基于牽制控制的異質多智能體系統的群一致性研究

陳世明，邱昀，黃躍，江冀海

（華東交通大學 電氣與自動化工程學院，江西 南昌 330013）

近年來，多智能體系統的一致性在生物系統、機器人編隊、傳感器網絡、無人機編隊、水下驅動裝置和群決策等問題中都具有潛在的應用，所以吸引了從物理、數學、工程、生物學和社會學等各個領域的研究人員的廣泛關注。現有的多智能體系統的一致性問題的研究成果大多建立在同質多智能體的基礎上，即所有的多智能體都具有相同的動力學行為。然而，在實際中，因為外部的影響或交互的限制需要具有不同動態行為的多智能體完成一個共同的目標。因此，異質多智能體系統的一致性問題的研究具有更加重要的現實意義。

最近，異質多智能體的一致性問題得到了越來越多的關注。現有的研究異質多智能體系統的一致性主要考慮的是一階和二階結構的結合，而文獻[1]中針對一階智能體、二階智能體和EL智能體組成的異質多智能體系統中分別對EL智能體參數確定和不確定情況下的一致性進行了研究。在協調控制中，根據發生的變化每個群體中的智能體必須達成一致。但是，由于環境、情形、合作的任務或者是時間的變化可能導致一致的狀態不同。譬如對深陷火災的多名人員進行搜救需要多智能體系統進行分工配合完成多個目標任務，因此，一個關鍵的問題就是設計合適的協議，使網絡中的智能體達成多個共識狀態。這就是多智能體系統的群一致性問題，關于系統中包含相同動力學特性智能體的群一致性問題取得了優秀的成果[2-6]，文獻[5-6]提出當各個子群滿足入度平衡這個前提才能實現一階智能體系統的群一致性，即允許拓撲結構中節點之間權重存在負值的情況，但是這個條件過于苛刻。近年來，異質多智能體系統的群一致性也取得了一定的進展。文獻[7]中研究了在固定拓撲下的異質多智能體系統的群一致性；文獻[8]中基于圖論、矩陣理論和動力學理論研究了異質多智能體系統的群一致性問題，并且推廣到了有向和切換拓撲中。文獻[9]中考慮了部分的一階智能體具有輸入飽和，基于牽制控制提出了具有輸入飽和的異質多智能體系統的群一致性；文獻[10]中研究了具有輸入延時的異質多智能體系統的動態分組一致性；文獻[11]中利用自適應控制對不確定非線性動態結構進行線性化處理，利用牽制控制實現了多智能體系統的群一致性。

以上主要是研究線性的異質多智能體系統或者是具有相同非線性動態結構的群一致性，但是對于包含線性和非線性智能體組成的多智能體系統的群一致性卻研究甚少，設計合適的控制協議實現包含非線性結構的異質多智能體系統的群一致性更具挑戰，本文主要研究由一階智能體、二階智能體和非線性的EL結構智能體組成的異質多智能體系統的群一致性，針對無向的固定的通信拓撲情況，提出了基于牽制控制的群一致性控制協議。

1 預備知識和問題描述

1.1 代數圖論

假設 G =(v,ε,A)是 一個包含 n 個節點的加權無向 拓 撲 圖 ， 其 中 v =([v1,v2,···,vn)表 示 節 點 集 ；ε=v×v 表 示邊集； A =aijn×n是加權鄰接矩陣，如果 eij∈ ε， 則 a(ij＞0 ， 否則， aij=0 ， 并且 aij=aji。如果存在邊 eij=vi,v{j，則說明} 節點 vi可 以從節點 vj中獲得 信 息 。 Ni=vjeji∈ ε 表 示 節 點 vi的 鄰 居 節 點集。節點vi和 vk之 間存在一系列的邊(vi,v2),(vi,v2),···,(vk-1,vk)，則說明兩節點之間存在一條路徑[12]，如果無向拓撲圖中任意兩個節點之間存在一條路徑，則說明無向拓撲圖是連通的。 L =D-A表示拓撲圖的拉普拉斯矩陣，其中 D =diag(d1,d2,···,dn)表示拓撲圖的度矩陣，aij表 示節點i的 度。L=可定義為

式中 i, j=1,2,···,n。

1.2 問題描述

考慮一個具有 n個多智能體的異質多智能體系統，其中包含 l 個一階多智能體、 m 個二階多智能體和 n -m-l個EL智能體。一階結構的多智能體滿足：

式中： xi(t)∈Rn表示智能體的位置向量，ui(t)∈Rn表示第i個智能體的控制輸入。二階結構的多智能體的動力學方程滿足：

式中： i =l+1,l+2,···,m； xi(t)∈ Rn表示智能體的位置向量， vi(t)∈Rn表 示智能體的速度向量，ui(t)∈Rn表示第i個智能體的控制輸入。EL智能體的動力學方程滿足：

式中： i =m+1,m+2,···,n； xi(t)∈ Rq×1、 vi(t)∈ Rq×1和ui(t)∈ Rq×1分 別表示第i個智能體的位置信息、速度 信 息 和 控 制 輸 入 ； Mi(xi) ∈ Rp×q為 慣 性 矩 陣 ；Ci(xi,vi)為柯式力矩陣；EL智能體滿足如下性質[13]。

性質1慣性矩陣 Mi(xi)具有上下界，即

性質2矩陣(x)-2C(x,v)是一個斜對稱iiii矩陣，對于任意給定的向量 r ∈Rp，有：

假定將異質多智能體網絡分成 k (k≥2)群,如果智能體屬于第 t個群，則記 σi=t,xσi是對智能體進行分群的常數，且當 σi=σj時，即表示同一個子群，并且有 xσi=xσj，否則， xσi≠ xσj。

定義1 對于任意給定的初始狀態 xi(0),vi(0)，若異質智能體系統滿足如下條件：

則說明異質多智能體系統實現了 k群一致性。

注1 本文是基于二維空間，所得結果都可以利用克羅內克積(Kronecker product)推廣到 n維空間。

引理1[14]對于定義在 Rn上的動態系統 x˙ =f(x)，其中 f (x)為 連續函數，設 V (x):Rn→R是一階光滑函數，且滿足：

1)當 ‖ x‖→ ∞時 ， V (x)→ ∞；

2)對于任意的{ x ∈Rn,V.(x)≤0。}

定義集合 S =x∈Rn:V.(x)=0， M 是 S中的最大不變集，則對于? x0∈Rn， 當 t → ∞時 ， x (t)趨 于不變集 M 。

2 異質多智能體系統的群一致性控制

根據鄰居個體之間的信息交互和EL動力學結構的性質，設計如下控制協議：

式中： κ ,λ 是 正定對角矩陣,當智能體i為牽制個體，則可以獲得靜態虛擬領導者的狀態信息，則bi=1， 否則( bi=)0。各個群中的靜態虛擬領導者的狀態設為 xσi,0,σi=1,2,···,k ， xσi為該群智能體期望的狀態。

定理1設智能體間的通信拓撲圖是無向連通的，由式(1)～(3)組成的異質多智能體系統在控制協議(7)的作用下可實現群一致性，并且各群中智能體的狀態都能夠趨于期望的狀態。

證明根據控制器(7)，可以將式(1)～(3)改寫為

令ei=xi-xσi,i=1,2,···,n， 則有：

根據式(9)，系統(8)可寫為

根據EL智能體性質1可選擇李雅普諾夫函數如下：

對李雅普諾夫函數進行求導：

根據EL智能體的性質2，可知：

又

由于異質多智能體系統的通信拓撲是無向的， aij=aji，則有：

將式(15)代入式(14)可得：

將式(13)、式(16)代入到式(12)可得：

由引理1，最大不變集 M 滿足：

由式(10)和(18)可得，最大不變集 M 滿足：

顯然有

聯立式(20)和式(21)可得

由式(22)可得最大不變集 M 為

將ei=xi-xσi代入到式(23)，可以知道對于 x (0)、v(0)， 當 t →有：

綜上所述，由式(1)～(3)組成的異質多智能體系統在控制協議(7)的作用下可實現群一致性，并且各個子群的最終狀態趨于該子群虛擬領導者的狀態。

推論1通信拓撲圖是無向連通的，控制協議(7)中不考慮牽制策略的作用下，由(1)～(3)組成的異質多智能體系統也能夠實現群一致性。

證明考慮李雅普諾夫函數：

對李雅普諾夫函數求導化簡后可得˙V=0

同理由引理1可知，當 時，有

由式(27)可得：

式(28)、式(29)相加可得：

由式(27)和式(30)可知，最大不變集 M 可化為

將ei=xi-xσi代入到式(31)中，可以得到：

綜上所述，推論1得證。

注2 所提控制協議中只需滿足無向固定拓撲是連通的條件就能實現異質多智能體系統的群一致性，從而放寬了文獻[5-6]中實現群一致性的條件。

3 數值仿真

通過MATLAB仿真平臺來驗證所提群一致性控制協議的可行性，考慮一個由兩個一階結構的智能體(智能體1、2)、兩個二階結構的智能體(智能體3、4)和兩個EL智能體(智能體5、6)構成的異質多智能體系統，它們的通信拓撲結構圖如圖1所示，將通信拓撲圖分成兩個群體 G1和 G2，每個群體中都包含不同結構的智能體。多智能體的狀態信息 [xi(1)]T,xi=vi=[vi(1)vi(2)]T；控制輸入為ui=[ui(1)ui(2)]T,初始狀態信息為

圖1 異質多智能體系統的通信拓撲圖Fig.1 Conmmunication topology of heterogeneous multiagent systems

在各群中任意選擇智能體為牽制節點，以智能體1、2為例。 G1中的虛擬領導者的狀態信息為(5,0)， G2中的虛擬領導者的狀態信息為 (3 ,0)。在牽制節點的作用下異質多智能體系統的群一致性的仿真結果如圖2所示。

圖2 牽制控制作用下的仿真結果Fig.2 Simulation restults under the effect of pinning control

在同樣的初始條件下，不考慮具有牽制控制的群一致性策略的仿真結果如圖3所示。

圖3 未加牽制控制的仿真結果Fig.3 Simulation results of without pinning control

由圖2(a)和(c)可以看出，群 G1中的智能體1、3和5位置狀態最終都趨于5，群 G2中的智能體2、4和6位置狀態最終都趨于3，從圖2(b)和(d)可以看出，群 G1和 G2中的智能體速度最終都趨于0。說明存在復雜的非線性結構的EL智能體構成的異質多智能體系統在基于牽制控制的控制協議作用下，在同一個群中的智能體的位置狀態趨于同一個狀態值，不同群的智能體的位置狀態趨于不同的狀態值，異質多智能體系統實現了群一致性，并且各群智能體狀態最終收斂到虛擬領導者的狀態，即期望的狀態。由圖3(a)和(c)可以看出，兩個群體趨于不同的狀態，實現了群一致，但相對于具有牽制控制的群一致性仿真結果相比,施加牽制控制的各個子群可以到達先前設定的預先期望狀態，而未施加牽制控制的各個子群體最終的一致平衡狀態不能趨于一個預先期望的狀態。

4 結束語

本文研究了由一階智能體、二階智能體和EL智能體組成的異質多智能體系統的群一致性，為了實現各群中智能體狀態能夠趨于期望的狀態，提出基于牽制控制的分布式控制協議，通過代數圖論、李雅普諾夫和拉塞爾不變集原理證明了該種控制協議的充分條件，通過MATLAB仿真平臺進行數值仿真，各群中智能體的狀態信息趨于虛擬領導者的狀態，即各群期望的狀態信息。實現了由線性智能體和非線性智能體構成的異質多智能體系統的群一致性，從而實現對以往研究線性智能體構成的異質多智能體系統的群一致性的擴展。