巧構方程妙解題

岳榮鑫

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）08-0143-01

在解決有關一元二次方程的問題時，我們常常會遇到類似下面的問題：

已知：a2-3a=1，b2-3b=1，并且a≠b。

如果我們按照常規思路，分別解關于a，b的方程求出a，b的值，再代入進行計算，雖然方法可行，但是計算較繁，且容易出錯。如果我們能夠根據已知的兩個方程的特點，善于觀察和聯想，巧妙構造新方程，靈活應用一元二次方程根與系數的關系，就可收到事半功倍的效果，得到意想不到的解法。下面給出兩種解法，供大家比較。

解法一：（常規解法）由求根公式可得：

解法二：（捷徑）∵a≠b，

且a2-3a=1，b2-3b=1，

∴a，b是方程x2-3x-1=0的兩個不相等的實數根，

∴a+b=3，ab=-1

“不比不知道，方法真奇妙。”方法二不僅解法新穎，步驟清晰，而且計算簡便，易于掌握。下面給出幾個題目供練習用，讀者可以親自體會這種方法的奧妙：