基于亥姆霍茲線圈的旋轉磁場設計方法和COMSOL 有限元仿真

范程穎

（同濟大學，上海 200000）

1 旋轉磁場定義

旋轉磁場的方向可以由旋轉面的法向即旋轉軸方向唯一確定，如圖1 所示，在空間坐標系中磁場的中心處于原點，旋轉磁場方向矢量與z 軸的夾角為γ，→在xoy 平面的投影與x 軸的夾角為α.

圖1 旋轉平面的空間坐標表示

其中，k 和φ是將三角函數中間項和差化積后的結果，可由下式給出：

2 亥姆霍茲線圈的磁場計算

亥姆霍茲線圈是一對彼此平行的相同線圈，兩個線圈間距等于線圈半徑，線圈繞線方式同向，且電流方向相同使得線圈產生的磁場方向一致[2]。如圖2 所示，一對亥姆霍茲線圈軸線重合且沿x 軸方向，以兩個線圈的中心為起始點的軸線線段中點處于坐標原點。令線圈半徑為R，線圈中心到原點的距離為a，xoy 平面為工作平面，其上一點p：（x0，y0，0）處于線圈對中間。取左線圈上一段微元記作m，將右線圈上對稱位置的微元記作n，對p 點的距離向量分別為，微元與線圈連線與y 軸正方向成θ角。

根據畢奧薩伐爾定律，p 點處的磁場由兩個線圈產生的磁場疊加得到：

亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布如圖3 所示。根據圖3，m 點和n 點的坐標表示為m（-a，Rcosθ，Rsinθ），n（a，Rcosθ，Rsinθ）.

為了簡化計算，對包含p 點坐標x0，y0的項進行換元[3]：

p 點處的磁場為：

其中：

圖2 一維亥姆霍茲線圈磁場計算

圖3 亥姆霍茲磁場軸向和徑向分量分布

3 三維亥姆霍茲線圈旋轉磁場參數建模

3.1 亥姆霍茲線圈磁場的結構參數

在實際設計亥姆霍茲線圈時，由于線圈有一定的厚度，必須考慮線圈的實際尺寸，假設線圈內徑為R1，外徑為R2，左右線圈內端面到z 軸中軸線的距離分別為c，外端面到中軸線的距離為l.假設導線的橫截面積為σ，導線均勻緊密地繞在線圈上，匝數為N，則單位截面內電流密度J 等于總電流與截面積的比值[4]：

將面元ds 內的電流Jds 作為一個電流環(huán)，再對位置進行積分，令：

由上式可知，亥姆霍茲線圈磁場磁場強度與電流成正比，因此獨立出結構參數ψ，為：

三維亥姆霍茲線圈由三對兩兩正交的亥姆霍茲線圈組成，如圖4 所示，深灰色、黑色、淡灰色線圈分別對應到三維坐標軸X，Y，Z，工作區(qū)域為最小線圈的均勻區(qū)。

圖4 X，Y，Z 軸線圈磁場

設計三維亥姆霍茲線圈的結構，要考慮以下兩個方面：①內外線圈之間不能交疊，即內線圈組外邊界到磁場中心的距離不小于外線圈組內邊界到磁場中心點的距離；②三對線圈產生的磁場在中心區(qū)域大小與電流的比例相等，保證相同電流下產生的磁場強度相等。因此，線圈的結構參數設計應滿足如下關系[5]：

3.2 亥姆霍茲線圈的電流參數

亥姆霍茲線圈截面由N 匝導線構成，盡管導線排列緊密，但導線之間仍存在一定空隙。令單根導線面積為σ0，將N 匝導線總面積與線圈橫截面積的比值定義為占空系數λ[6]：

其中，kη和kβ分別表示排繞系數和疊繞系數[7]，他們的數值取決于導線直徑，表示導線在線圈上排列、疊繞后的長度與導線直徑成比例關系。線圈的徑向厚度為內外徑之差H=R2－R1，端面寬度W=l－c.已知含絕緣外皮直徑φ0，則單位厚度上的匝數n1、單位寬度上的匝數n2為：

3.3 亥姆霍茲線圈的效率系數

磁場強度與電流成正比，線圈的發(fā)熱正比于電流密度的平方，而且交變電流在線圈中會帶來自感和與其他線圈的互感，增加了線圈的功率損耗。同時，線圈發(fā)熱會使導線絕緣漆加速蒸發(fā)變薄，增加被擊穿的風險，縮短線圈壽命。因此對線圈的功率損耗的分析有利于優(yōu)化亥姆霍茲線圈的結構參數和電流設計，提高線圈功率因數。引入亥姆霍茲線圈的效率系數G（α，β，ζ）：

從上式可知，效率系數G 是只和線圈結構參數有關的量，與線圈的實際尺寸無關。系數G 也稱作法布里系數[8]，法布里第一次將線圈的功率損耗和空心圓柱線圈中心磁場聯系起來，可以表征亥姆霍茲線圈產生磁場效率的高低。

4 三維亥姆霍茲旋轉磁場COMSOL 有限元仿真

COMSOL Multiphysics 5.3 是一款強大的多物理場仿真模擬有限元分析軟件，對三維亥姆霍茲線圈的幾何模型進行建模，COMSOL 提供了友好的幾何建模工具。在上述計算基礎上，基于COMSOL 有限元仿真對三維亥姆霍茲線圈產生的磁場進行了分析。首先分析了三軸線圈對的通以恒定電流的靜態(tài)磁場，然后分析了對線圈通時變電流時，亥姆霍茲線圈產生的旋轉磁場的準確度。

4.1 靜態(tài)磁場仿真

現目標磁場的工作空間為24 mm×24 mm 的正方形區(qū)域，磁感應強度最大值為20 mT，磁場均勻度不高于0.3%，經計算，三維亥姆霍茲線圈的參數設計如表1 所示。

4.2 旋轉磁場

上述模型確定后，對x，y 軸通相位相差90°的正弦交流電，頻率為1 Hz，則在xoy 平面內形成旋轉磁場，1 s 內原點磁場的變化如圖5 所示，磁場旋轉時可保持很好的形狀。

表1 三維亥姆霍茲線圈參數表

圖5 xoy 平面旋轉磁場，T=1 s

5 總結

本文介紹了旋轉磁場的計算和基于亥姆霍茲線圈的實現方法。首先給出了旋轉磁場的數學描述，分析了亥姆霍茲線圈的磁場，給出了一維亥姆霍茲線圈磁場的計算方法，并分析了亥姆霍茲線圈磁場的空間分布特性，然后基于一維線圈的計算，拓展到三維，詳細分析了三維亥姆霍茲線圈的結構參數和電流參數建模，最后基于三維亥姆霍茲線圈的參數計算使用COMSOL 有限元分析軟件對三維亥姆霍茲線圈的磁場進行了仿真分析。