圖像傳感器像素化效應對菲涅耳非相干關聯全息分辨率的影響*

潮興兵 潘魯平 王子圣 楊鋒濤 丁劍平?

1) (南京大學物理學院,固體微結構國家重點實驗室,南京 210093)

2) (九江學院理學院,九江 332005)

(2018 年10 月12 日收到; 2019 年1 月2 日收到修改稿)

作為復光場顯微成像的一種新技術,菲涅耳非相干關聯全息術(Fresnel incoherent correlation holography,FINCH)因其非相干光記錄的特點在近年來受到關注. FINCH 作為一種新型非相干全息系統,如何設計光路實現其最佳的分辨率是一個關鍵問題. 然而,針對這個問題的討論,目前已有文獻存在不同的觀點,有關FINCH 最佳分辨率的成像條件仍有待研究. 全息圖有效孔徑大小是決定全息成像系統分辨率的重要因素,在FINCH 系統中,全息記錄距離的變化則會引起全息圖有效孔徑發生變化,全息圖的有效孔徑大小不僅與光路各元件的孔徑有關,還與相干光波相互干涉疊加區域的面積以及圖像傳感器的像素間距等因素有關. 本文基于波動光學理論,結合FINCH 全息圖的波帶結構特征,研究了FINCH 全息圖的有效孔徑. 研究發現數字全息記錄相機的像素化特性是影響FINCH 成像分辨率的決定性因素,并進一步通過數值模擬和光學實驗驗證了理論分析結果: 全息圖記錄距離(Zh)等于空間光調制器加載的衍射透鏡焦距(fd)時,FINCH 系統的再現像將會達到最佳橫向分辨率,且分辨率隨成像距離| Zh ?fd|的增大而降低.

1 引 言

對復雜三維光場信息進行定量提取并進行重構的不懈追求推動全息技術的不斷發展,而高靈敏度和高分辨率數字記錄技術和高性能計算技術的發展正賦予數字全息技術很強的現實可行性和極具潛力的應用前景[1?3]. 近年來在諸多數字全息方案中,Rosen 和Brooker[4]提出的一種非相干數字全息成像系統,即菲涅耳非相干關聯全息術(Fresnel incoherent correlation holography,FINCH)尤其引人關注. 該系統使用空間非相干光照明,通過空間光調制器(spatial light modulator,SLM)上加載的衍射透鏡產生的信號光波(對應于物點的球面波)和參考光波(平面或球面波)之間的自干涉來記錄物體的復光場信息(振幅和相位),然后利用計算機對記錄的數字全息圖進行數字再現,可以重構物光場的三維分布,在三維顯微熒光成像中有重要的應用價值[5?8].

FINCH 系統由于其重要的應用價值而成為研究熱點[9?19],但仍有一個關鍵問題有待進一步澄清,這就是成像系統中最關心的成像分辨率. 雖然研究者們對FINCH 系統的成像分辨率有所研究,但對獲得FINCH 最佳成像條件仍存在不同甚至相互矛盾的觀點[14?17]. 例如,為了實現FINCH 系統的最佳橫向分辨率,全息圖的記錄距離Zh與加載在SLM 上的衍射透鏡的焦距fd需要進行合理的匹配. 有的研究認為,當Zh=0.5fd時,FINCH 系統能夠實現最佳橫向分辨率[14,15]. 另有研究認為,當Zh=2fd時,FINCH 系統能夠實現最佳橫向分辨率[16]. 也有研究指出,當Zh=fd時,FINCH 系統橫向分辨率是最佳的,且在Zh>fd的情況下,該系統的橫向分辨率將受準直透鏡數值孔徑的限制而無明顯變化,這時FINCH 系統類似于傳統光學成像系統的作用[17]. 我們認為這些研究組主要采用光線追蹤方法來討論全息圖有效孔徑的大小,忽略了光波的衍射效應以及圖像傳感器的像素間距大小對全息圖孔徑的影響,并且基于不同幾何光學模型,從而得出了不同的結論.

眾所周知,全息圖有效孔徑大小是決定全息成像系統分辨率的重要因素. FINCH 作為非相干數字全息系統,其利用信號波和參考波之間自干涉作用實現物體空間三維信息的記錄,而且所記錄的全息圖具有菲涅耳波帶片的特征. 對FINCH 系統而言,全息記錄距離的變化則會引起全息圖的有效孔徑發生變化,而且,全息圖的有效孔徑大小不僅與光路各元件的孔徑有關,還與相干光波相互干涉疊加區域的面積以及圖像傳感器的像素間距等因素有關. 我們認為正是因為FINCH 系統中記錄相機的像素化效應未得到充分考慮,影響了分辨率分析結果的正確性,實際上到目前為止還未看到有關FINCH 成像分辨率受限于像素化效應的研究報道. 本文基于波動理論,結合FINCH 的非相干特性和數字全息記錄特點,給出成像分辨率的一般分析. 本文研究結果表明,信號光波和參考光波干涉區域的有效記錄面積是決定FINCH 成像分辨率的關鍵,而有效記錄區域決定于圖像傳感器的像素參數,并隨FINCH 全息圖記錄距離的變化而改變.我們基于波動理論和全息圖的數字記錄特性,導出了FINCH 全息圖有效孔徑的表達式,得出了獲得最佳成像分辨率的全息圖記錄條件,并通過數值模擬和光學實驗驗證了本文的理論分析結果.

2 FINCH 系統的成像分析

FINCH 系統的原理示意圖如圖1 所示,該原理圖主要包括光學記錄和數字再現兩個部分. 在光學記錄過程中,空間非相干的單色光波照明物體后,通過準直透鏡后照射到加載衍射透鏡的SLM 上,SLM 衍射透鏡將入射光波分束為信號光波(即受衍射透鏡調制的衍射分量)和參考光波(未受調制的直流分量). 由于被SLM 分束的信號波和參考波都是來自觀察面上的同一物點,即使在空間非相干光照明下,這兩束光波也具有自干涉的特征,能夠在圖像傳感器CCD 的光敏面上彼此干涉形成全息圖. 數字再現過程是通過計算機數值模擬光學衍射過程,對記錄的全息圖進行數字再現,從而得到物點的再現像. 由于SLM 只對特定偏振方向的光波有調制作用,偏振片P1 和P2 用來控制SLM 上調制和非調制分量間的相對比例,從而控制全息圖上干涉條紋的對比度.

圖1 FINCH 系統原理示意圖(P1 和P2 為偏振片)Fig. 1. Illustration of the principle of FINCH system,where P1 and P2 are polarizers.

從點物出發分析FINCH 系統形成的全息圖,并推導FINCH 系統的再現像,這個再現像實際上就是FINCH 系統的點擴散函數,其分布決定了FINCH 成像的空間分辨率. 假定物點So位于透鏡前焦平面上 (x0,y0) 處,并且假設透鏡孔徑足夠大可忽略其漸暈效應,則來自物點的光波在經過焦距為f0的透鏡后成為傾斜的平面波,照射到SLM 上(xs,ys)處的光場復振幅可表示為

其中A為常數因子,λ為照明光波長. 在SLM 上加載焦距fd的衍射透鏡函數

其中θj為設定的常數相位值. 由于SLM 只對某個偏振方向(為簡單計,此處可假定為x方向)的入射光波有相位調制作用,而不影響對應的垂直方向振動(y方向)的光波. 因此入射光波通過SLM 后被分成兩部分: 一個為受到SLM 調制而向后面距離fd處會聚的球面波,另一個為直接通過的平面波. 球面波可看作為信號光波,平面波視為參考光波,兩者在CCD 平面上形成同軸全息圖. SLM 出射的信號光波和參考光波可分別表示為

兩者傳播Zh距離后,在CCD 記錄面上 (xc,yc) 處的復振幅分別為[20]

其中B和C為常數因子;SSLM代表SLM 的有效孔徑;Ps(xs,ys)和Pc(xc,yc) 分別代表SLM 調制窗口的有效孔徑和CCD 的有效記錄孔徑,即孔徑內P=1 ,孔徑外P=0 . CCD 記 錄的FINCH 全 息圖,實際是信號光波和參考光波同軸傳播疊加形成的干涉圖,其強度可表示為

其中φO和φR分別為信號光波和參考光波的相位因子.

為了消除同軸全息圖的零級像和孿生像,可以利用相移干涉技術來記錄多幅全息圖,在提取出信號光波的復光場分布后,在計算機中運用數值計算獲得衍射場分布,從而數字再現出物體的像. 采用θ1=0,θ2=2π/3和θ3=4π/3 的 三步相移算法,可得下式:

其中*表示復共軛. 由于參考光波是平面波,在(5)式中出現的(xc,yc) 實際上是常數因子. 因此(5)式代表了FINCH 全息圖重建出的物光場函數,再運用數值方法計算出像平面處的衍射場(即圖1 中的數字再現過程),即可再現出物體的像.

運用穩相計算方法對(2)和(3)式進行積分運算推導[21],可進一步將(5)式的物光場函數U(xc,yc)表示為

其中D為常數因子,并且

其中?表示二維卷積運算,而Jinc(r)=J1(r)/r( J1(r) 是第一類一階貝塞爾函數),并且為簡便計,已將其中所有常數因子都歸納于D中. (8)式中的參數Rh為全息圖的有效孔徑的半徑,將在下節中專門討論. (8)式表明再現的像點實際為艾里斑,像斑大小即決定了再現像的橫向分辨率,像斑的坐標位置由δ(x,y) 函數決定的. 不失一般性,本文使用Jinc(r) 第一個暗環表示像斑的半徑ρi,因此

此外像斑的橫向坐標為xi=?Zhx0/f0,yi=?Zhy0/f0,并且再現像的橫向放大率為MT=Zh/f0.

3 全息圖有效孔徑和再現像的橫向分辨率

3.1 全息圖的有效孔徑

在FINCH 系統中,物點信號波和平面參考波自干涉形成的全息圖類似于菲涅耳波帶板的形成過程,即每個物點在CCD 上生成了各自的菲涅耳波帶全息圖. 而(9)式表明,FINCH 再現像斑的大小是由全息圖有效孔徑Rh決定,因此要分析FINCH成像分辨率,關鍵是如何確定FINCH 全息圖的大小(即菲涅耳波帶的有效形成范圍)以及對其施加影響的系統參數.

作為數字全息系統,FINCH 裝置中的數字器件如SLM 和CCD 對菲涅耳波帶的記錄有著重要的影響. 首先考慮SLM 像素化的影響: SLM 調制工作區面積和像素單元大小決定了衍射透鏡的有效孔徑和焦距大小. 根據傅里葉光學采樣理論,衍射透鏡的相位函數的局域頻率最大值不能大于SLM 像素單元大小的倒數. 經過簡單的分析計算可知,衍射透鏡的焦距必須滿足條件其中δs和Ns分別為SLM 像素單元的大小和像素的數量.

下面考慮CCD 的影響. 參考光波和物點光波在CCD 記錄面上形成干涉圖(即菲涅耳波帶),而CCD 像素化尋址方式只能記錄線度大于像素的區域. 根據菲涅耳波帶理論,可以推導出FINCH 系統全息圖上第n級波帶的半徑為[20]

像素特征決定了CCD 無法記錄寬度小于像素大小的波帶,即CCD 所能記錄的最外環(n=N)波帶寬度應為CCD 像素間距δc的大小:RN?RN?1=δc. 由此可得,CCD 所記錄波帶片的最外環級數為其中為第1 級波帶(n=1 )的半徑. 此外,考慮到(6)式中Pc和Ps形成的有效孔徑R=min{Rs,Rc},可推導出CCD 所記錄的全息圖有效孔徑Rh為

(11)式指出全息圖的有效孔徑Rh與成像距離|Zh?fd|以及波長λ成正比關系. 還應該指出Zh=fd時,CCD 位于SLM 加載的衍射透鏡的焦平面上(即物點的像平面),此時記錄的數字全息圖類似于光學像面全息圖[22,23].

3.2 最佳橫向空間分辨率

通過(9)和(11)式,以及橫向放大率關系式MT=Zh/f0,可得到FINCH 系統可分辨的最小像斑的半徑ρo為

由(12)式得到了本文一個重要結論: 記錄距離Zh=fd時,FINCH 系統能夠分辨的像斑最小,因此Zh=fd是FINCH 實現最佳分辨率的記錄條件. 在下文的數值模擬和光學實驗中,將進一步驗證該結論的正確性. 此外,(12)式也隱含著一個重要結論: 當|Zh?fd|逐漸減小時,波長λ對ρo影響也會逐漸降低,即不同波長導致的像斑大小的差異變小,直至Zh=fd時降到最小,從而降低了FINCH系統對照明光源的時間相干性的要求,這也是光學像面全息所具有的重要特征—允許寬光譜光源照明[24,25].

4 數值模擬和光學實驗

4.1 數值模擬

本節通過數值模擬實驗來驗證上述關于FINCH 系統最佳分辨率的結論. 數值實驗模擬的光路原理如圖1 所示,假定位于透鏡前焦面上長寬均為 1μm的點狀物被波長λ=632.8 nm 的空間非相干光照明. 為了與后面介紹的光學實驗相匹配,數值實驗的其他參數設定如下: 透鏡半徑Rl=12.5 mm ,其焦距f0=0.12 m ; SLM 的有效半徑Rs=4.32 mm ,其像素δs=8.0 μm ; CCD 的有效半徑Rc=3.54 mm ,其像素δc=3.45 μm ; 物平面按 1μm間距采樣成為 2 048×2048 陣列; CCD 的記錄距離Zh以0.01 m 為增量從0.10 m 到1.20 m 之間 變 化; 透 鏡 與SLM 間 的 距 離d=0.20 m ,SLM 上加載的衍射透鏡的焦距fd=0.60 m . 采用自適應的衍射場計算算法對全息記錄和再現過程進行數值模擬[26,27],該算法基于標量衍射理論和快速傅里葉變換法,能夠適用于不同的衍射距離和不同的采樣率. 此外,還考慮到FINCH 系統不滿足相干成像系統的拉格朗日不變條件[10],即用單物點不足以準確表征系統的橫向分辨率. 因此,在數值模擬中還通過分析可分辨的雙物點間距來進一步確證FINCH 系統的橫向分辨率.

在單物點數值模擬中,保持fd=0.60 m 不變,探討再現像斑的半徑ρo與記錄距離Zh之間的相互關系,模擬結果如圖2 所示. 圖2(a)表明數值模擬結果(點虛線所示)與根據(12)式所得的解析結果(實線所示)是相互一致的: 當記錄距離Zh趨近于衍射透鏡焦距fd時,像斑半徑將減小. 圖2(b)顯示了Zh取不同值時,再現像強度的一維分布情況,也再次表明,當Zh=fd(=0.60 m) 時,再現像斑最小.

在雙物點模擬中,研究兩物點的再現像斑的間隔與記錄距離Zh之間的相互關系. 根據瑞利判據[20],兩物點間最小可分辨的距離用ρo=0.61λ/(NAMT)來表示,式中 N A =Rs/fd為衍射透鏡的數值孔徑.當Rs=4.32 mm ,fd=0.60 m時,ρo近似為 1 0.7 μm .

本文分別取兩物點的間距?=9.0,10.0和11.0 μm進行對比模擬研究,且其他光路參數與前述相同,模擬結果如圖3 所示. 依據瑞利準則[20],如果兩個像斑之間中心凹陷超過峰值強度的27.0%左右,則兩個像斑可以被分辨的. 從圖3(d2)和圖3(d3)可以看出,當Zh=fd=0.60 m ,兩物點的間距分別為 1 0.0和 1 1.0 μm 時,可以分辨兩個再現像斑; 當Zh=fd/2=0.30 m 或Zh=2fd=1.20 m 時,則兩個再現像斑不可辨. 因此雙物點的數值模擬實驗同樣證明了FINCH 系統獲得最佳分辨率的條件是Zh=fd時.

圖2 可分辨物點半徑ρo與Z h的相互依賴關系(f d=0.60 m) (a)可分辨像斑半徑ρo 的數值模擬實驗和解析計算的結果比較;(b)數值模擬的再現像斑的強度分布Fig. 2. Dependence of the radiusρo of resolvable image spot on the recording distanceZ h while keepingf d=0.60 m : (a) Comparisons between numerical simulation experiment and analytical calculation of resolvable speckle radiusρ o; (b) intensity profiles of reconstructed image spots by numerical simulation.

4.2 光學實驗

圖3 不同記錄距離Z h (0.30 m (a),0.60 m (b)和1.20 m (c))獲得的雙物點再現像,其中f d =0.60 m ,雙物點間距? 分別為9.0(第1 行),1 0.0(第2 行)和 1 1.0 μm(第3 行); (d1),(d2)和(d3)分別表示雙物點間距? 為9.0,10.0 和 1 1.0 μm 時,再現像強度的一維分布Fig. 3. Reconstructed double images under different recording distancesZ h (0.30 m (a),0.60 m (b) and 1.20 m (c)) while keeping fd =0.60 mfor different spacing of two object points?=9.0 μm (the first row),1 0.0 μm(the second row) and 1 1.0 μm (the third row),respectively. (d1),(d2) and (d3) One-dimensional distribution of reconstructed image intensity for?=9.0,10.0 and 11.0 μm,respectively.

圖4 FINCH 系統光學實驗裝置示意圖Fig. 4. Schematic representation of experimental set-up of FINCH.

實施的FINCH 光學實驗系統的光路如圖4 所示. 準直擴束的LED 光源(Thorlabs,M625L3-C5)發射的光波經過濾波片(Thorlabs,FL632.8-3)后成為中心波長為633 nm 的窄帶光,通過可變光闌后照射位于準直透鏡(f0=0.12 m )前焦面處的分辨率板(Negative USAF1951). 分辨率板的透射光波通過偏振片P1 后變成線偏振光,且其偏振方向與反射型SLM (Holoeye PLUTO,陣列 1 920×1080 ,像素大小δs=8.0 μm )的主軸方向的夾角為50°. 這樣入射線偏振光可被SLM 分解為與其主軸相互平行和垂直的兩個分量,平行分量將被SLM 上加載的衍射透鏡調制后成為信號光波,未被衍射透鏡調制的垂直分量則成為參考光波. 第二個偏振片P2 使得相互正交的信號光和參考光在CCD 記錄面上可以相互干涉,形成數字全息圖. 采用三步相移法,用CCD 相機(Pike F-505,陣列2452×2054,像素大小δc=3.45 μm )先后依次記錄了3 幅全息圖. 然后根據(5) 式從3 幅全息圖重構出CCD 平面處物光場的復振幅分布,進而在計算機中進行菲涅耳衍射積分計算,數字重構出像平面上的再現像(圖5—圖7). 在實驗中,通過步進電機驅動平臺(Thorlabs,LTS300)調控CCD 位置對記錄距離Zh進行精確標定.

圖5 (a)計算機數字再現的圖像,其中對每一種衍射透鏡焦距fd (分別為0.30,0.40,0.50 和0.60 m)測試了不同記錄距離Zh(= 0.90f d,0.95f d,1.00f d,1.05f d ,1.10fd); (b)不同的記錄距離相對值(α=Zh/fd )對應的再現像可見度Fig. 5. (a) Computer digital reconstructed images forfd =0.30,0.40,0.50 and 0.60 m,each with differentZ h (= 0.90f d,0.95fd,1.00f d,1.05fdand 1.10fd); (b) relative values of different recording distances (α=Zh/fd ) corresponding to visibility of reconstructed image.

圖6 (a)—(o) 再現圖像的裁剪部分,f d =0.60 m ,記錄距離Z h 從0.53 m 到0.67 m,紅色框所標記區域的可見度將在圖7 中顯示Fig. 6. (a)?(o) Cropped sections of reconstructed images whenZ h varies from 0.53 m to 0.67 m whilefd =0.60 m.Visibility of the lines marked with the red box for the differentZ h will be plotted in Figure 7.

圖7 不同記錄距離Zh 下,圖6 紅色方框標示區再現像的可見度分析 (a)可見度; (b) 標示區特征線的強度分布Fig. 7. Visibility of line pattern within the regions marked with the red box in Figure 6 for the differentZ h : (a) Visibility of the line pattern; (b) intensity profile across the line pattern.

5 結 論

FINCH 系統具有的自干涉特征能夠在空間非相干光照明下實現全息記錄,但作為數字全息,該系統也存在著數字器件的一些固有缺點,如數字器件有限的像素數量和像素間距[28,29]將會影響全息圖的成像質量. 例如,在實驗中,像素間距為3.45 μm的CCD 相機只能記錄空間截止頻率低于300 mm?1全息圖干涉條紋,而光學全息記錄的空間頻率可高達到 2 /λ. 此外,已有文獻研究表明圖像傳感器像素結構的填充因子參數也對數字全息成像有著重要影響[30]: 即再現像斑(或者點擴散函數)的寬度將隨填充因子的增大而增大,從而使得系統的分辨率將會降低. 該結論是針對全息函數(對應于本文中(6)式)進行分析獲得的,因此也適用于本文,但不影響本文關于最佳記錄距離的結論.

總之,如何利用現有的數字器件來設計最佳光路以實現最佳的分辨率是人們對新型數字全息成像系統最為關心的問題之一. 本文基于衍射理論,利用菲涅耳波帶原理分析了數字器件的像素化特征對FINCH 全息圖有效孔徑和最佳分辨率的影響. 研究發現,當CCD 記錄距離等于SLM 上加載的衍射透鏡的焦距時,FINCH 再現像分辨率最高.究其原因,由于受CCD 像素間距δc的制約,當成像距離|Zh?fd|越大,FINCH 系統的全息圖有效孔徑角(≈Rh/|Zh?fd|)將越小,CCD 所記錄的空間高頻信息也越少,再現像的分辨率也會越低. 需要強調的是,盡管FINCH 系統克服了光源空間相干性的限制,但它仍然需要一定的時間相干性或準單色光照明. 理論分析研究還表明,波長對再現像斑大小的影響也在記錄距離等于衍射透鏡焦距時趨于最小,從而降低了FINCH 系統對照明光源的時間相干性要求,這將解決FINCH 系統存在的一個限制: 雖然允許空間非相干光記錄,但仍然要求單色或準單色光. 有關FINCH 系統光場時間相干性問題的討論,將在后續報告中發表.

綜上所述,有關FINCH 系統最佳橫向分辨率問題的研究,需要考慮全息圖有效孔徑和光場相干性等因素的綜合作用. 本文的理論分析已被數值模擬和光學實驗所驗證,研究結果有助于加深對FINCH 成像特性的認識,有利于拓展FINCH 系統的應用.