關于初中“最短路徑問題”的教學之悟

曹俊玲

摘要：在中學數學學習中，大部分學生一旦涉及運用性的問題時，就感到無從下手，特別是在建立數學模型和綜合運用數學知識解決問題等方面。本文以初中數學教學中“最短路徑問題”為例，提出了一些心得。

關鍵詞：初中數學? ?最短路徑問題

一、初中數學教學中“最短路徑問題”簡述

在人教版八年級上冊“最短路徑問題”的教學過程中，筆者發現，最短路徑問題的教學模型有兩個，即“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”。而運用最多的是“牧馬人飲馬問題”，它最早來源于“將軍飲馬問題”。下面，筆者重點對“牧馬人飲馬問題”進行教學分析。

二、教學效果分析

在教學過程中，“牧馬人飲馬問題”模型的教學是比較輕松的，學生也容易掌握，常考模型是兩點在直線同側。如圖1所示，其原理是兩點之間線段最短。結合軸對稱知識，將其中任意一點做出它的對稱點，再連接對稱點與另一個點，則很容易找到最短路徑。但是出題者常常結合角平分線的性質、三角形、四邊形、圓、坐標系等知識點出題，如圖2所示，由于學生在綜合運用能力上的表現不一，這就導致“最值問題”成為初中數學教學難點之一。下面，筆者以朱村中學近期期中考試的一道題目為例，進行了統計分析。

如圖3所示，△ABC為等邊三角形，D為AB的中點，高AH=10厘米，P為AH上一動點，則PD+PB的最小值為 ______厘米。

解：∵點B關于AH的對稱點為C，如圖4所示

∴連接CD，則PD+PB的最小值為CD的長度

∵△ABC為等邊三角形，D為AB的中點

∴CD⊥AB

∴CD=AH=10厘米

∴PD+PB的最小值為10厘米

這道題為考試試卷填空題第16題，是填空題里的最后一題，其難度是比較大的，但是由于出題者將它設計為填空題，而且結合了等邊三角形的性質，學生容易根據三線合一的性質，猜到答案為10。如表1所示，學生答題的正確率為63.6%，得分率比較高。但還是有28.1%的學生不明白最短路徑原理，可見最值問題確實難度較大。

三、教學反思與感悟

1.抓住特征，理解本質

“最短路徑問題”考查的知識點主要有“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“點關于線對稱”“線段的平移”等，其主要原型是“牧馬人飲馬問題”“造橋選址問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、拋物線等類型。解決此類問題的總體思路是找到點關于線的對稱點，實現“折”轉“直”。

2.歸納方法，尋找技巧

由于最短路徑問題與其他知識點具有較強的融合性，教師可以根據幾何圖形的性質靈活變式，歸納解題方法，再根據已有的模型和結論，抓住這一類問題的本質，找到解題技巧。華羅庚先生說過：“書要越讀越薄。”做題目也是這樣。題目是做不完的，但學生如果經常歸納方法，找到技巧，也可以越做越“精”，這對培養學生的數學自學能力非常有益。

參考文獻：

[1]荀峰.最短路徑問題[J].中學數學教學參考，2015，（Z2）.

[2]張媛.關于初中數學最短路徑問題的探究[J].高考，2017，（6）.

（作者單位：廣州市增城區朱村中學）