無解線性方程組的一題多解方法

符和滿

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

1 問題提出

已知數域P上的線性方程組

其中,a1,a2,a3,a4互不相等.證明該方程組無解.

此問題可見于文獻[1].下面從多個角度探討其證明過程.

2 方法探討

2.1 運用消元法求解

消元法是求解線性方程組最常用的方法.我們可以使用消元法證明一個線性方程組無解.首先用初等變換將線性方程組化為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出現的話）去掉.如果剩下的方程中最后1個等式是零等于1個非零的數，則方程組無解[2]111.當然，這些初等變換過程也可以通過矩陣形式完成.即對增廣矩陣作初等行變換，化成階梯形矩陣.若階梯形矩陣的最后1個非零行的末位元素非零，而該行的其余元素為0，則原方程組無解.

證 因為a1,a2,a3,a4互不相等，所以aj-ai≠0,其中1≤i＜j≤4.

由階梯形矩陣的最后1行可知，出現了矛盾方程“0=1”，所以原方程組無解.

2.2 運用線性方程組有解判別定理求解

定理1[2]137線性方程組AX=b有解的充分必要條件是系數矩陣A與增廣矩陣有相同的秩,其中=(Ab).

定理1提供了判別線性方程組無解的最直接方法,即一個線性方程組無解當且僅當其系數矩陣與增廣矩陣不等秩.由此將問題歸結為判別系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等.

因為

以及a1,a2,a3,a4互不相等，所以但系數矩陣 A是個 4×3矩陣，顯然秩(A)≤3，因此秩(A)≠秩根據定理1，可知該方程組無解.

2.3 轉化為齊次線性方程組求解

通過引入一個“額外”變量，將非齊次線性方程組轉化為齊次線性方程組.然后借助齊次線性方程組的相關結論進行證明.

定理2[3]53設A是數域P的1個n級方陣.齊次線性方程組AX=0只有零解,當且僅當系數矩陣的行列式|A|≠0.

證 假設原方程組有解，設為(c1,c2,c3)，則(c1,c2,c3,-1)就是齊次線性方程組（1）的1個非零解.

當a1,a2,a3,a4互不相等時，齊次線性方程組（1）的系數矩陣的行列式

由定理2，上述的齊次線性方程組（1）只有零解,矛盾.因而原方程組無解.

2.4 轉化為一元多項式求解

基于本問題中線性方程組的系數與常數項的特殊性，若將“變量”與“系數”的地位反轉，則原方程組有解可視為多項式f(t)=x1+x2t+x3t2-t3有4個根a1,a2,a3,a4.為了采用多項式證明原問題，需要應用多項式理論中的1個基本結論.

定理3[2]25數域P上的n次多項式(n≥0)在數域P中的根不可能多于n個，重根按重數計算.

證 考慮數域P上關于t的一元多項式f(t)=x1+x2t+x3t2-t3.

倘若原方程組有解，則a1,a2,a3,a4是多項式f(t)的4個互異的根；但注意到多項式f(t)的次數為3，由定理3可知，3次多項式不可能有4個互異的根，所以原方程組無解.

3 問題推廣

一般地，此問題還可以推廣到n個變量的情形.已知數域P上的線性方程組

其中,a1,a2,…,an+1互不相等.證明該方程組無解.

同理，運用上述的各種方法進行證明，此處不再贅述.