基于粒子群優(yōu)化的DGM(1,1)模型在基坑變形安全預(yù)測中的研究*

陳家騏，華建兵，段園煜，司大雄，丁 蕾，丁碧瑩

(合肥學(xué)院 建筑工程系，安徽 合肥 230601)

0 引言

基坑變形預(yù)測是工程監(jiān)測中非常重要的內(nèi)容之一。變形預(yù)測可以讓施工人員根據(jù)現(xiàn)有監(jiān)測數(shù)據(jù)，預(yù)測到未來可能發(fā)生的問題，及時制定措施保證工程安全進(jìn)行。因此，進(jìn)行基坑變形預(yù)測尤為重要。比較常見的預(yù)測方法如遺傳算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等[1-6]，但所需樣本較多，而離散灰色預(yù)測模型DGM(1,1)具有所需樣本總量少、模型簡單易于計算等特征，已經(jīng)被廣泛用于基坑變形預(yù)測中。實際工程應(yīng)用中，由于模型本身一些缺陷，如背景值和初始值確定方法等，經(jīng)常會出現(xiàn)預(yù)測精度不足的情況。許多研究人員從構(gòu)造模型本身參數(shù)出發(fā)，利用粒子群算法對模型進(jìn)行優(yōu)化[7-8]。然而，將原始數(shù)據(jù)利用變權(quán)緩沖算子結(jié)合粒子群算法進(jìn)行降噪處理的優(yōu)化方法卻少有研究。除此之外，許多利用粒子群算法優(yōu)化灰色模型的研究中，只用平均相對誤差和均方差等單一函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)對模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[9-10]，不同目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對模型參數(shù)優(yōu)化影響的研究也比較少見。

對此，本文提出1種基于粒子群算法優(yōu)化的變權(quán)離散灰色預(yù)測模型，稱為PSO-VWDGM(1,1)模型。利用變權(quán)緩沖算子和粒子群算法對原始序列進(jìn)行降噪處理，提高原始序列的光滑度，從而提高預(yù)測精度。利用相對誤差檢驗、后驗差比檢驗、灰色絕對關(guān)聯(lián)度檢驗3種精度檢驗方法作為粒子群算法目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)建立模型，研究不同目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對模型參數(shù)優(yōu)化的影響。研究成果在基坑變形安全評估、預(yù)警方面具有應(yīng)用價值。

1 灰色預(yù)測模型

1.1 離散灰色預(yù)測模型

定義1[11]：設(shè)序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…,x(0)(n)},其中x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n，則稱X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}為序列X(0)的一次累加生成序列，其中：

(1)

定義2[12]：設(shè)序列X(0),X(1)如定義1所述，則稱：

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2

(2)

為離散灰色預(yù)測模型DGM(1,1)，其中β1，β2為估計參數(shù)。

對式(2)使用最小二乘法，則離散灰色預(yù)測模型的估計參數(shù)β1，β2滿足：

(3)

其中：

(4)

k=1,2,…,n-1

(5)

1.2 變權(quán)弱化緩沖算子

定理3[13]：設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令：

XD1=(x(1)d1,x(2)d1,…,x(n)d1)

(6)

其中：

x(k)d1=λx(n)+(1-λ)x(k)

(7)

式中：λ為可變權(quán)重，0<λ<1；k=1,2,…，n。當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)遞減序列或震蕩序列時，稱D1為變權(quán)弱化緩沖算子。

1.3 精度檢驗[14]

1)平均相對誤差a

(8)

2)后驗差比C

C=S2/S1

(9)

式中：εs(u)為預(yù)測值和擬合值的殘差；S1為原始序列的標(biāo)準(zhǔn)差；S2為擬合序列與原始序列殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

3)灰色絕對關(guān)聯(lián)度

(10)

(11)

(12)

式中：s0和s1分別為原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的灰色絕對關(guān)聯(lián)度計算參數(shù)。灰色模型精度等級如表1所示。

表1 灰色模型精度等級Table 1 Gray model precision grade

1.4 多種緩沖算子的優(yōu)化模型

為了解決系統(tǒng)由于外界沖擊擾動而導(dǎo)致數(shù)據(jù)離亂的問題，劉思峰等[13]提出沖擊擾動系統(tǒng)和緩沖算子的概念, 并構(gòu)造出平均弱化緩沖算子；黨耀國[13]構(gòu)造了幾何平均弱化緩沖算子、加權(quán)平均弱化緩沖算子、加權(quán)幾何平均弱化緩沖算子等具有普遍意義的實用算子。上述幾種緩沖算子均能有效改進(jìn)優(yōu)化灰色模型，有效解決定量研究結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題。但是上述緩沖算子在實際運用時, 往往難以得到令人滿意的效果。因為傳統(tǒng)緩沖算子不能實現(xiàn)作用強(qiáng)度微調(diào), 導(dǎo)致緩沖作用效果過強(qiáng)或過弱，難以還原數(shù)據(jù)本來面目。王正新等[14]提出的變權(quán)緩沖算子通過多種數(shù)學(xué)算法測算并調(diào)整可變權(quán)重的大小來控制緩沖算子作用強(qiáng)度，可以更精準(zhǔn)地還原數(shù)據(jù)本來面目。智能數(shù)學(xué)算法中的粒子群算法同遺傳算法相比，更加容易實現(xiàn)，且沒有許多需要調(diào)整的參數(shù)，具有計算速度快、收斂速度快的特點。運用粒子群算法定量測算變權(quán)緩沖算子可變權(quán)重可以快速準(zhǔn)確得到最優(yōu)權(quán)重，并運用多種精度檢驗函數(shù)作為粒子群算法的適應(yīng)度參數(shù)函數(shù)，研究測算可變權(quán)重時的最優(yōu)函數(shù)問題。

2 粒子群算法優(yōu)化的灰色模型

2.1 粒子群算法原理

假設(shè)在D維空間中有m個粒子，粒子i在D維空間的位置向量為xi=(xi1,xi2,…，xiD),粒子i在D維空間的速度向量為vi=(vi1,vi2,…，viD)。將粒子的空間位置向量帶入目標(biāo)函數(shù)f(x)求得適應(yīng)度值，根據(jù)適應(yīng)度最大或最小準(zhǔn)則判斷該位置是否為最優(yōu)位置。個體粒子i飛過歷史最好位置為pi=(pi1,pi2,…，piD)，群體中所有粒子飛過的最好位置為pg=(pg1,pg2,…，pgD)[15]。粒子群算法中的粒子速度和位置按如下公式進(jìn)行更新。

速度更新公式：

(13)

位置更新公式：

xiD(t+1)=xiD(t)+viD(t+1)

(14)

式中：t為迭代次數(shù)；viD為第i(i=1,2,…,m)個粒子在第D維空間的速度，m/s；xiD為第i個粒子在第D維空間的位置，m；piD(t)代表第i個粒子在第D維中迭代t次時最好的位置，m；pgD(t)代表粒子種群在第D維空間中迭代t次時最好位置，m；ω為慣性權(quán)重；c1為自我學(xué)習(xí)因子；c2為群體學(xué)習(xí)因子；r1,r2為[0，1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

2.2 基于粒子群算法的建模過程及參數(shù)設(shè)置

建模過程如下：

1)初始化設(shè)置：慣性權(quán)重w一般取0.8；學(xué)習(xí)因子c1,c2在0～4之間，一般跟自變量的取值范圍有關(guān)，取c1=c2=0.5；迭代次數(shù)t取值過大會導(dǎo)致計算變慢，過小導(dǎo)致計算精度不足，取t=30；PSO-VWDGM(1,1)模型中待優(yōu)化參數(shù)λ作為一維空間種群中的個體粒子，初始種群的粒子個數(shù)取i=50；初始粒子的速度vi及位置xi采用隨機(jī)數(shù)函數(shù)給出，由于待定參數(shù)λ的取值范圍在0～1區(qū)間內(nèi)，所以位置xi的取值范圍限制在[0，1]；為防止粒子飛行速度過快而飛出限制范圍，速度vi取[-1，1]。

2)適應(yīng)度值計算：利用式(8)～(10)3種函數(shù)作為粒子群算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)分別計算適應(yīng)度值。

3)個體極值與全局最優(yōu)解：將隨機(jī)生成的初始種群粒子λ帶入PSO-VWDGM(1,1)模型進(jìn)行適應(yīng)度值計算，并采用式(14)和(15)更新粒子的速度和位置。個體極值為每個粒子找到的歷史上最優(yōu)的位置信息pbest，并從這些個體歷史最優(yōu)解中找到1個全局最優(yōu)解gbest，與歷史最優(yōu)解比較，選出最佳的粒子λ作為當(dāng)前的歷史最優(yōu)解。

4)循環(huán)迭代計算：根據(jù)式(13)和(14)判斷目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)值是否滿足要求，如不滿足要求則繼續(xù)迭代計算至滿足最優(yōu)準(zhǔn)則或最大迭代次數(shù)。

5)計算結(jié)束：計算結(jié)束后得到預(yù)測模型最優(yōu)參數(shù)λ。

6)預(yù)測模型建立：使用求得的最優(yōu)參數(shù)λ構(gòu)造PSO-VWDGM(1,1)模型，并利用該模型進(jìn)行預(yù)測。

3 應(yīng)用實例

安徽省合肥市云谷路地鐵車站位于云谷路和廬州大道的交叉口。基坑采用明挖順筑法施工，該基坑共有4個立柱用于支撐混凝土，每個立柱頂部設(shè)立1個沉降觀測點，點號為LZ1～LZ4。選取LZ4測點4月17日—26日的沉降數(shù)據(jù)，建立DGM(1,1)模型，用平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關(guān)聯(lián)度為粒子群算法目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)建立3個PSO-VWDGM(1,1)模型。設(shè)上述4種模型分別為1號、2號、3號和4號模型。其中前6 d數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)建立模型，后4 d數(shù)據(jù)用于預(yù)測值比對，檢驗預(yù)測模型的精度。表2為立柱沉降數(shù)據(jù)，選取前6個數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)帶入PSO-VWDGM(1,1)模型，用PSO算法優(yōu)化模型并求得上述3種預(yù)測模型最優(yōu)可變權(quán)重λ1，λ2和λ3，最優(yōu)可變權(quán)重如表3所示。

表2 立柱沉降數(shù)據(jù)Table 2 Settlement data of columns

表3 最優(yōu)可變權(quán)重λTable 3 Optimal variable weights λ

設(shè)粒子種群數(shù)量為50，迭代上限為30次。模型2的最優(yōu)粒子搜索過程如圖1所示，2號模型在迭代18次后，適應(yīng)度趨于穩(wěn)定，模型平均相對誤差為定值，此時求得最優(yōu)可變權(quán)重為0.026 21。模型3的最優(yōu)粒子搜索過程如圖2所示，3號模型在迭代21次后，適應(yīng)度趨于穩(wěn)定，模型后驗差比為定值，此時求得最優(yōu)可變權(quán)重為0.000 24。模型4的最優(yōu)粒子搜索過程如圖3所示，4號模型在迭代10次后，適應(yīng)度趨于穩(wěn)定，模型灰色絕對關(guān)聯(lián)度為定值，求得最優(yōu)可變權(quán)重0.051 78。

圖1 模型2的最優(yōu)粒子搜索過程Fig.1 The optimal particle search process for model 2

圖2 模型3的最優(yōu)粒子搜索過程Fig.2 The optimal particle search process for model 3

圖3 模型4的最優(yōu)粒子搜索過程Fig.3 The optimal particle search process for model 4

將表3中的可變權(quán)重λ代入式(6)和(7)中，對表2前6個原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，構(gòu)造PSO-VWDGM(1,1)模型。其中1～4號預(yù)測模型的方程分別為(k=1,2,…,n-1)：

(15)

(16)

(17)

(18)

利用上述4個方程求出的擬合值及預(yù)測值，見表4，用式(8)～(10)檢驗4種模型預(yù)測性能，檢驗結(jié)果見表5。

由表4可知，用變權(quán)緩沖算子和PSO算法構(gòu)造的2～4號模型的擬合值及預(yù)測值相比傳統(tǒng)1號DGM(1,1)模型更加接近真實值。由表1和表4可知，4種模型的預(yù)測精度均已經(jīng)達(dá)到1級精度， 2～4號模型預(yù)測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關(guān)聯(lián)度均優(yōu)于1號模型。說明利用PSO算法和變權(quán)緩沖算子構(gòu)造的PSO-VWDGM(1,1)模型的預(yù)測精度更高，優(yōu)于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型。

根據(jù)表3、表5和圖4對2～4號模型的比對可知，將不同的精度檢驗方法作為PSO算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)得出的最終結(jié)果存在明顯差異。3號模型(后驗差比檢驗)作為PSO算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)時，得到優(yōu)化后的可變權(quán)重為0.000 24，利用該參數(shù)建立模型得到預(yù)測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關(guān)聯(lián)度分別為0.414 7,2.533 3%,0.377 2和0.986 7，均略大于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1) 模型中精度等級最低的模型。2號模型(平均相對誤差檢驗)作為PSO算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)時，得到優(yōu)化后的可變權(quán)重為0.026 21，利用該參數(shù)建立模型得到預(yù)測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關(guān)聯(lián)度分別為0.396 7,2.427 6%,0.371 1和0.987 7，均大于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1)模型中精度等級位于中間的模型。4號模型(灰色絕對關(guān)聯(lián)度檢驗)作為PSO算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)時，到優(yōu)化后的可變權(quán)重為0.051 78，利用該參數(shù)建立模型得到預(yù)測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關(guān)聯(lián)度分別為0.336 2，2.068 2%，0.342 4和0.999 0，均大于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1)模型中精度等級最高的模型。4號模型的預(yù)測值平均殘差與2號和3號模型相比，精度分別提高了15.24%和18.93%；其預(yù)測值的平均相對誤差與2號和3號模型相比，精度分別提高了14.8%和18.35%；預(yù)測值的后驗差比與2號和3號模型相比，精度分別提高了7.71%和9.21%；預(yù)測值的灰色絕對關(guān)聯(lián)度分別提高了0.23%與0.34%。

表4 不同模型擬合預(yù)測值及殘差Table 4 Fitting predicted values and residuals of different models

表5 不同模型預(yù)測值的精度檢驗Table 5 The accuracy test of the predicted value of different models

為了更加直觀的看出1至4號模型預(yù)測精度的大小關(guān)系，將這4中模型預(yù)測結(jié)果繪制如圖4所示。由上述分析可知，在本工程實例的3個 PSO-VWDGM(1,1)模型中，4號模型具有最高的預(yù)測精度，2號模型次之，3號模型最差。但是3個模型的預(yù)測精度均為1級，均可適用于此工程。

圖4 預(yù)測結(jié)果對比 Fig.4 Comparison of prediction result

4 結(jié)論

1)利用變權(quán)緩沖算子對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行降噪處理，提高原始序列的光滑性，并通過PSO算法優(yōu)化可變權(quán)重λ構(gòu)造出PSO-VWDGM(1,1)模型，從而達(dá)到調(diào)節(jié)緩沖算子作用強(qiáng)度的目的，實現(xiàn)變權(quán)緩沖算子對原始數(shù)據(jù)序列作用強(qiáng)度的量化與控制。

2)相對誤差檢驗、后驗差比檢驗，灰色絕對關(guān)聯(lián)度檢驗3種精度檢驗方法作為PSO算法目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)建立的模型相比傳統(tǒng)DGM(1,1)模型，其預(yù)測精度高，預(yù)測性能更好。

3)比較3種PSO-VWDGM(1,1)模型可知，以灰色絕對關(guān)聯(lián)度檢驗作為PSO算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)的模型具有較好的預(yù)測精度。3種PSO-VWDGM(1,1)模型均具有1級精度，可以很好地應(yīng)用在工程中。研究結(jié)果能為工程施工階段的基坑變形預(yù)測、穩(wěn)定性分析與災(zāi)害評估、預(yù)警提供指導(dǎo)。