平移算子的微分多項式的零點分布的再研究

別榮軍

(安徽建筑大學 數理學院，安徽 合肥 230601)

1 引言及主要結果

本文所用到的值分布論中的標準符號和基本內容同參考文獻[1-2]一致。S(r,f) 表示任意滿足S(r,f)=o(T(r,f))的量，可能除去r的一個線性測度為有限的集合。若亞純函數a(z)滿足T(r,a)=S(r,f)，則稱 a(z)為 f(z)的小函數。

最近三十年來，涉及微分或差分多項式的亞純函數的值分布以及惟一性問題的研究取得了很好的成果。2012年，劉凱[3]等人研究差分微分多項式的零點分布，得到了

定理1[3]設f(z)非周期函數，而是有窮級的超越整函數， α(z)為f(z)的小函數。若n≥k+3，則[f(z)nΔcf](k)-α(z)必有無窮多個零點。

2019年，Laine[4]研究了涉及平移算子的多項式的值分布，得到了

定理2[4]設f(z)是有窮級ρ的超越整函數， α(z),b1(z),b2(z),…,bl(z)為f(z)的非零小F=[f(z)nψs(f)]- α(z)必有無窮多個零點，且λ(F)= ρ。

本文討論涉及平移算子的微分多項式的值分布情況，得到如下結論：

定理3 設f(z)是有窮級ρ的超越整函數，α(z),b1(z),b2(z),…,bl(z)為f(z)的非零小函數，常數。若正整數n,s滿足 n≥2k+s+3,s≥1，則[f(z)nψs(f)](k)-α(z)必有無窮多個零點，且其級為ρ。

定理3的結論從另外一種形式改進了定理1，并且將定理2的結論推廣到微分多項式的情形。

2 引理

為了證明我們的結論，在此先介紹幾個引理。

引理1[5]假設f是一個具有有窮級ρ的亞純函數， c為非零常數，則對任意的ε＞0，有

引理2 假設f是一個具有有窮級ρ的整函數， ψ(f(z))如定理3給出。則

T(r,ψ(f(z)))≤ T(r,f(z))+O(rρ-1+ε)+S(r,f(z))。

證明：由第一基本定理與引理1，得到

≤ T(r,f(z))+O(rρ-1+ε)+S(r,f(z))

引理3 設f是一個具有有窮級ρ的超越整函數， ψ(f)如定理3給出，F(Z)=fn(z) ψS(f)且n,s,k為正整數，則

證明：注意到f是整函數，

即

另一方面，由引理1與第一基本定理得到

由式(1)與式(2)可知結論成立。

引理4[1]假設f是亞純函數， P(z)為一n(≥1)次多項式， 則有

T(r,P(f))=n T(r,f)+S(r,f)。

引理5[1]假設f(z)為定義在?上的亞純函數， 且 α1(z),α2(z),α3(z)是 f(z)的三個互不相同的小函數， 則有

引理 6[6，7]假設 f(z)是非常數亞純函數，p,k為正整數。則

引理7[1]假設是一個非常數亞純函數，F(z)=fn(z)ψs(f)為正整數，則 F(z)=fn(z)ψs(f)與F(z)=fn(z)ψs(f)有相同級和下級。

3 定理的3證明

假設F(z)=fn(z)ψs(f)。由定理2的證明過程可知，ρ(F(z))=ρ。由引理7得到ρ(F(k)(z))=ρ(F(z))。注意到 ρ(F(k)(z)- α(z))= ρ(F(k)(z))，所以ρ(F(k)(z)-α(z))=ρ。

假設F(k)(z)-a(z)只有有限個零點。由引理2知，F(z)不是常數，且S(r,F(k)(z))=S(r,F(z))=S(r,f(z))。將引理 5 作用于 F(k)(z)，有

結合式(4)，由引理2，引理3與引理4得到

式(5)與條件n≥2k+s+3矛盾。完成定理3的證明。