基于數字鉆探的巖石c-φ參數測試方法

王 琦，秦 乾，高紅科，江 貝,3，許 碩

(1.山東大學 巖土與結構工程研究中心，山東 濟南 250061; 2.中國礦業大學(北京) 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，北京 100083; 3.濟南大學 土木建筑學院，山東 濟南 250022)

巖石的黏聚力c和內摩擦角φ作為表征巖石強度性質的最基本參數(以下簡稱c-φ參數)，其準確測試是進行地下工程圍巖穩定性分析和支護方案設計的基礎。巖石c-φ參數主要通過室內三軸試驗方法確定，但該方法需采集現場巖樣，并運送至實驗室測試，周期長、成本高;對于開挖擾動后的圍巖，力學參數發生了變化，其變化規律對圍巖變形和支護受力影響顯著，但室內試驗方法無法對其進行及時測試。因此，需研究巖石c-φ參數快速測試方法。隨鉆參數是指鉆機鉆進過程中的運行參數，包括鉆進速率、轉速、扭矩及推進力，通過數字鉆探測試技術[1-6]可對鉆進過程中的隨鉆參數進行監測和部分參數定量控制。大量現場和室內的數字鉆探試驗研究已證明，隨鉆參數與巖石力學參數具有密切的相關性[7-10]。上述研究成果為巖石c-φ參數的快速獲取提供了新思路。眾多學者利用統計學、智能算法和能量分析等方法，建立了隨鉆參數與巖石抗壓強度參數[11-14]及巖體結構面參數[15-16]的關系，但對其與c-φ參數的關系研究較少，限制了數字鉆探測試技術的進一步發展。

室內試驗[17]和數值模擬[18-21]表明，鉆頭單列切削刃瞬時切削深度較小時，巖石為韌性破壞模式，即巖石c-φ參數對巖石切削破壞過程起控制作用。因此，基于巖石切削破壞過程的力學分析，建立隨鉆參數與巖石c-φ參數關系具有良好的可行性。筆者提出不預設破壞面的切削刃破巖力學模型，基于滑移線理論推導巖石極限切削力，進而建立隨鉆參數與巖石c-φ參數的關系式(DP-cφ關系式)。并利用自主研發的巖體數字鉆探測試系統進行室內試驗，驗證了該模型的合理性。在此基礎上，提出了巖石c-φ參數數字鉆探測定方法，并通過室內試驗驗證了該方法的可行性與有效性。該方法實施方便、快捷，可對巖石c-φ參數進行有效測定，為地下工程圍巖穩定性分析和支護參數設計提供依據。

1 巖石切削理論分析

1.1 理論基礎和基本假設

金剛石復合片鉆頭(PDC鉆頭)由金剛石復合片和胎體組成，金剛石復合片鑲嵌于胎體中，形成切削刃，起到破碎巖石的作用，如圖1所示。

圖1 PDC鉆頭切削巖石過程示意Fig.1 Three-dimensional schematic diagram of PDC drill bit

通過巖石切削試驗[19]和數值模擬[20-22]研究發現，當鉆頭單列切削刃瞬時切削深度(以下簡稱切削深度H)較淺時，切削引起的巖石破壞遵循塑性破壞準則。

鉆頭單列切削刃的切削寬度一般為其切削深度H的10倍以上，即切削寬度遠遠大于瞬時切削深度，所以每個切削巖石的循環，切削刃都可近似看作線性運動;另外，PRYHOROVSKA 等[23]研究表明，線性切削與旋轉切削沒有本質上的區別。綜上所述，可將巖石切削問題簡化為平面應變問題。

根據上述對巖石切削破壞特征的描述，建立巖石切削力學模型時依據以下假設:

(1)因切削寬度遠大于切削深度，可將巖石切削問題簡化為平面應變問題;

(2)切削刃與巖石的接觸面貼合緊密，對巖石施加均布斜向切削力;

(3)受切削區域巖石服從Mohr-Coulomb屈服準則;

(4)因被切削區域巖石重力遠小于切削力，本模型不計巖石重力。

建立巖石切削力學分析模型，如圖2所示。其中，切削刃與巖石接觸面為x軸;κ為切削刃的后傾角;Ff為切削刃對其下方巖石的作用力;δ為作用力Ff與豎直方向的夾角，同時也是切削刃與巖石的摩擦角;η為切削刃面OA與巖石自由面OB的夾角;H為切削深度;q為巖石的極限切削力;γ為極限切削力傾角，表示極限切削力q與切削刃面法線方向的夾角;c為巖石黏聚力;φ為內摩擦角。

圖2 巖石切削力學分析模型Fig.2 Rock cutting mechanics analysis model

1.2 滑移線基本方程與本文方向規定

本文應力符號規定，正應力以壓應力為正，拉應力為負，剪應力以企圖使單元體發生逆時針旋轉為正。圖3中，塑性區中任一點E有α和β兩條滑移線，Sα和Sβ分別為滑移線α和β的弧長，兩條滑移線之間的夾角為2μ，μ=π/4-φ/2。

圖3 塑性區任一點E的α和β兩條滑移線Fig.3 Slip lines α and β at any point E in the plastic region

設最大主應力σ1與x軸的夾角θ，并規定從x軸方向順時針旋轉到σ1方向轉角為正。無重巖石沿α線和β線的平衡方程為

(1)

(2)

其中，p=(σ1+σ3)/2;R=psinφ+ccosφ為莫爾圓的半徑，如圖4所示。因為2μ=π/2-φ，所以sin 2μ=cosφ。

式(1)，(2)可簡化為

在α線上:

lnσ-2θcot 2μ=const

(3)

在β線上:

lnσ+2θcot 2μ=const

(4)

式中，

σ=p+ccotφ

(5)

圖4 塑性區任一點E的極限應力圓Fig.4 Limiting stress circle at any point E in the plastic region

1.3 應力邊界條件

1.3.1 切削刃面OA邊界條件

邊界法向方向的正應力為σn=qcosγ，切應力為τn=qsinγ。邊界上任一點N應力邊界條件值為pN和θN，則可繪制出該點的極限莫爾應力圓，如圖5所示。

由極限莫爾應力圓中的幾何關系可知:

(6)

τn=Rsin(π-2θN)

(7)

其中，R=[(pN+ccotφ)sinφ]，代入式(6)，(7)中得

pN=σn+csinφcosφ-

(8)

(9)

將σn=qcosγ，τn=qsinγ代入式(8)，得

(10)

將式(10)代入式(5)得

ccotφ

(11)

1.3.2 自由面OB邊界條件

OB邊界條件上任一點M，如圖2所示，其法向正應力σn=0，切應力τn=0。可繪制該點的極限莫爾應力圓，如圖6所示。由該點極限莫爾應力圓幾何特征可知

(12)

θM=η

(13)

圖5 N點應力邊界條件和極限莫爾應力圓Fig.5 Stress boundary condition and the Limiting Mohr’s stress circle at point N

圖6 M點應力邊界條件和極限莫爾應力圓Fig.6 Stress boundary condition and the Limiting Mohr’s stress circle at point M

將式(12)代入式(5)得

(14)

1.4 巖石的極限切削力q求解

由式(4)可知，在一條β線上，存在特征關系lnσ+2θtanφ=const，對于OB邊界和OA邊界滿足在同一β線上兩點，存在:

lnσN+2θNtanφ=lnσM+2θMtanφ

(15)

則式(15)可化簡為

(16)

將式(11)和式(14)代入式(16)并化簡得

(17)

式(17)是一個關于q的非線性方程，可利用迭代法求解，ξ=c/q一般小于0.3，為方便求解，可先設ξ=0.1，根據式(17)求得q值，然后求得ξ，再將ξ代入式(17)中，依次反復迭代求解直至達到需要精度，可得到巖石的極限切削力q。

2 隨鉆參數與巖石c-φ參數的關系

2.1 鉆頭扭矩M求解

鉆頭鉆進巖體過程中，轉速N、鉆進速率v、扭矩M和推進力F可由鉆機傳感器實時測定。根據鉆頭組成結構與鉆進巖體過程特征，由圖1和圖2分析可得切削深度H為

(18)

式中，m為鉆頭切削刃列數。

則由圖2可得，切削刃截面的線荷載Fc為

(19)

式中，κ為切削刃的后傾角，如圖2所示。

M包含兩部分，切削扭矩Mc和摩阻扭矩Mf。如圖3所示，Mc是由鉆機提供用于切削巖石的力矩，通過Fc水平方向的分量對鉆頭中心取矩得到;Mf是由鉆機提供用于克服鉆頭與其下方巖石摩擦作用的力矩，通過Ff水平方向的分量對鉆頭中心取矩得到。

如圖7所示，鉆頭的半徑為R，具有3列切削刃，第i列切削刃的長度為Li，某列切削刃任一截面距鉆頭中心O的長度為r，取任意微段dr，其上的作用力對鉆頭產生的扭矩:

dM=dMc+dMf=Fcrcos(κ+γ)dr+Ffrsinδdr

(20)

其中，Ff為孔底巖石與切削刃間的作用力;δ為鉆頭切削刃與巖石間的摩擦角，即tanδ為摩擦因數，則孔底巖石與切削刃間的摩擦力為Ffcosδtanδ=Ffsinδ。

將微段產生的力矩dM沿切削刃長度方向積分，并將所有列切削刃的力矩疊加得到鉆機總扭矩M:

(21)

圖7 鉆頭和任一列切削刃的示意Fig.7 Drill cross section and section of a cutting edge

2.2 推進力F求解

F是由鉆機提供用于克服切削線荷載Fc和作用力

Ff的豎向分力。對于任意微段，鉆頭上的推進力為

dF=[Fcsin(κ+γ)+Ffcosδ]dt

(22)

將微段產生的推進力dF沿切削刃長度方向積分，并將所有列切削刃的推進力疊加得到鉆機總推進力F:

F=[Fcsin(κ+γ)+Ffcosδ](L1+L2+L3)(23)

2.3 隨鉆參數與巖石c-φ參數關系式

聯立式(21),(23)消去未知力Ff得

(24)

將式(19)代入式(24)，結合m=3得

(25)

將式(17)代入式(25)，得隨鉆參數與巖石c-φ參數關系式:

(26)

3 室內試驗驗證

3.1 試驗儀器和試驗材料

為研究隨鉆參數與巖石力學參數的關系，筆者研發了巖體數字鉆探測試系統，如圖8所示。

圖8 巖體數字鉆探測試系統和本文研發的PDC鉆頭Fig.8 Rock mass digital drilling test system and the PDC bit

該系統包括鉆機裝置、壓力室、控制系統和液壓泵站。當選用一種控制與監測模式，例如選擇控制轉速100 r/min、鉆進速率100 mm/min，控制系統可自動繪制出隨鉆參數曲線。

本次試驗所用鉆頭為本文研發的金剛石復合片鉆頭，如圖8所示。采用方形的復合片制作鉆頭切削刃，使得鉆進過程中復合片即使有磨損也不會改變切削刃形狀和受力特征，盡量減少復合片磨損對測試數據的影響，采用方形復合片也使得與本文的理論假設更為符合。

試驗選用同一批花崗巖試件，如圖9所示，試件尺寸為150 mm×150 mm×200 mm，對巖石實施室內三軸和單軸試驗，測定其巖石力學參數，見表1。

表1 試驗所用花崗巖力學參數Table 1 Properties of the granite used for the experiments

圖9 鉆進前后花崗巖試件Fig.9 Limestone and sandstone specimens before drilling and after drilling

3.2 試驗方案設計

本次試驗采用控制鉆進速率v和轉速N、采集扭矩M和推進力F的控制與監測模式，設計5種試驗方案，方案編號為n(n=1,2,3,4,5)，鉆進速率控制在110，140 mm/min，轉速控制在200，250，300 r/min，具體試驗方案見表2。

表2 具體試驗方案Table 2 Specific Laboratory test scheme

3.3 試驗結果與理論計算對比

3.3.1 試驗結果及切削扭矩取值

以方案1中典型試驗數據為例，鉆進速率v和轉速N為被控制量，分別為110，200 r/min。圖10為扭矩M和推進力F隨鉆進深度D變化曲線。

如圖10所示，花崗巖不同方案下，M和F隨Dh變化規律相似，可分為2個階段:

圖10 監測扭矩M和監測推進力F隨鉆進深度D變化曲線Fig.10 Variation of total torque M and Thrust F with the drill bit depth D as measured by the Laboratory test

(1)在鉆頭沒接觸巖石前，M較小，接觸巖石后，M在較小的D內急劇上升，此為上升階段;

(2)在鉆頭鉆進較小的深度后(大約在0.8 cm位置)，M進入一個穩定階段，隨著D的增加，M在穩定值附近小幅度上下波動，這可能與巖石材質不均勻和復合片切削巖石所處階段交替變化有關。

每塊試件M和F的試驗值取值方法相同，都取同一個試件數據穩定階段的平均值。

3.3.2 理論分析參數選擇

γ根據RICHARD[19]和HUANG等[20]的研究結果進行取值，κ對γ影響顯著，κ越大，γ越小，本文所用鉆頭κ=15°，γ取18°;δ根據YAHIAOUI等[24]的研究成果取值為12°。

黏聚力c和內摩擦角φ取試件的三軸試驗測定值，見表1。如圖7所示，本文設計的鉆頭半徑R=30 mm，具有3列切削刃，切削刃長度L1=18 mm，L2=18 mm，L3=27 mm，κ=15°，由圖2可知，兩邊界的夾角η=90°+κ=105°，鉆進速率v和轉速N選用每個方案的設定值，見表2。將上述參數以及推進力F代入式(26)，得到理論扭矩M。

3.3.3 理論分析與室內試驗結果的對比與評價

繪制各方案室內試驗和理論分析的扭矩M對比圖，如圖11所示。從圖11可以看出，花崗巖各方案室內試驗測得的扭矩M與理論值大致相符。

圖11 各方案室內試驗和理論分析扭矩M對比Fig.11 Comparison of torque M between Lab results and theoretical results with various schemes n

為定量評價本文提出的理論或方法和常規試驗方法測定結果的差異，現定義差異率指標ξ:

(27)

其中，thR為本文提出的理論或方法結果;exR為常規試驗結果。該指標也將在本文其他章節繼續沿用，含義相同。

由圖11可知，各方案室內試驗扭矩與理論值大致相符，兩者平均差異率為8.44%。理論分析值一般比室內試驗值偏小，這可能與室內試驗扭矩取值時沒有考慮鉆頭與孔壁的摩擦有關。室內試驗與理論分析的對比結果說明了巖石切削力學模型以及隨鉆參數與巖石c-φ參數關系式的合理性和有效性。

4 巖石c-φ參數數字鉆探測定方法

4.1 方法的提出

基于本文建立的隨鉆參數與巖石c-φ參數關系式，現提出巖石c-φ參數數字鉆探測定方法。該方法的實施將遵循以下3個步驟:

(1)利用數字鉆進測定方法對巖石實施鉆進試驗，根據得到的隨鉆參數計算巖石極限切削力q。其中q由式(25)得到，計算公式為

(28)

(2)基于巖體數字鉆探試驗，得到單軸抗壓強度Rc。

大量對比試驗結果表明，巖石單軸抗壓強度可通過數字鉆探試驗獲得[11-13]。在莫爾-庫倫屈服準則體系下，巖石單軸抗壓強度Rc與c-φ參數的關系為

(29)

(3)結合上述兩步驟得到的q和Rc，計算巖石內摩擦角φ和黏聚力c。

其中，內摩擦角φ和黏聚力c計算由式(17)和式(29)聯立得到:

(30)

4.2 方法的驗證

利用本文第4節巖體數字鉆探測試系統鉆進花崗巖試塊得到的隨鉆參數數據(圖10)和巖石單軸抗壓強度數據(表1)，對上述數字鉆探測定方法進行驗證。

根據式(30)計算花崗巖各方案下數字鉆進測定方法測定的內摩擦角φd和黏聚力cd，結合該巖石通過三軸試驗獲取的φ和c(表1)和式(27)，得到兩種方法內摩擦角差異率ξφ以及黏聚力差異率ξc，分析結果見表3。

表3 花崗巖c-φ參數測定對比分析Table 3 Comparison and analysis of the c-φ parameters acquired by different methods

由表3可知，在轉速和推進速度沒有巨大差別的情況下，不同轉速和鉆進速率組合的各方案，花崗巖數字鉆進測定方法與三軸方法得到的內摩擦角差異率為4.25%～10.80%，平均差異率ξφ=7.89%，黏聚力的差異率為5.28%～12.83%，平均差異率ξc=9.49%，總體差異率均較小，驗證了本文提出的數字鉆探測定方法的合理性和有效性;同時表明，鉆頭的轉速N和鉆進速率V對測定結果產生的影響較小，基于上述測定方法，采用不同轉速N和鉆進速率V的組合，均可較準確的測定出巖石的c-φ參數。

5 結 論

(1)根據巖石切削破碎特征，提出一種不預設破壞面的巖石切削力學模型。本模型彌補了已有的巖石切削力學模型將破壞面假設為平面，從而與巖石受切削時實際的破壞面特征存在差異的不足。基于滑移線理論推導巖石的極限切削力，以此建立DP-cφ關系式。

(2)利用巖體數字鉆探測試系統鉆進花崗巖試件，將得到的隨鉆數據與理論分析結果對比，兩者平均差異率為8.44%，驗證了巖石切削力學模型和DP-cφ關系式的合理性。

(3)基于隨鉆參數與巖石c-φ參數關系式，提出了巖石c-φ參數數字鉆探測定方法，并進行了該方法與傳統三軸方法測定結果的對比分析，結果表明:兩方法得到的黏聚力和內摩擦角平均差異率均小于10%，證明了本文提出的數字鉆探測定方法的有效性和可行性。

(4)本文提出的巖石c-φ參數數字鉆探測定方法實施方便、準確度高，可對巖石c-φ參數進行有效測定。