基于YPD-Zoeppritz方程的楊氏模量和泊松比直接反演方法

方 圓,張豐麒,李玉鳳

(1.中國(guó)地質(zhì)調(diào)查局發(fā)展研究中心,北京100037;2.中國(guó)石油化工股份有限公司石油勘探開(kāi)發(fā)研究院,北京100083;3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京),北京100083)

近年來(lái),非常規(guī)油氣在能源領(lǐng)域逐漸受到人們的重視。然而,不同于以尋找圈閉為主的常規(guī)油氣勘探,非常規(guī)油氣屬于“連續(xù)聚集型”油氣藏,需要找到富集且易于開(kāi)發(fā)的區(qū)域,即“甜點(diǎn)”區(qū)域[1]。在“甜點(diǎn)”預(yù)測(cè)中,楊氏模量和泊松比的預(yù)測(cè)具有重要意義,低泊松比、高楊氏模量往往意味著頁(yè)巖脆性好。還可以利用泊松比和楊氏模量計(jì)算得到巖石的脆性指數(shù)[2-3],從而評(píng)價(jià)“甜點(diǎn)”,為后續(xù)的水平井部署、水力壓裂提供指導(dǎo)依據(jù)。

疊前地震反演技術(shù)利用疊前道集的AVO信息和測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)提供的先驗(yàn)信息直接提取多種彈性參數(shù)數(shù)據(jù)體(縱波阻抗、橫波阻抗及密度),進(jìn)而結(jié)合彈性參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,間接獲取楊氏模量和泊松比。然而由于彈性參數(shù)轉(zhuǎn)換引入的累計(jì)誤差,使得常規(guī)疊前地震反演技術(shù)預(yù)測(cè)的楊氏模量和泊松比精度不能滿足解釋要求。為此,宗兆云等[4]對(duì)Aki-Richards近似公式進(jìn)行了重新推導(dǎo),建立了關(guān)于角度反射系數(shù)與楊氏模量(Young’s modulus)反射率、泊松比(Poisson’s ratio)反射率及密度(Density)反射率的YPD近似公式,在此基礎(chǔ)上通過(guò)整合貝葉斯線性反演框架,直接從疊前道集中提取楊氏模量和泊松比。

然而,Zoeppritz方程的線性近似公式的使用需要滿足中小入射角、常背景縱橫波速度比以及弱彈性參數(shù)變化率等諸多假設(shè),限制了其在不同地質(zhì)條件下的應(yīng)用,為此許多學(xué)者針對(duì)精確Zoeppritz方程的疊前反演開(kāi)展了研究。李錄明等[5]針對(duì)精確Zoeppritz方程開(kāi)展了廣義線性多波反演研究;魏修成等[6]將Zoeppritz方程表達(dá)為關(guān)于射線參數(shù)和彈性參數(shù)的函數(shù),并提出了基于射線參數(shù)道集的疊前地震反演技術(shù);張豐麒等[7]和FANG等[8]為了進(jìn)一步減少反演參數(shù),將精確Zoeppritz方程改寫(xiě)為關(guān)于上、下地層的縱波速度比、橫波速度比、密度比以及上層縱橫波速度比的函數(shù),然而該方法仍需要假設(shè)常背景縱橫波速度比;張廣智等[9-10]基于精確Zoeppritz方程,結(jié)合貝葉斯理論和馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)算法從后驗(yàn)概率密度函數(shù)中抽取反演的解,該方法屬于隨機(jī)地震反演,需要大量反復(fù)的隨機(jī)模擬才能實(shí)現(xiàn)。ZHOU等[11]基于各向同性假設(shè),將精確Zoeppritz方程轉(zhuǎn)換成含有楊氏模量(Y)、泊松比(P)和密度(ρ)的形式,并進(jìn)行直接反演。宋建國(guó)等[12]推導(dǎo)了比值均方根形式的楊氏模量、泊松比和密度的Zoeppritz方程,并基于廣義線性反演構(gòu)建了楊氏模量和泊松比直接反演方法。

本文以貝葉斯廣義線性反演為框架,將精確Zoeppritz方程重組為關(guān)于楊氏模量、泊松比和密度自然對(duì)數(shù)的函數(shù),即YPD-Zoeppritz方程,結(jié)合一階差分矩陣和三變量柯西分布,構(gòu)建了更為合理的反射系數(shù)稀疏約束項(xiàng),在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步引入低頻軟約束項(xiàng)。最后利用模型試算和實(shí)際數(shù)據(jù)試算,對(duì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 YPD-Zoeppritz方程的推導(dǎo)

為了能夠直接反演出楊氏模量、泊松比,對(duì)Zoeppritz方程進(jìn)行重新推導(dǎo)。考慮到彈性參數(shù)之間存在如下轉(zhuǎn)換關(guān)系:

式中:P表示楊氏模量;Y表示泊松比;ρ表示密度。

公式(1b)可以轉(zhuǎn)化為:

(2)

由公式(2)得到橫波速度vS關(guān)于楊氏模量、泊松比和密度的表達(dá)式:

(3)

將(3)式代入公式(1a),得到縱波速度vP關(guān)于楊氏模量、泊松比和密度的關(guān)系式:

(4)

為了便于后續(xù)表達(dá),將公式(4)和公式(3)分別簡(jiǎn)化為vP=f(Y,P,ρ)和vS=g(Y,P,ρ),并將其代入精確Zoeppritz方程得到其關(guān)于楊氏模量、泊松比和密度的表達(dá)式:

(5)

另外,反演過(guò)程中需要引入正則化項(xiàng)來(lái)提高解的穩(wěn)定性。通常的做法是結(jié)合貝葉斯原理假設(shè)反演參數(shù)服從某一先驗(yàn)分布。先驗(yàn)分布分為高斯分布和長(zhǎng)尾巴分布:高斯分布對(duì)應(yīng)一致性加權(quán)矩陣,其本質(zhì)是阻尼最小二乘解對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)項(xiàng),在參數(shù)提取過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)平滑的結(jié)果,而高分辨率反演需要假設(shè)彈性參數(shù)反射率服從長(zhǎng)尾巴分布,從而構(gòu)建稀疏約束項(xiàng)。

然而由公式(5)可以看出,反演參數(shù)為彈性參數(shù)而非彈性參數(shù)反射率,因此直接假設(shè)其服從長(zhǎng)尾巴分布無(wú)法達(dá)到提高分辨率的目的,這是因?yàn)榉且恢滦约訖?quán)矩陣會(huì)對(duì)偏離背景值較大的彈性參數(shù)產(chǎn)生較小的加權(quán)系數(shù),對(duì)偏離背景值較小的彈性參數(shù)產(chǎn)生較大的加權(quán)系數(shù),這樣就會(huì)凸顯偏離背景值較大的彈性參數(shù),壓制偏離背景值較小的彈性參數(shù),而并不是產(chǎn)生“塊化”的反演效果,因此在理論上也無(wú)法達(dá)到提高分辨率的目的。

彈性參數(shù)(E)與其反射率(ΔE/E)的自然對(duì)數(shù)存在如下關(guān)系:

(6)

利用公式(6)建立彈性參數(shù)反射率與彈性參數(shù)自然對(duì)數(shù)的關(guān)系,再借助一階差分矩陣,間接使得彈性參數(shù)反射率服從長(zhǎng)尾巴分布,進(jìn)而構(gòu)建更為合理的約束項(xiàng)。

(9)

公式(9)建立了角度反射系數(shù)與楊氏模量自然對(duì)數(shù)、泊松比自然對(duì)數(shù)及密度自然對(duì)數(shù)之間的關(guān)系,稱(chēng)之為YPD-Zoeppritz方程。該公式的推導(dǎo)并未引入任何假設(shè)和近似,因此其精度沒(méi)有任何損失。為了更為直觀地展現(xiàn)該公式的精確性,我們利用一個(gè)雙層介質(zhì)模型(表1)進(jìn)行了試算。

表1 雙層介質(zhì)模型參數(shù)

首先利用精確Zoeppritz方程計(jì)算0～90°入射角對(duì)應(yīng)的PP波反射系數(shù)與PS波反射系數(shù),如圖1和圖2中紅色實(shí)線所示,然后將表1中的彈性參數(shù)轉(zhuǎn)換為楊氏模量自然對(duì)數(shù)、泊松比自然對(duì)數(shù)以及密度自然對(duì)數(shù),再利用YPD-Zoeppritz方程計(jì)算0～90°入射角對(duì)應(yīng)的PP波反射系數(shù)與PS波反射系數(shù),如圖1和圖2中藍(lán)圈所示。可以看出,在0～90°范圍內(nèi),YPD-Zoeppritz方程與精確Zoeppritz方程所計(jì)算的反射系數(shù)完全重合。

圖1 利用精確Zoeppritz方程與YPD-Zoeppritz方程計(jì)算的PP波反射系數(shù)對(duì)比

圖2 利用精確Zoeppritz方程與YPD-Zoeppritz方程計(jì)算的PS波反射系數(shù)對(duì)比

2 貝葉斯廣義線性反演

公式(9)建立了從楊氏模量、泊松比和密度到角度反射系數(shù)的正演過(guò)程,由于該方程是關(guān)于這3個(gè)彈性參數(shù)的非線性方程,通常利用模擬退火、MCMC等全局尋優(yōu)算法進(jìn)行反演,但是由于該類(lèi)尋優(yōu)算法需要反復(fù)模擬,計(jì)算量較大,并且反演結(jié)果的高頻成分具有一定的隨機(jī)性,造成單一逐道反演模式下其橫向連續(xù)性較差(隨機(jī)反演的橫向連續(xù)性需要進(jìn)一步結(jié)合空間約束或水平變差等地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)加以改善,常規(guī)的逐道反演并不能保證其橫向連續(xù)性)等原因,并未得到大規(guī)模應(yīng)用。針對(duì)非線性反演問(wèn)題,還可以借助于廣義線性反演的思想,利用迭代的思路逐步獲得合理的反演結(jié)果。

(10)

(11)

式中:W(θ)表示角度子波褶積矩陣;RPP(θ)表示PP波角度反射系數(shù),可由YPD-Zoeppritz方程正演得到。將公式(11)代入公式(10)中,得:

(12)

由于角度子波為常向量,并不隨楊氏模量、泊松比和密度的變化而變化,因此可以將子波褶積矩陣移到偏導(dǎo)項(xiàng)外面:

(13)

式中:Δd(θ)表示地震數(shù)據(jù)的殘差向量。如要得到反演參數(shù)m的更新量,至少需要聯(lián)立3個(gè)角度進(jìn)行求解:

(14)

將其表示為矩陣形式:

(15)

(16)

(17)

通過(guò)給定初始解m0,利用(17)式反復(fù)修正反演參數(shù),直至獲取合理準(zhǔn)確的解。然而由于子波帶限、角度反射系數(shù)向彈性參數(shù)分解過(guò)程的病態(tài)性等原因,造成Jacobian矩陣G|m0的奇異性,進(jìn)而導(dǎo)致反演解的不穩(wěn)定和非唯一。這一問(wèn)題的解決,可以借助貝葉斯原理,通過(guò)假設(shè)反演參數(shù)服從某一先驗(yàn)分布,進(jìn)而引入反演的正則化項(xiàng),有效降低廣義線性反演的不適定性。通常反演參數(shù)m的先驗(yàn)分布利用測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)獲取,但是反演參數(shù)的更新量Δm的先驗(yàn)分布難以獲取,因此需要將公式(17)轉(zhuǎn)化為以m為待求參數(shù)的形式,并通過(guò)在公式(17)左右兩邊加上G|m0m0的方式加以解決:

(18)

其中,H=Δd+G|m0m0。

貝葉斯反演通過(guò)引入反演參數(shù)的先驗(yàn)約束,可以有效減少解空間的搜索范圍,提高解的穩(wěn)定性和合理性。利用極大化反演參數(shù)后驗(yàn)概率密度函數(shù)得到相應(yīng)的反演目標(biāo)函數(shù),反演參數(shù)的先驗(yàn)分布等價(jià)反演目標(biāo)函數(shù)的正則化項(xiàng),因此能夠降低反演問(wèn)題的不適定性。將廣義線性反演的迭代思想與貝葉斯反演相結(jié)合,引入先驗(yàn)分布,可以有效提高廣義線性反演在迭代過(guò)程中的穩(wěn)定性。

通常假設(shè)彈性參數(shù)反射率服從長(zhǎng)尾巴分布,可以產(chǎn)生稀疏脈沖反演的效果。在有地質(zhì)背景的情況下,同一時(shí)間采樣點(diǎn)的楊氏模量反射率、泊松比反射率以及密度反射率之間存在一定的相關(guān)性,因此三變量柯西分布更適合作為其先驗(yàn)分布。N層介質(zhì)對(duì)應(yīng)N-1個(gè)分界面,其彈性參數(shù)反射率的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

(19)

(20)

其中,D為1階差分矩陣。

(21)

因此(19)式可以變換為以彈性參數(shù)自然對(duì)數(shù)向量m為自變量的函數(shù):

(22)

式中:ψ表示描述彈性參數(shù)反射率之間相關(guān)性的尺度矩陣,可以利用最大似然估計(jì)從測(cè)井曲線中獲取;ALEMIE等[13]給出了φi的具體表達(dá)式。

通過(guò)假設(shè)噪聲服從多變量高斯分布來(lái)表征和描述合成地震數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)地震數(shù)據(jù)之間的相似性,稱(chēng)之為似然函數(shù):

(23)

根據(jù)貝葉斯公式,反演參數(shù)的后驗(yàn)概率可以表示為:

(24)

由于p(H)只與實(shí)測(cè)地震數(shù)據(jù)d和初始模型m0有關(guān),并且這2種數(shù)據(jù)均為已知,因此p(H)是一常數(shù),不影響后驗(yàn)概率密度函數(shù)的形狀。因此:

(25)

將公式(22)和公式(23)代入公式(25),并忽略其中的常系數(shù),可得:

(26)

貝葉斯反演通過(guò)求取后驗(yàn)概率密度的極大值來(lái)獲取反演的解,這一過(guò)程可以通過(guò)對(duì)公式(26)左右兩邊取對(duì)數(shù)后再取負(fù)號(hào),轉(zhuǎn)為極小化反演目標(biāo)函數(shù),即max[p(m|H)]?min[obj(m)],亦即:

(27)

公式(27)右邊第一項(xiàng)表示地震數(shù)據(jù)的擬合差,第二項(xiàng)表示反射系數(shù)的稀疏約束項(xiàng),由于地震數(shù)據(jù)中缺失0～10Hz的低頻分量,直接利用公式(27)無(wú)法得到全頻帶的反演結(jié)果,因此需要進(jìn)一步引入低頻軟約束項(xiàng),使反演結(jié)果的低頻成分在L2范數(shù)準(zhǔn)則下逼近測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的低頻趨勢(shì),從而使反演結(jié)果擁有正確的低頻信息。引入低頻軟約束項(xiàng)后的反演目標(biāo)函數(shù)為:

(28)

其中,CLFC(m)表示低頻軟約束項(xiàng),表達(dá)式為:

(29)

為了獲取目標(biāo)函數(shù)極小值,需要對(duì)公式(28)左右兩邊求偏導(dǎo)并令其為0:

(30)

其中,Q表示非一致性加權(quán)矩陣,其表達(dá)式為:

(31)

式中:[*]xy表示矩陣*第x行、第y列元素。

針對(duì)(30)式的求解,可以利用迭代法進(jìn)行:

2) 根據(jù)附錄A,計(jì)算低通濾波算子LY,LP,Lρ;

4) 根據(jù)公式(30),利用Cholesky分解和三角矩陣分解計(jì)算反演參數(shù)m;

5) 令下一次迭代的初始模型為更新后的反演參數(shù)m→m0;

6) 重復(fù)步驟3)～步驟5),直到預(yù)定的收斂閾值或者迭代次數(shù);

7) 對(duì)最終的反演結(jié)果取指數(shù),獲取彈性參數(shù)。

3 模型試算

為了檢驗(yàn)本方法的有效性和精度,進(jìn)行如下模型試算。基于圖3給出的彈性參數(shù)模型,不考慮多次波、透射波以及繞射波的存在,只考慮一次反射的情況下,利用精確Zoeppritz方程分別計(jì)算入射角分別為10°、20°以及30°時(shí)的PP波反射系數(shù),然后分別與主頻為30Hz的雷克子波進(jìn)行褶積,得到圖4a所示的合成角道集。圖4b為含隨機(jī)噪聲合成角道集(信噪比為4)。

首先利用本文方法進(jìn)行反演。將彈性參數(shù)轉(zhuǎn)化為楊氏模量和泊松比,再進(jìn)行10Hz的低通濾波獲取初始模型。并令其反射系數(shù)稀疏約束權(quán)重為0.05,楊氏模量、泊松比以及密度的低頻軟約束項(xiàng)權(quán)重均為1,迭代次數(shù)為10次,其反演結(jié)果如圖5 所示。可以看出,反演結(jié)果(紅線)與實(shí)測(cè)曲線(黑線)吻合度較好,特別是楊氏模量和泊松比兩項(xiàng),密度反演結(jié)果精度稍低,但仍優(yōu)于常規(guī)AVO反演精度。在三變量柯西分布約束下,反演結(jié)果呈現(xiàn)明顯的“塊化”效果。圖6 給出了對(duì)應(yīng)的彈性參數(shù)反射率,可以看出反演的反射率具有明顯的尖脈沖特性,子波的旁瓣效應(yīng)得到了明顯壓制,因此有利于降低后續(xù)解釋的不確定性。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法的精度,給出了基于常規(guī)AVO三參數(shù)反演間接獲取的楊氏模量和泊松比反演結(jié)果(圖7),由圖7可以看出,由于彈性參數(shù)轉(zhuǎn)換帶來(lái)的累計(jì)誤差以及近似公式引入的正演誤差等,造成反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的吻合度較差。

圖3 彈性參數(shù)模型

圖4 合成角道集(a)和信噪比為4的含噪聲合成角道集(b)

圖5 基于YPD-Zoeppritz方程的直接反演結(jié)果(黑線為實(shí)測(cè)曲線,紅線為反演結(jié)果)

圖6 彈性參數(shù)反射率(黑線為實(shí)測(cè)曲線,紅線為反演結(jié)果)

為了檢驗(yàn)本文方法的抗噪性,對(duì)圖4b所示合成角道集進(jìn)行反演計(jì)算,在相同的初始模型、子波、稀疏約束權(quán)重、低頻軟約束權(quán)重以及迭代次數(shù)下,反演結(jié)果如圖8所示。可以看出,由于隨機(jī)噪聲的影響,弱反射區(qū)域的反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)吻合度較差,但是整體上吻合度較好,因此可以證明本文方法具有較強(qiáng)的抗噪性。

圖7 基于常規(guī)AVO三參數(shù)反演的間接轉(zhuǎn)換結(jié)果(黑線為實(shí)測(cè)曲線,紅線為反演結(jié)果)

圖8 含噪聲合成角道集的反演結(jié)果(黑線為實(shí)測(cè)曲線,紅線為反演結(jié)果)

4 實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用

實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)內(nèi)某非常規(guī)油氣勘探工區(qū),工區(qū)內(nèi)巖性主要為致密砂巖,為了研究本工區(qū)脆性指數(shù)的空間展布,需要利用疊前彈性參數(shù)反演獲取楊氏模量和泊松比數(shù)據(jù)體。經(jīng)過(guò)前期的線性噪聲壓制、多道統(tǒng)計(jì)反褶積、疊加速度拾取與多次波壓制交替進(jìn)行、真振幅疊前時(shí)間偏移、偏移距域向角度域道集的轉(zhuǎn)換以及角度部分疊加等處理流程,分別形成了0～12°,10°～22°以及20°～32°疊加的3個(gè)角度部分疊加數(shù)據(jù)體,圖9給出了對(duì)應(yīng)的全角度疊加剖面。在對(duì)工區(qū)內(nèi)測(cè)井曲線進(jìn)行去除野值、環(huán)境校正以及一致性校正,再結(jié)合井震標(biāo)定確定深時(shí)關(guān)系后,分別提取了對(duì)應(yīng)的角度子波。在層位和沉積模式的雙重控制下,對(duì)時(shí)間域測(cè)井曲線橫向插值并進(jìn)行低通濾波,作為反演的初始模型,濾波參數(shù)在頻譜分析后確定,本次濾波參數(shù)定為10Hz。設(shè)置反演的稀疏約束權(quán)重為0.5、低頻軟約束權(quán)重為1、迭代次數(shù)為5次,圖10、圖11以及圖12分別給出了對(duì)應(yīng)的楊氏模量、泊松比、密度反演剖面以及相應(yīng)的未做低頻軟約束的反演結(jié)果,可以明顯看出低頻軟約束項(xiàng)提高了剖面的連續(xù)性。整體看,反演剖面具有明顯的層次感,在低頻軟約束項(xiàng)的約束下,穩(wěn)定的低頻成分使得反演剖面具有較好的橫向連續(xù)性,反演剖面細(xì)節(jié)豐富,特別是泊松比反演剖面,可以展現(xiàn)儲(chǔ)層微弱的橫向變化。B井作為驗(yàn)證井,未參與到反演當(dāng)中,將其楊氏模量曲線、泊松比曲線以及密度曲線分別進(jìn)行250Hz Backus濾波后,再進(jìn)行深時(shí)轉(zhuǎn)換,分別疊置于對(duì)應(yīng)的反演剖面上(如圖10、圖11、圖12所示),可以看出反演結(jié)果與實(shí)測(cè)井曲線有較好的吻合度,驗(yàn)證了本文方法在實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用中的有效性和精度。

圖9 實(shí)際疊后地震數(shù)據(jù)

圖10 楊氏模量反演剖面與經(jīng)250Hz Backus濾波后的楊氏模量井曲線疊合顯示a 本文方法反演結(jié)果; b 未做低頻軟約束的反演結(jié)果

圖11 泊松比反演剖面與經(jīng)250Hz Backus濾波后的泊松比井曲線疊合顯示a 本文方法反演結(jié)果; b 未做低頻軟約束的反演結(jié)果

圖12 密度反演剖面與經(jīng)250Hz Backus濾波后的密度井曲線疊合顯示a 本文方法反演結(jié)果; b 未做低頻軟約束的反演結(jié)果

5 結(jié)論

本文從精確Zoeppritz方程出發(fā),直接建立角度反射系數(shù)與楊氏模量、泊松比和密度的關(guān)系,在推導(dǎo)過(guò)程中,并未引入任何假設(shè),因此YPD-Zoeppritz方程是全精度的,適合于大角度下的疊前地震反演。

廣義線性反演利用迭代算法可以獲取高精度的反演結(jié)果,但通常Jacobian條件數(shù)巨大,造成廣義線性反演的不適定性比常規(guī)線性反演高,通過(guò)結(jié)合貝葉斯理論引入模型參數(shù)的先驗(yàn)分布,可以有效縮小反演尋優(yōu)的搜索范圍,正則化項(xiàng)的引入可以有效提高廣義線性反演的適定性。

將一階差分矩陣與三變量柯西分布相結(jié)合,在以彈性參數(shù)的自然對(duì)數(shù)為反演參數(shù)的情況下,可以完美構(gòu)建反射系數(shù)稀疏約束項(xiàng),進(jìn)而在迭代過(guò)程中,逐步壓縮子波旁瓣,使得反演結(jié)果呈現(xiàn)明顯的“塊化”效果,降低子波旁瓣對(duì)反演結(jié)果的影響。

模型試算和實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果表明本文方法具有較高的精度和穩(wěn)定性,具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

附錄A

低頻軟約束中的低通濾波矩陣L的具體表達(dá)式為:

(A1)

(A1)式中E矩陣起到將模型參數(shù)進(jìn)行3倍延長(zhǎng)的作用。考慮到反演目的層段時(shí)窗過(guò)短會(huì)引起頻域的分辨率不夠,或者由于數(shù)據(jù)兩端的截?cái)嘈?yīng)會(huì)引起低通濾波結(jié)果不準(zhǔn)確,通過(guò)該矩陣可以使得在數(shù)據(jù)兩端各以原數(shù)據(jù)的倒序進(jìn)行延長(zhǎng),E矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(A2)

F和F-1分別為離散傅里葉(DFT)正、反變換矩陣,起到將數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉正、反變換的作用。

(A3)式和(A4)式中的W=cos[-(2π/N)]+jsin[-(2π/N)]。而(A1)式中的Λ矩陣為由漢寧窗函數(shù)組成的對(duì)角矩陣。