基于MEMS陣列的虛擬陀螺的實現*

臧雪巖,伍萍輝,4*,曾 成,4,賈瑞才,花中秋,4

(1.河北工業大學電子信息工程學院,天津 300401;2.衛星導航系統與裝備國家重點實驗室,河北 050081; 3.中國電子科技集團第五十四研究所,河北 050081;4.天津市電子材料與器件重點實驗室,天津 300401)

慣性運動傳感器的應用十分廣泛,無論是在航空航天、工業控制、機器人技術,還是消費類電子產品,慣性傳感器變得越來越不可或缺。由于新世紀以來半導體制造技術的飛速發展,MEMS(Micro Electro Mechanical Systems)慣性傳感器迅速興起。MEMS陀螺體積小、重量輕、成本低、功耗低、易于集成、可批量化生產等諸多優點,為慣性傳感器在消費類電子和可穿戴設備等更多的領域的廣泛應用提供了可行方案。盡管技術的發展已經很大程度上提高了MEMS慣性傳感器的性能,但在目前的技術條件下,MEMS陀螺儀會因其偏置穩定性、非線性和溫度穩定性的影響[1],仍不能滿足許多應用的需求,特別是需要陀螺儀信號對時間積分的應用,如慣性導航系統等。由于技術封鎖與限制,國內的陀螺性能更是集中在中低端,難以滿足實際需求。

為提高MEMS陀螺的性能,文獻[2]在2003年首次提出利用多個陀螺對同一運動進行冗余測量,然后利用數據融合技術得到一組性能更好的“虛擬陀螺”數據。其后美國內華達大學,密歇根大學等高校以及一些科技公司,還有印度和瑞典的一些機構對虛擬陀螺做了大量研究,除了陀螺陣列的融合方法,陀螺數量和排布對性能的影響,還對加速度計陣列等輔助校正陀螺和無陀螺加速度計陣列測算角速度等方面做了深入研究[1,3-8]。國內西北工業大學一個團隊對陀螺陣列的集成,陀螺數據的融合算法,陀螺陣列的配置和陀螺相關性等做了大量工作[9-13]。此外,火箭軍工程大學,哈爾濱工業大學,哈爾濱工程大學,東南大學,中北大學等大學和機構也對陀螺陣列的做了大量研究[14-21],其工作主要集中在融合算法,陀螺相關性及融合效果等方面。

本文分析了MEMS陀螺的誤差模型,采用基于一階自回歸模型的卡爾曼濾波融合算法,然后將4個陀螺做成一個陀螺陣列,并在高精度電控轉臺上進行靜態和搖擺實驗,對于融合方法對噪聲抑制的效果進行實驗驗證。通過分析多個陀螺安裝時的對準誤差和標度因數,針對每個陀螺的對準誤差不同的問題,可將其統一于陣列的系統坐標軸,在轉臺上對對準誤差和標度因數進行標定和補償,期間也簡化了其計算過程。對比補償前后搖擺實驗的數據,發現補償后的實驗結果更接近真實值。

1 理論研究

1.1 MEMS陀螺誤差建模

要想實現MEMS陀螺陣列的數據融合,需要首先定義一個陀螺誤差模型。這個模型表示輸入角速率和輸出角速率的關系。陀螺誤差一般分為確定性誤差和隨機誤差,確定性誤差一般可以通過標定補償,因此誤差模型只需考慮隨機誤差。通用的誤差模型如式(1),其中只包含支配性噪聲角度隨機游走(ARW)和速率隨機游走(RRW)。

(1)

其中y(t)是陀螺的輸出角速度信號;ω(t)是真實角速度信號;b(t)是緩慢變化的隨機值叫做零偏漂移,它由隨機游走過程噪聲wb(t)決定;n(t)是干擾陀螺角速度測量的白噪聲,但反映在角度上就成為了角度隨機游走。

因此使用上述模型的一個簡化模型:

y(t)=ω(t)+N(t),N(t)=b(t)+n(t)

(2)

1.2 MEMS陀螺數據融合方法

組成陣列的4個陀螺使用相同型號相同批次的陀螺,它們有著相同的制造工藝和材料,以及相同的采集環境,因此各陀螺的噪聲之間是有一定的相關性存在的,利用其噪聲之間的相關性,可一定程度上約束陀螺噪聲,從而實現一個精度更高的虛擬陀螺。MEMS陀螺的數據融合方案如圖1所示。將4個陀螺的數據分別進行相關性分析和Allan方差分析,可得到陀螺陣列的協方差矩陣,再由協方差矩陣和誤差模型得到的卡爾曼濾波融合算法,可得到陀螺數據的最優估計。

圖1 MEMS陀螺數據融合方案

陣列中的各個陀螺的真實速率是相同的,建立準確的真實角速率ωk模型能夠提高陀螺的精度。由于上文提到的隨機游走模型的問題,不宜采用此方法,因此采用動態性能更好的AR模型,為不致融合方法復雜度太高而難以計算,可采用一階AR模型式(3)表示真實角速率。

ωk=-aωk-1+wk

(3)

根據MEMS陀螺的簡化誤差模型式(2),可構建帶有隨機誤差的物理系統的狀態方程和測量方程,再將其離散化可得狀態方程式(4)和測量方程式(5)如下:

Xk=Ak,k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

(4)

Zk=HkXk+Vk

(5)

其中系統狀態Xk為ωk,Ak,k-1=-a(a是模型參數),Γk-1=1,W是系統噪聲,且有cov[Wi,Wj]=Qδij,和E[Wk]=0,(i,j,k=1,2,3,4);而陀螺輸出向量Zk=[y1ky2ky3ky4k]T,量測矩陣Hk=[1 1 1 1]T,測量噪聲Vk為[n1kn2kn3kn4k]T,且有cov[Vi,Vj]=Rδij,E[Vk]=0,(i,j,k=1,2,3,4)。陣列中的陀螺噪聲是有一定相關性的,因此測量噪聲的協方差矩陣R并非對角陣,用ρij(i,j=1,2,3,4)表示第i個和第j個陀螺之間的相關性系數,則有測量噪聲的協方差矩陣如下:

(6)

其中σ2是噪聲方差。

一步預測方程:

(7)

狀態估計方程:

(8)

濾波增益矩陣:

(9)

為了計算簡便,也可以采用:

(10)

一步預測均方差:

Pk/k-1=APkAT+ΓQΓT

(11)

估計均方差:

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1

(12)

1.3 陀螺對準誤差和敏感軸標度因數的標定方法

多陀螺數據的融合可以提高陀螺精度,但是有很多實際的問題會影響融合結果和姿態解算精度,其中主要的是陀螺敏感軸的標度因數和陀螺對準誤差。標度因數可以根據陀螺儀的測試標準中的標定方法經實驗標定;而陀螺對準誤差,即陀螺在安裝時,其敏感軸和全局坐標軸之間的夾角產生的誤差,可以下述方法標定。

圖2所示為陀螺安裝方位誤差的通用模型,OXYZ是陀螺陣列的全局坐標系,OGXGYGZ是陀螺儀實際安裝的坐標軸;ΨX、ΨY、ΨZ分別是陀螺儀3個正交軸與全局坐標系的對準誤差角。對準誤差角會引入一個余弦誤差,式(13)為陀螺儀各軸繞全局坐標系中對應軸旋轉的響應。

(13a)

GY=ωYcos(ΨY)

(13b)

GZ=ωZcos(ΨZ)

(13c)

其中GX、GY、GZ分別表示各軸的測量值,ωX、ωY、ωZ分別表示真實角速度值,而ΨX、ΨY、ΨZ表示陀螺儀的對準誤差角。

除此之外對準誤差還會產生跨軸影響,因此對準誤差角在其他兩軸也有分量,如圖2中ΨZ在X軸和Y軸分別有分量θZX和θZY,則X軸的響應擴展為式(14a),同理式(14b)和(14c)為其他兩軸的響應擴展。

GX=ωXcos(ΨX)+ωYsin(θXY)+ωZsin(θXZ)

(14a)

GY=ωXsin(θYX)+ωYcos(ΨY)+ωZsin(θYZ)

(14b)

GZ=ωXsin(θZX)+ωYsin(θZY)+ωZcos(ΨZ)

(14c)

將其改寫為矩陣形式為

(15)

式中θmn(m,n=X,Y,Z)表示m軸在n軸上產生的分量。也可以將式(15)簡化為G=Mω,其中的M即是系統的變換矩陣,對M求逆即可得到校正對準矩陣M-1,M-1和輸出向量G相乘即可得到全局坐標系的輸入向量ω。

計算校正對準矩陣M-1的一般做法是,對陀螺陣列固定輸入,一般是(ωt0 0),然后根據式(15)可以計算得到變換矩陣中分量M11、M21和M31,然后依次輸入(0ωt0)和(0 0ωt)即可得到變換矩陣M中的其他分量,然后再對M求逆。但實驗中發現,由于標度因數的影響,得到的對準誤差角并不合理。

由陣列使用的是低成本陀螺陣列,其標度因數仍需標定,因此,得到的對準誤差角和其跨軸分量相差較大。如果暫且忽略對準誤差角(與標度因數相比,對準誤差角影響較小),優先確定標度因數K,對準誤差角就難以確定。假設陀螺三軸相互垂直,則對準誤差角和其跨軸分量存在如式(17)所示的關系,式(15)中加入標度因數KX、KY、KZ的影響即可得到式(16),可以聯立式(17)與式(16),進行計算。

(16)

cos(ΨX)=cos(θXY)cos(θXZ)

(17a)

cos(ΨY)=cos(θYX)cos(θYZ)

(17b)

cos(ΨZ)=cos(θZX)cos(θZY)

(17c)

(18)

為了簡化計算,可以優先計算對準誤差角的跨軸分量θ。以θYX為例用式(18)可計算對準誤差角在其他軸的分量。在實驗中發現標度因數K=1±0.005,而式(18)中的反三角函數arcsinx在0附近的導數約為1,標度因數K引入的角度誤差會也在0.01°以內,這在誤差允許范圍內,因此,也可以用式(19)代替式(18)作近似計算。也就是,先以式(19)的方式計算變換矩陣M中的與θ相關的分量,再利用式(17)計算對準誤差角Ψ和最后利用式(16)計算標度因數K。這樣即可得到校正矩陣對陀螺的標度因數和對準誤差進行補償。

θYX=arcsin(GY/ωt)

(19)

2 實驗驗證

實驗采用4個陀螺組成的陣列,即將4個MPU-6500焊接在同一塊電路板上,組成如圖3所示的陀螺陣列。MPU-6500是InvenSense的一款六軸慣性運動傳感器(三軸陀螺儀和三軸加速計)。傳感器的數據讀取采用SPI總線,陀螺的帶寬設置為40 Hz,采樣頻率設為200 Hz,以滿足采樣定理。

圖3 MEMS陀螺陣列

2.1 靜態實驗

本實驗將傳感器陣列置于高精度的電控轉臺內,保持轉臺靜止,預熱30 min后,開始采集陀螺陣列數據。文獻[22]提到,欲得到完整的Allan方差曲線,至少需要2.5 h的靜態數據。因此本次采集時長設為3 h。對離線數據進行處理(為簡便起見,只以其中X軸為例),得到原始數據和處理結果如圖4所示。其中1X-4X為4個陀螺的原始數據,X為融合后所得到的虛擬陀螺數據。計算其1σ標準偏差的結果如表1所示,4個陀螺的平均值是0.062 7 °/s,與融合結果比較,融合后1σ標準差降低了4.36倍。

圖4 陀螺陣列靜態數據

傳感器1X2X3X4X融合結果1σ標準差/(°/s)0.059 80.060 60.069 30.061 20.014 4

對數據進行Allan方差分析,結果如圖5所示。可以從圖中得到各個陀螺和融合結果的零偏不穩定性如表2所示。零偏不穩定性的平均值是11.09 °/h,與融合結果比較可知,融合后零偏不穩定性降低了2.22倍。

圖5 陀螺陣列的Allan方差分析

傳感器1X2X3X4X融合結果零偏不穩定性/(°/h)10.1010.8110.7512.714.99

2.2 動態試驗

將陀螺陣列置于高精度電控轉臺上,預熱30 min,然后開始搖擺實驗,轉臺以正弦模式擺動。設置擺動頻率為0.1 Hz,最大偏角為10°,采集10 min,也就是其擺動的速率為:

ω=2πsin(0.1×2πt)

(20)

對所得到的數據按上述融合方法進行融合,得到的融合結果如圖6所示。

圖6 搖擺實驗的局部結果

可以看出融合結果的噪聲幅度明顯低于陣列中單個陀螺。對所得到的陀螺數據進行曲線擬合,得到

ω=6.252 2sin(0.099 994×2πt)

(21)

以式(20)作為角速率的真值,可以得到在搖擺實驗中的角速率誤差如圖7所示。

圖7 動態試驗的速率誤差

計算搖擺實驗中的速率誤差的1σ標準差,其結果如表3所示,4個陀螺動態情況下的1σ標準差的平均值是0.058 7 °/s,與融合結果比較,融合后1σ標準差降低了3.69倍。這個結果與靜態情況相比,雖然提高的倍數有所降低,但考慮到動態情況下引入的誤差,結果還算基本一致。

表3 動態試驗的誤差的1σ標準差

2.3 對準誤差角和標度因數的標定

將陀螺陣列三向敏感軸與高精度電控轉臺的3個轉軸對齊,置于轉臺上,預熱30 min,然后按照0 °/s,±10 °/s,±30 °/s,±50 °/s,±100 °/s,±150 °/s,±200 °/s,依次采集每個軸在不同轉速下的值,得到各傳感器在不同轉速下的數據輸出,圖8所示為繞X軸不同角速度各傳感器數據。根據前述的計算方法可以得到各對準誤差角和其跨軸分量,如表4所示。需要注意的是,為避免殘余零偏誤差的影響,可用正反向轉動的差分值計算對準誤差角,再將不同角速度所得的結果平均,以確定安裝誤差角。

確定安裝誤差角后,利用轉臺不同轉速作為輸入,再對各傳感器的輸出值進行擬合,獲得各軸的標度因數K,如表5所示,圖9為1X軸的擬合直線。

圖8 繞X軸不同角速度各傳感器數據

圖9 1X軸擬合直線

在上述實驗中獲得了各軸的對準角和標度因數,可以根據式(16)計算校正后的輸出值。對搖擺實驗的各軸的數據進行校正后,再對所得的陀螺數據進行曲線擬合,得到

ω=6.283 1sin(0.099 994×2πt)

(22)

其峰值相較于校正之前式(21)的6.252 2更接近于式(20)轉臺輸入的峰值2π。對繞X軸進行搖擺實驗時的Y軸數據,進行校正前后的對比,如圖10所示,左側為各傳感器Y軸校正前的部分數據,右側為校正后的。可以看出,搖擺實驗中,校正之前由于對準角誤差的影響,在與X軸垂直的Y軸上也有小幅的搖擺分量,同時X軸的峰值也不足2π。在經過校正處理后,得到的X軸數據更接近于轉臺輸入式(20),Y軸更趨向于穩定的零值。實驗結果表明,經過標定補償的搖擺實驗數據,更接近高精度電控轉臺對陀螺陣列的輸入值。

表4 各軸與系統軸對準誤差角

注:跨軸分量中±只表示方向。

表5 各軸標度因數

圖10 Y軸數據校正前后對比

3 結論

為了提高陀螺精度,降低測量噪聲,針對4個陀螺組成的陣列,采用了基于一階AR模型的卡爾曼濾波融合算法,有效降低了陀螺噪聲。由實驗數據可知,1σ標準差靜態情況下降低4.36倍,動態情況下降低3.69倍;零偏不穩定性降低了2.22倍。簡化了陀螺對準誤差的標定計算過程,標定并補償了陣列中各陀螺的各個軸的對準誤差和標度因數,實驗表明標定補償后,陀螺陣列的輸出數據更接近高精度轉臺輸入的真實值。實驗結果說明,本文的數據融合方法和標定補償方法是有效的。