基于Kriging模型和NSGA-II的航空發(fā)動機管路卡箍布局優(yōu)化

柳強，焦國帥

（遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001）

管路系統(tǒng)作為能量傳遞和介質傳輸?shù)闹匾ǖ涝诟鞣N復雜裝備中起著重要的作用，對機械裝備的安全性、可靠性及成本有重要影響。在機械設備工作過程中經(jīng)常會因為機械振動或介質流動導致管路系統(tǒng)的振動故障[1]，進而影響設備的正常運轉。一臺典型的航空發(fā)動機通常包含上百根管路，這些管路的支撐部件即卡箍的布局規(guī)劃對管路振動性能有重要影響，因此針對管路卡箍布局規(guī)劃展開研究對降低管路系統(tǒng)故障、提高機械設備工作性能等具有重要意義。

在管路卡箍布局優(yōu)化方面，多年來國內外學者取得了一定的研究成果。顧文彬[2]對直管結構在自由振動、瞬態(tài)響應和隨機響應下支撐的最優(yōu)位置優(yōu)化進行了研究，結果表明不同激勵形式下直管卡箍的最優(yōu)位置不同。Zhu等[3]提出通過采用偽密度技術將離散問題轉化為連續(xù)體，建立了支撐布局的拓撲優(yōu)化方法。尹澤勇等[4]對卡箍剛度在發(fā)動機管路系統(tǒng)振動特性中的影響進行了研究，分別對單管和雙管卡箍進行了有限元分析計算，并進行了實驗測定。Wang等[5-6]分別以基頻最大化和變形最小化為優(yōu)化目標，采用啟發(fā)式優(yōu)化算法對矩形板結構和直梁結構的支撐位置進行了優(yōu)化設計。智友海等[7]基于疲勞累積損傷的破壞準則，通過 Ansys 軟件中所提供的蒙特卡羅可靠性分析方法，對管路在隨機振動激勵下系統(tǒng)的可靠性進行了優(yōu)化分析，得到了滿足要求的可靠性優(yōu)化設計方案。劉偉等[8]對發(fā)動機管路的卡箍位置進行了動力靈敏度分析，結合有限元分析法分別以結構基頻最大化、隨機振動響應最小化為目標，對管路系統(tǒng)的卡箍位置進行了優(yōu)化設計，結果表明：某些卡箍位置信息對管路的性能影響更明顯。李鑫等[9]針對飛機液壓管路的卡箍布局問題，建立了管路的數(shù)學模型并利用傳遞矩陣法得到了頻域特征阻抗的變化規(guī)律，以激振源的固有頻率特征阻抗的加權和為單一目標函數(shù)，運用粒子群算法對管路卡箍位置進行了優(yōu)化，取得了較好的效果。另外，近年來一些學者開始探索對管路卡箍多目標布局優(yōu)化問題進行研究，例如：劉周[10]以調頻、調幅、總軸向應力和卡箍的重量為優(yōu)化目標，應用改進的多目標遺傳算法對發(fā)動機管路卡箍布局進行了優(yōu)化設計，但該方法的不足是算法在每次進化時都需要運用有限元分析程序計算每個個體的適應值，計算代價大且比較耗時。

在現(xiàn)有的管路卡箍布局方法中，主要存在如下問題：1) 多數(shù)文獻只考慮單個優(yōu)化目標或將多個優(yōu)化目標采用線性加權的方式將其轉化為單目標，并未在本質上解決管路卡箍布局問題的多目標優(yōu)化屬性；2) 優(yōu)化效率較低，在進化過程中需要反復應用CAE分析程序對適應值函數(shù)進行評價；3) 雖然已有較多文獻對管路振動性能進行了深入分析，但管路卡箍布局規(guī)劃方面的研究還相對較少。本文從多目標優(yōu)化的角度出發(fā)，提出一種基于Kriging模型和NSGA-II算法的航空發(fā)動機管路卡箍規(guī)劃方法。該方法以管路系統(tǒng)的一階和二階固有頻率為優(yōu)化目標，分別對其建立Kriging代理模型，并應用NSGA-II算法對發(fā)動機管路卡箍布局的Pareto解集(非支配解集)進行求解，以避免共振并提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在算法進化過程中，應用所建多代理模型代替CAE分析程序對適應值函數(shù)進行評價。

1 總體設計

對于發(fā)動機管路設計而言，卡箍位置的變化對管路的動力學特性有著很大影響。因此在管路卡箍布局的優(yōu)化設計中，主要目標是通過對卡箍位置的優(yōu)化設計來減少管路振動并降低能量損失，從而提高管路的動力學特性，保證管路各方面性能達到最優(yōu)。本文的總體設計思路如圖1所示。

圖1 總體設計Fig.1 Overall design

總體設計主要步驟如下：

1) 建立UG模型，采用拉丁超立方抽樣產(chǎn)生管路卡箍位置的試驗樣本。

2) 應用UG高級仿真模塊的有限元分析計算方法，對樣本點進行模態(tài)分析，得到樣本響應值。

3) 根據(jù)樣本及樣本響應值分別建立Kriging近似模型并進行模型精度檢驗。

4) 基于Kriging代理模型和NSGA-II算法對管路卡箍位置進行多目標優(yōu)化，最后進行驗證、輸出計算結果。

2 試驗設計及Kriging代理模型

2.1 試驗設計

試驗設計是數(shù)理統(tǒng)計學的應用方法之一，它的主要內容是討論如何合理地安排試驗、取得數(shù)據(jù)，然后進行綜合的科學分析，從而達到盡快獲得最優(yōu)方案的目的。拉丁超立方抽樣[11]是一種多維分層抽樣方法，其可隨機地產(chǎn)生盡量分布均勻的樣本點，同時樣本數(shù)量可以設定，因此在試驗設計領域應用廣泛[12]。

本文采用拉丁超立方抽樣產(chǎn)生管路卡箍位置的試驗樣本。由于管路卡箍位置分布的變化性，因此將卡箍位置用每個卡箍距離管路右端點的長度來表示。假設采用雙卡箍布局，卡箍位置距離管路右端點的長度分別為 l1、 l2，所分析的發(fā)動機管路模型長度為 L ，樣本數(shù)量 M =100。其中，li∈(0,L)，i= 1、2， L =213。拉丁超立方抽樣產(chǎn)生的試驗樣本如圖2所示。

圖2 試驗樣本Fig.2 Test sample

考慮到發(fā)動機管路設計領域均采用UG軟件進行建模的行業(yè)慣例，為提高系統(tǒng)集成化程度，本文采用UG高級仿真功能進行CAE分析。此外，不同于一般的直管，本文所用的發(fā)動機曲面管路是基于B樣條曲線形成的彎管，如圖3(a)所示，其彎曲程度取決于發(fā)動機機匣表面的彎曲程度。根據(jù)管路卡箍位置的試驗樣本值建立UG模型,管路材料為Alloy steel，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.28，密度為7 700 kg/m3。然后對所建模型進行模態(tài)分析，如圖3所示，具體步驟如下：

1) 進行網(wǎng)格劃分。選用十節(jié)點四面體單元，單元大小為1.5 mm，整個管路使用了35 470個節(jié)點, 19 976個單元，結果如圖3(b)所示。

2) 添加約束。在管路兩端添加固定約束，在卡箍位置處添加圓柱形約束(暫不考慮卡箍的剛度)，固定其徑向和軸向增長，如圖3(d)所示。

3) 進行求解，記錄數(shù)據(jù)。使用UG軟件高級仿真的NX NASTRAN求解器，解算方案類型為SOL 103 Real Eigenvalues。求解完成后，記錄管路的一階固有頻率和二階固有頻率,求解結果如圖3(c)所示。

圖3 模態(tài)分析示意Fig.3 Schematic diagram of modal analysis

2.2 Kriging模型的基本原理

近似模型是指根據(jù)樣本點及其響應值構造的計算結果與仿真分析或實際試驗結果相近的數(shù)學模型。它的主要優(yōu)點[13-14]是效率高且計算代價小。作為一種常用的近似模型，Kriging模型最早由Sacks[15]應用于計算機試驗設計與分析領域，其基本原理[16]可以簡要表述如下：設近似函數(shù)為y(x)，系統(tǒng)的響應值與自變量之間的函數(shù)可以寫成：

式中： F (β,x)為回歸模型，相當于對全部設計變量的全局模擬，β為回歸參數(shù)； Z (x)為均值為0、方差為 σ2的正態(tài)隨機過程，體現(xiàn)了響應的隨機性，相當于局部背離。關于Kriging模型的進一步介紹詳見文獻[17]。

此外，由于本文為多目標優(yōu)化問題，因此需要分別對管路一階固有頻率和二階固有頻率建立Kriging模型，并在優(yōu)化計算過程中，應用所建立的Kriging模型代替CAE分析程序對適應值函數(shù)進行評價，從而提高優(yōu)化效率。

3 基于Kriging模型和NSGA-II的管路卡箍布局優(yōu)化

3.1 NSGA-II簡介

NSGA-II是Deb等[18]在2002年對其算法NSGA的改進算法，它是目前多目標優(yōu)化領域應用最廣泛的算法之一。相對于NSGA而言，NSGA-II的主要特點包括：1) 使用一種新的快速非支配解排序方法，有效降低了計算的復雜度。2) 應用擁擠度的概念，克服了NSGA中需要人為指定共享參數(shù)的缺陷，從而使得個體能夠擴展到整個Pareto前沿面并盡可能的均勻分布。3) 采用精英保留機制，不但擴大了采樣空間，而且可以保證優(yōu)良個體在進化過程中不會丟失，有效提高了種群的進化效率。

3.2 優(yōu)化目標及編碼設計

3.2.1 優(yōu)化目標

為避免管路在工作過程中與外部激勵發(fā)生共振，在設計時要求卡箍安裝后的管路系統(tǒng)工作時的固有頻率在共振范圍外，一般要求在發(fā)動機轉速的20%以外。此外，在優(yōu)化算法的設計中，約束條件和優(yōu)化目標是可以相互轉化的。因此本文將管路系統(tǒng)的一階和二階固有頻率與發(fā)動機轉動頻率的差值分別作為優(yōu)化目標：

式中： w1和 w2分別為管路系統(tǒng)的一階和二階固有頻率， Δ w1和 Δ w2分別為 管 路系統(tǒng) 的 一階和 二 階固有頻率分別與發(fā)動機轉動頻率的差值， we為發(fā)動機轉動頻率。此處的管路系統(tǒng)一階固有頻率 w1和二階固有頻率 w2可以通過有限元分析計算得到，本文為了提高優(yōu)化效率，在進化計算過程中，將w1和 w2分別用已建立好的Kriging模型代替。

3.2.2 編碼方式

卡箍位置通常可用每個卡箍布置點距離管路右端點的長度來表示，如文獻[8, 10]均采用了該編碼方式。由于本文研究對象為發(fā)動機機匣表面彎管，管路中心線是一條曲線。以2.1節(jié)中所述的雙卡箍為例，卡箍距離管路右端點的曲線長度可由曲線積分求得，如式(3)、(4)所示，也可通過UG軟件中的求弧長的工具來求得，如圖4所示。

式 中 ： l1和 l2分 別 為 曲 線 弧 Γ1和 Γ2的 長 度 。 因 此 ，NSGA-II種群中的第 i個染色體(個體)可用距離向量 {li1,li2,···,lin}來描述，則某代種群可以表示為

式中： lin表 示種群中第i個 個體中第 n個卡箍距離管路右端點的長度， i =1,2,···,M ， M 為 種群大小，n為卡箍的數(shù)量。

圖4 卡箍布置點距離管路右端點的曲線長度Fig.4 The curve length of clamp placement distance line right endpoint

3.3 算法流程

管路卡箍布局仿真實驗通過MATLAB與UG聯(lián)合實現(xiàn)，其中，UG實現(xiàn)三維建模及有限元分析計算，MATLAB建立Kriging模型和實現(xiàn)算法尋優(yōu)。其總體流程如圖5所示。

圖5 算法流程圖Fig.5 Algorithm flow chart

4 仿真實驗及結果分析

為了驗證所提方法的可行性，對所提方法進行了發(fā)動機管路卡箍多目標優(yōu)化布局仿真實驗。測試計算機硬件環(huán)境：CPU為 3.20 GHz Intel(R)core(TM) i5-4460，內存4 GB。仿真軟件為MATLAB R2010a和 UGNX10.0。

4.1 卡箍布局仿真

采用雙卡箍布局，管路長度為 L =213，管路其他參數(shù)如2.1節(jié)所述。NSGA-II算法參數(shù)設置如下：種群大小為 N =100，迭代次數(shù)為 T =100，交叉概率為 Pc= 0.9，變異概率 Pm=0.1。最后求得的管路卡箍布局的Pareto解集分布的前沿面如圖6所示，對應的卡箍位置距離管路右端點的長度 l1和 l2的分布如圖7所示。所求得的Pareto解集中一共包含60個解，由于篇幅所限，表1只給出Pareto解集中部分典型個體的信息，圖8、圖9和圖10分別為根據(jù)表1中的個體信息運用有限元分析程序計算得到的管路一階和二階振型圖。

圖6 發(fā)動機管路卡箍布局的Pareto解集前沿面Fig.6 Pareto set front surface of engine pipe clamp layout

圖7 l1 和 l2 分 布 圖Fig.7 The distribution map of l1 andl2

表1 發(fā)動機管路卡箍布局Pareto解集部分典型個體信息Table1 Typical individual information of the Pareto solution set of the engine pipe clamp layout

圖8 非支配解1Fig.8 Non-dominated solution 1

圖9 非支配解2Fig.9 Non-dominated solution 2

圖10 非支配解3Fig.10 Non-dominated solution 3

4.2 結果討論

由圖7可知，所得到的最優(yōu)卡箍位置分布在如表2所示的3個區(qū)間內。最終結果表明：在發(fā)動機管路卡箍多目標布局優(yōu)化中，得到的一組Pareto解集不僅使管路系統(tǒng)工作時的固有頻率在發(fā)動機轉速的20%以外，而且盡可能的遠離共振范圍，從而提高了管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時設計者可以根據(jù)需要選取合適的卡箍布局方案。

表2 卡箍位置的最優(yōu)區(qū)間Table2 Optimal range of clamp position

計算完成后，對結算結果進行誤差分析，分析結果如表3所示。由Kriging模型所得到的結果和由CAE分析程序所計算得到的結果相比，一階固有頻率 w1的 相對誤差 e1分別為0.82%、1.99%、4.07%，二階固有頻率 w2的相對誤差 e2分別為1.15%、3.94%和2.86%，說明所建立的Kriging模型精度較高，可以滿足設計要求。

表3 計算結果的誤差分析Table3 Error analysis of calculation results

表3中， we發(fā) 動機轉動頻率， w1和 w2分別表示Kriging模型輸出的管路一階和二階固有頻率，w1′和 w2′分別表示由CAE分析程序計算得到的管路一階和二階固有頻率，e1和 e2分別表示兩者的相對誤差。

進一步，建立Kriging模型的樣本數(shù)量為100，對管路進行一次模態(tài)分析和有限元計算所需時間大約為1 min，建立管路卡箍布局的Kriging模型需要約100 min。NSGA-II算法種群大小為100，迭代次數(shù)為100，基于Kriging模型的NSGA-II計算時間僅需0.6 min，因此基于Kriging模型和NSGA-II的優(yōu)化方案總計耗時約100.6 min。若在NSGA-II進化時對每個個體都使用有限元分析計算出個體的適應值，則需要耗時 (1 00×100)×1 min=10 000 min，計算代價非常大。可見，基于Kriging模型和NSGA-II的優(yōu)化方法可以顯著提高優(yōu)化效率。

5 結束語

1) 本文提出了一種基于Kriging模型和NSGA-II算法的航空發(fā)動機管路卡箍多目標布局優(yōu)化方法，以管路一階固有頻率和二階固有頻率為優(yōu)化目標，應用NSGA-II對管路卡箍位置進行布局規(guī)劃以避免共振，提高管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2) 通過建立Kriging代理模型，避免了在優(yōu)化過程中反復使用CAE分析程序對適應值函數(shù)進行評價，因此顯著提高了優(yōu)化效率。

3) 與傳統(tǒng)的管路卡箍布局方法相比，本文所提方法可以得到一組非支配解集，設計人員可以根據(jù)工程經(jīng)驗選擇適當?shù)墓苈房ü坎季址桨浮?/p>

4) 所提方法具有很好的通用性，既適用于發(fā)動機管路卡箍布局，也適用于其他域的管路支撐部件布局問題，所用CAE軟件可以根據(jù)行業(yè)特點選擇 Ansys、Cosmos、Pro/ENGINEER等。