AR模型對UT1-UTC作1～360 d時長預報,采用平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)作為預測性能評價指標,其計算公式為[20]

(5)

式(5)中,Pj和Oj分別為j點的UT1-UTC預測值及觀測值,i表示預報長度,σi表示預報長度為i時的UT1-UTC預測平均絕對誤差,M表示預報期數,本文總共作了286期的預測,即M=286。

圖5給出了LS+AR方法和ECLS+AR方法的UT1-UTC預測平均絕對誤差對比圖,表1給出了LS+AR方法和ECLS+AR方法在不同預報跨度下的平均絕對誤差統計結果,其中將1～15 d跨度的預報稱為短期預報,將大于15 d跨度的預報稱為中長期預報。從圖5及表1可以發現,對于1～15 d的短期預報,ECLS+AR模型的預報精度相對于常規LS+AR模型的預報精度并無改善,但從第15 d開始,ECLS+AR模型的預報精度明顯優于常規LS+AR模型,精度最大提高了34%,且一直保持在15%以上,這說明與常規LS+AR模型比較而言,ECLS+AR模型對于UT1-UTC中長期預報具有更明顯的優勢,同時也從側面反映出最小二乘擬合的端部畸變現象對UT1-UTC中長期預報的影響更大。

圖5 LS+AR模型與ECLS+AR模型的UT1-UTC預報MAE對比

表1 LS+AR模型與ECLS+AR模型的UT1-UTC預報MAE統計

3 結語

本文提出了一種顧及最小二乘擬合端部效應的UT1-UTC預報方法,這種方法與基于常規最小二乘外推模型的UT1-UTC預報方法區別在于,該方法在進行最小二乘擬合之前,首先在原始序列兩端增加統計延拓數據,然后再對數據延拓后的新序列進行最小二乘擬合,其目的為將最小二乘擬合存在的端部畸變搬移到新序列的兩端,從而抑制原始觀測序列的端部畸變。數值分析表明,通過在觀測資料的兩端增加用統計學方法延拓出的外推數據點,然后再進行最小二乘擬合,能夠有效地抑制端部效應的影響；與常規LS+AR預報模型相比,基于端部效應改善的ECLS+AR模型的UT1-UTC短期預報精度沒有改善,但對于UT1-UTC中長期預報而言,ECLS+AR模型精度提升尤為明顯,因此ECLS+AR模型可用于UT1-UTC中長期預報。