井壁失穩風險的可靠度理論評價方法

陳穎杰 鄧傳光 馬天壽

1. 中國石油西南油氣田公司勘探事業部 2. “油氣藏地質及開發工程”國家重點實驗室·西南石油大學

0 引言

井壁失穩問題是鉆井工程中非常棘手的井下復雜或事故，井壁失穩通常表現為井壁坍塌和井眼漏失，準確控制井筒壓力高于坍塌壓力并低于破裂壓力，可以有效避免井壁失穩事故，還可以避免誘發產生的井噴、井漏、井塌、卡鉆等井下復雜和事故[1-3]。

國內外學者針對井壁穩定問題已經開展了較為深入的研究，建立多種經驗模型、解析模型和數值模擬方法[2-6]。研究的焦點主要集中于本構模型和破壞準則，本構模型方面已經形成了線彈性解析解、塑性模型、彈塑性模型、孔隙彈性模型、孔隙熱彈性模型、化學孔隙彈性模型、化學孔隙熱彈性模型等多種模型[6-17]，破壞準則方面已經形成了Mohr-Coulomb準則、Drucker-Prager準則、Mogi-Coulomb準則、修正Lade準則、修正Wiebols-Cook準則、Hoek-Brown準則等多種準則[18-20]。但是，由于深部地層地質條件的隱蔽性和不確定性，加之地球物理測井及其解釋方法均存在一定誤差，使得地層地質力學參數（地應力、孔隙壓力）、巖石力學參數等呈現出較強的不確定性，進行井壁穩定分析時將難以確定準確的輸入參數。若輸入參數出現一定偏差，將導致井壁穩定分析結果出現偏差，甚至可能出現嚴重錯誤[4-5]。在國外，一些學者采用定量風險分析方法定量研究了輸入參數不確定性特征，并且明確了輸入參數不確定程度對井壁穩定分析結果的影響[21-25]；在國內，張立松等推導了煤層氣直井坍塌壓力可靠度計算公式[26]，魏凱等[27-28]建立了直井井壁失穩區域識別方法，可見國內針對輸入參數不確定性及對井壁穩定分析結果影響的研究較少，參數不確定性對井壁穩定分析結果的影響尚不明確。為此，筆者基于可靠性理論，建立井壁穩定風險評價方法，定量評價直井井壁失穩的風險，并進行參數不確定性的影響分析與評價，以期為直井井壁穩定控制和措施的制定提供理論支撐。

1 井壁穩定力學模型

1.1 井壁應力分布

對于直井而言，在井眼圓柱坐標系(r，θ，z)中，井壁處的應力可取Kirsch方程中r=rw并整理得到[1-2]：

式中σr，σθ，σz分別表示井周徑向、環向和軸向應力，MPa；σH，σh，σv分別表示最大、最小水平地應力和上覆巖層壓力，MPa；pi表示井筒液柱壓力，MPa；v表示泊松比；θ表示井壁任意位置對應的圓周角，( °)。

1.2 坍塌壓力計算模型

強度準則的選取是井壁坍塌壓力計算另一個非常重要的方面，最常用的強度準則是Mohr-Coulomb準則、Drucker-Prager準則、Hoek-Brown準則等。實踐表明，對于比較堅硬的巖石，Mohr-Coulomb準則計算結果比較可靠，此處采用Mohr-Coulomb準則，即：

式中σ1，σ3分別表示最大、最小地應力，MPa；Co表示內聚力，MPa； 表示內摩擦角，( °)。

巖石剪切破壞與否主要取決于所受的應力狀態，最大、最小主應力差值越大，則井壁坍塌越容易發生。通常情況下，井壁處最大、最小主應力分別為環向應力和徑向應力，即井壁是否坍塌主要取決于于井壁環向應力（σθ）和徑向應力（σr）的差值。由式（1）不難看出：當井周角θ=±π/2時，環向應力達到最大值，而該處的差應力（σθ-σr）將達到最大值，說明井壁坍塌失穩的臨界點位于θ=±π/2處，即井壁失穩的方位與最小水平地應力方向一致。若考慮巖石非線性特性和巖石孔隙中所作用的孔隙壓力（pp），則井壁失穩臨界點的最大和最小有效應力[2]：

式中α表示Biot系數；pp表示地層孔隙壓力，MPa；pi表示鉆井液柱壓力，MPa；η表示應力非線性修正系數，一般η=0.95。

于是，將式（3）帶入式（2）得坍塌壓力計算模型[2]：

式中pc表示坍塌壓力，MPa。

1.3 破裂壓力計算模型

當井內的鉆井液柱所產生的壓力高到足以壓裂地層，使其原有的裂隙張開延伸或形成新的裂隙時的井內流體壓力稱為地層的破裂壓力（pf）。地層破裂是由于井內鉆井液密度過大使巖石所受的周向應力達到巖石的抗拉強度而造成的，即

式中St表示巖石抗拉強度，MPa。

由式（1）不難看出：當井筒壓力增大時，環向應力變小；當井筒壓力增大到一定程度時，環向應力將變成負值，即巖石所受周向應力由壓縮應力變為拉伸應力，當拉伸應力大到足以克服巖石的抗拉強度時，地層則產生破裂造成井漏。破裂發生在環向應力最小處，即井壁破裂的臨界點位于θ= 0°或π處。若考慮巖石孔隙中所作用的pp，則井壁破裂臨界點的最小有效應力為：

于是，將式（7）帶入式（6）可得壓裂井壁的臨界壓力值，即破裂壓力[2]：

式中pf表示破裂壓力，MPa。

2 井壁失穩風險可靠度評價方法構建

根據可靠性理論，假設井壁穩定的功能函數具有如下的一般形式：

將功能函數（Z）在均值點(稱為中心點)處展開成Taylor級數并保留至一次項，即

根據相互獨立正態分布隨機變量線性組合的性質，則Z的均值和方差可分別表示如下[29]：

式中μZ表示功能函數Z的均值；σZ表示功能函數Z的方差。

根據可靠度指標的定義，由式(13)、(14)可得可靠度指標[29]：

式中β表示可靠度指標。

上述方法將功能函數Z在隨機變量的均值點展開成Taylor級數并取一次項，利用X的一階矩（均值）和二階矩（方差）計算Z的可靠度，所以又稱為均值一次二階矩方法[29]。當已知X的均值和方差時，可用此方法簡便地估算可靠度指標。通常情況下，將功能函數處于失穩狀態下的概率稱為失穩概率，若功能函數符合正態分布，則井壁失穩的概率和井壁穩定的可靠度概率可表示[29]：

式中Pf表示井壁失穩的概率；Pr表示井壁穩定的概率；Φ表示標準正態分布函數。

因此，將式（10）帶入式（12）～（13），計算井壁坍塌和破裂兩種情況下功能函數（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）；進一步，將功能函數（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）帶入式(14)，計算可靠度指標（β）；最后，將可靠度指標（β）帶入式（15），可計算出井壁失穩和井壁穩定所對應的概率，此二者之和為1，從而可實現井壁失穩風險的定量評價。

3 應用分析

3.1 基礎輸入參數不確定性分析

井壁坍塌壓力和破裂壓力的計算主要涉及如下輸入參數：井筒壓力、最大水平地應力、最小水平地應力、孔隙壓力、巖石強度（內聚力、內摩擦角和抗張強度）、應力非線性修正系數、Biot系數等，其中，井筒壓力、應力非線性修正系數和Biot系數基本可以認為是確定輸入參數，而最大水平地應力、最小水平地應力、孔隙壓力、巖石強度(內聚力、內摩擦角和抗張強度)具有一定的不確定性。描述參數不確定性的數學方法主要有均勻分布、三角分布、正態分布、Beta分布、Weibull分布、Gamma分布等多種，通常這些參數基本上能夠滿足正態分布。

為了分析輸入參數不確定性特征，以四川盆地X井為例進行分析，該井須家河組埋深介于4 200～4 500 m，測井和實鉆資料表明，該井所在地區的上覆巖層壓力梯度介于2.27～3.02 MPa/100 m、水平最大地應力梯度介于1.85～2.59 MPa/100 m、水平最小地應力梯度介于1.55～2.16 MPa/100 m、地層孔隙壓力梯度介于1.17～1.45 MPa/100 m、地層巖石內聚力介于14.25～22.25 MPa，巖石內摩擦角介于31.25°～35.46°，巖石抗張強度介于4.65～7.48 MPa。根據測井解釋結果給定各參數的均值，參考現場各種測試方法計算相關參數可能的誤差范圍[14]設定各參數的標準差和變異系數（標準差與均值的比值），給定各參數的不確定性統計結果如表1所示，通過蒙特卡洛模擬得到的地應力、巖石強度等參數分布擬合結果如圖1所示。不難看出，各參數的不確定分布規律滿足正態分布規律；變異系數越高，則樣本數據的不確定性越強，參數的分布越廣泛，對井壁穩定分析結果的影響將更加顯著；反之亦然。可見這種強烈的參數不確定性勢必會對井壁穩定性分析結果產生顯著影響。

表1 輸入參數不確定性特征統計表

3.2 不同鉆井液當量密度下可靠度評價結果

為了計算不同井筒壓力下井壁穩定的可靠度概率，取不同井筒鉆井液當量密度值，按第2節所述的方法計算了不同鉆井液當量密度下防止井壁坍塌和井壁破裂的可靠概率，如圖2所示。

由圖2可知，隨著井筒鉆井液當量密度的增加，井壁坍塌條件所對應的可靠概率逐漸增加，而井壁破裂條件所對應的可靠概率逐漸降低。這充分說明，隨著井筒鉆井液當量密度的增加，一方面井壁坍塌的風險逐漸降低，因而井壁保持穩定的概率逐漸增加；另一方面井壁破裂的風險又逐漸增加，使得井壁被壓漏的概率逐漸增加。因此，需要尋找一個合適的井筒鉆井液當量密度，使得防止井壁坍塌和漏失的可靠概率均保持在較高的概率。通常情況下，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線都會存在一個交點，該交點的意思是井壁坍塌和井壁破裂為等概率事件，在低于該交點對應的概率情況下將能夠找到一個合適的安全窗口、而高于該交點將不存在安全窗口。圖2中標出了3種典型的情況，這3種情況可以分為兩類，第一類是要求比較高的可靠概率(90%)，由于井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現在當量密度為1.65 g/cm3，而此時對應的坍塌壓力和破裂壓力當量密度分別為1.78 g/cm3和1.45 g/cm3，這二者之間并沒有安全窗口，說明此時難以在該類地層中實現這一目標；第二類為了能夠在較為安全的概率下成功鉆穿該地層，可以適當的選擇恰當的可靠概率，比如將可靠概率定為80%或70%，這兩種情況對應的安全窗口分別介于1.58～1.73 g/cm3和1.45～1.92 g/cm3，可靠概率80%對應的安全窗口明顯小于可靠概率70%的情形，這說明適當地選擇工程上可以接受的概率范圍，可以在更寬的安全窗口內設計井筒鉆井液密度。但是，工程上通常需要將可靠概率控制在80%以上，這樣鉆穿該地層的成功率將會達到比較理想的效果。

3.3 輸入參數不確定程度的影響

3.3.1 地應力的影響

地應力不確定性對井壁穩定分析結果的影響可以分為兩個主要的方面，一方面是最大水平地應力的影響，另一方面是最小水平地應力的影響。為了明確這兩方面因素的影響規律，計算了最大和最小水平地應力在變異系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當量密度所對應的井壁穩定可靠度概率，結果如圖3所示。

圖1 基本輸入參數正態分布特征圖

由圖3可知，①隨著水平地應力變異系數的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點下降，②圖3-a顯示出現的位置基本上在當量密度為1.65 g/cm3，5種情況下交點對應的可靠概率下降，分別為93.3%、90.2%、83.5%、78.0%和73.5%；③圖3-b顯示交點出現的位置隨變異系數的增加而逐漸向左移動，且5種情況下交點對應的可靠概率也逐漸降低，分 別 為 85.7%、80.5%、73.4%、68.5% 和 64.8%；④圖3-b還顯示井壁坍塌可靠概率曲線受到的最小水平地應力變異系數影響較小。綜上所述，地應力不確定性對井壁穩定影響顯著，其中，最大水平地應力不確定程度對井壁坍塌和井壁破裂均有顯著影響，而最小水平地應力不確定程度主要影響井壁破裂。井壁穩定分析中需要準確確定地應力的大小，不確定程度越低，則井壁穩定分析結果的可信度越高，所確定的井壁穩定安全窗口也將更加準確。

3.3.2 孔隙壓力的影響

地層孔隙壓力對井壁穩定分析結果也具有顯著的影響，為了明確這方面因素的影響規律，計算了孔隙壓力在變異系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當量密度所對應的井壁穩定可靠度概率，結果如圖4所示。

圖2 不同當量密度下的井壁穩定可靠度概率圖

由圖4可知，隨著孔隙壓力變異系數的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現的位置出現在1.64～1.66 g/cm3，但這5種情況下交點對應的可靠概率略微降低，分別為87.5%、86.6%、85.7%、83.5%和82.5%，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線反映出對井壁穩定安全窗口不如地應力的影響顯著，但對于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

3.3.3 巖石強度的影響

地層巖石強度對井壁穩定分析結果也具有一定的影響，為了明確這方面因素的影響規律，計算了巖石內聚力、內摩擦角和抗張強度在變異系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當量密度所對應的井壁穩定可靠度概率，巖石強度參數不確定程度對井壁穩定分析結果的影響如圖5所示。

圖3 最大、最小水平地應力不確定程度對井壁穩定分析結果的影響圖

圖4 孔隙壓力不確定程度對井壁穩定分析結果的影響圖

1）對于巖石內聚力和內摩擦角而言，①隨著內聚力和內摩擦角變異系數的增加，井壁坍塌可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應力相比較小，但井壁破裂可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石內聚力變異系數由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現的位置隨變異系數的增加而逐漸向右移動，但基本上都在當量密度為1.62～1.65 g/cm3的范圍內，而且這5種情況下交點對應的可靠概率也略微降低，分別為84.8%、84.7%、84.6%、84.5%和83.9%；③在巖石內摩擦角變異系數由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現的位置也隨變異系數的增加而逐漸向右移動，但基本上都在當量密度為1.62～1.68 g/cm3的范圍內，而且這5種情況下交點對應的可靠概率也略微降低，分別為84.6%、84.6%、83.8%、83.5%和82.7%。

圖5 巖石強度參數不確定程度對井壁穩定分析結果的影響圖

2）對于巖石抗張強度而言，①隨著抗張強度變異系數的增加，井壁破裂可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應力相比較小，但井壁坍塌可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石抗張強度變異系數由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現的位置隨變異系數的增加而逐漸向左移動，但基本上都在當量密度為1.63～1.66 g/cm3的范圍內，而且這5種情況下交點對應的可靠概率也略微降低，分別為84.3%、84.3%、84.2%、84.0%和83.5%。因此，巖石強度的不確定性對井壁穩定的安全窗口分析結果具有一定影響，盡管對井壁穩定安全窗口分析結果影響并不顯著，但對于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

4 結論

1）給出了以Kirsch方程、Mohr-Coulomb準則和最大拉應力準則為基礎的井壁穩定力學模型，建立了基于可靠度理論的井壁失穩風險評價方法。

2）各輸入參數的不確定分布規律基本滿足正態分布規律，變異系數越高，則樣本參數的不確定性越強，參數的分布越廣泛，對井壁穩定分析結果的影響將更加顯著。因此，輸入參數不確定性對井壁穩定性分析結果具有重要的影響。

3）井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線交點以下將能夠找到一個合適的安全窗口、而高于該交點將不存在安全窗口，在允許的概率范圍內適當降低可靠概率有助于優化更寬的安全窗口。

4）不確定性分析結果看，地應力、孔隙壓力、巖石強度3個因素不確定性對井壁穩定影響大小的順序為地應力＞孔隙壓力＞巖石強度。因此，建議準確地確定地應力的大小，以降低其不確定程度的影響，從而提高對井壁穩定性評價的準確性。