帶落角約束的新型二階滑模三維制導(dǎo)律

史紹琨， 趙久奮， 崇陽， 楊奇松， 尤浩

(火箭軍工程大學(xué)作戰(zhàn)保障學(xué)院, 西安 710025)

為發(fā)揮導(dǎo)彈的最大效能，對目標(biāo)實(shí)施“手術(shù)刀式”精確打擊，不僅需要導(dǎo)彈精確擊中目標(biāo)，還期望導(dǎo)彈以指定角度攻擊目標(biāo)[1-2]，因此研究帶落角約束的制導(dǎo)律具有很強(qiáng)的實(shí)際工程意義[3]。

目前，關(guān)于帶落角約束制導(dǎo)律的設(shè)計方法有多種多樣。基于比例導(dǎo)引的思想，文獻(xiàn)[4]設(shè)計了一種新型帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引律，其偏置項是剩余時間和落角誤差的函數(shù)。基于最優(yōu)控制理論，文獻(xiàn)[5]以零脫靶量和零落角誤差為約束，運(yùn)用Schwartz不等式求出了帶落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律的封閉解。基于模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃理論(MPSP)，文獻(xiàn)[6]對用于角度控制的控制量進(jìn)行迭代更新，使?jié)M足落角約束條件。基于滑模控制理論，文獻(xiàn)[7]基于反演滑模設(shè)計帶落角約束的制導(dǎo)律，并設(shè)計擴(kuò)張觀測器對目標(biāo)機(jī)動信息進(jìn)行估計。

基于滑模控制理論設(shè)計制導(dǎo)律對外界干擾具有很強(qiáng)的魯棒性[8]，因此被廣泛應(yīng)用在制導(dǎo)律設(shè)計中。

文獻(xiàn)[9]基于非奇異快速終端滑模函數(shù)設(shè)計了滑模面，選取快速冪次趨近律設(shè)計了二維平面內(nèi)帶落角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]提出了一種有限時間收斂的積分滑模面，同樣選取快速冪次趨近律，設(shè)計了二維平面內(nèi)攻擊機(jī)動目標(biāo)帶落角約束的制導(dǎo)律，并對未知機(jī)動目標(biāo)干擾上界進(jìn)行自適應(yīng)估計。但文獻(xiàn)[9-10]只在二維平面內(nèi)設(shè)計了制導(dǎo)律，沒有考慮三維空間中各通道間的耦合關(guān)系，使得制導(dǎo)律設(shè)計的實(shí)用性降低。文獻(xiàn)[11]提出了一種帶落角約束的三維有限時間滑模制導(dǎo)律，設(shè)計過程中沒有對制導(dǎo)系統(tǒng)模型作解耦處理，但該制導(dǎo)律只能用于攻擊靜止目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]采用快速雙冪次趨近律設(shè)計了三維前向滑模制導(dǎo)律，保證了系統(tǒng)能夠快速收斂到滑模面，但該制導(dǎo)律沒有考慮導(dǎo)彈的落角約束問題。并且上述文獻(xiàn)研究的都是一階滑模制導(dǎo)律，而二階滑模制導(dǎo)律具有抑制抖振能力強(qiáng)，魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[13]，因此基于二階滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計帶落角約束的三維有限時間收斂制導(dǎo)律具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用價值。

本文首先建立了完備的三維制導(dǎo)系統(tǒng)模型，無需對模型進(jìn)行解耦處理。然后選取非奇異快速終端滑模面設(shè)計了非奇異快速終端二階滑模制導(dǎo)律，并設(shè)計了非齊次干擾觀測器，對未知目標(biāo)機(jī)動信息和視線角耦合項進(jìn)行估計并補(bǔ)償，設(shè)計的制導(dǎo)律避免了傳統(tǒng)終端滑模制導(dǎo)律中的奇異問題。最后對所設(shè)計制導(dǎo)律的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

現(xiàn)對本文提出的制導(dǎo)律優(yōu)勢進(jìn)行說明：①制導(dǎo)律設(shè)計過程中考慮了三維耦合項，無需對系統(tǒng)模型作解耦處理；②設(shè)計了非齊次干擾觀測器估計目標(biāo)機(jī)動和視線角耦合帶來的總干擾，無需目標(biāo)先驗信息；③選取非奇異快速終端滑模面設(shè)計二階滑模制導(dǎo)律，收斂速度快，并且能夠有效抑制抖振現(xiàn)象；④提出的制導(dǎo)律可以在三維空間中帶落角約束攻擊機(jī)動目標(biāo)，工程應(yīng)用價值強(qiáng)。

1 三維空間末制導(dǎo)系統(tǒng)模型

考慮導(dǎo)彈在三維空間中攻擊地面機(jī)動目標(biāo)情形，導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1中Oxyz為地面慣性坐標(biāo)系，M和T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)，r為彈目視線。qε和qβ分別為視線傾角和視線偏角，其方向定義為當(dāng)r位于水平面Oxz上方時qε為正，當(dāng)Ox軸逆時針旋轉(zhuǎn)到r在Oxz面上的投影上時qβ為正。vm為導(dǎo)彈速度，θm和φm分別為彈道傾角和彈道偏角，其方向定義為當(dāng)vm位于水平面Oxz上方時θm為正，當(dāng)Ox軸逆時針旋轉(zhuǎn)到vm在Oxz面上的投影上時φm為正。vt為目標(biāo)速度,θt和φt分別為目標(biāo)的俯仰方向航向角和水平方向航向角，其方向定義同導(dǎo)彈彈道傾角和彈道偏角方向定義。根據(jù)圖1得到三維空間下導(dǎo)彈-目標(biāo)的相對運(yùn)動方程為

圖1 彈目相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Relative motion relationship between missile and target

(1)

導(dǎo)彈的動力學(xué)方程為

(2)

式中：ax、ay和az分別為導(dǎo)彈加速度在速度方向、速度法向和速度側(cè)向上的3個分量，大部分導(dǎo)彈在制導(dǎo)末段無推力作用，因此加速度是由作用在導(dǎo)彈上的合外力作用產(chǎn)生的。

將導(dǎo)彈速度vm在地面慣性坐標(biāo)系Oxyz的3個坐標(biāo)軸上分解得到三維空間導(dǎo)彈運(yùn)動方程為

(3)

同理將目標(biāo)速度vt在地面慣性坐標(biāo)系Oxyz的3個坐標(biāo)軸上分解得到目標(biāo)運(yùn)動方程，這里不再贅述。

假設(shè)視線坐標(biāo)系相對于地面慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度為ω，其叉乘矩陣用[ω]×F表示。彈目相對速度、彈目相對加速度、導(dǎo)彈速度和導(dǎo)彈加速度在視線坐標(biāo)系中的分量為vr、ar、vm和am，根據(jù)科里奧利定理，有如下關(guān)系成立：

(4)

式中：

vm=

將式(4)第1式展開，得到

(5)

式中：atr、atθ、atφ和amr、amθ、amφ分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線坐標(biāo)系3個軸上的分量。

將式(4)第2式展開，并將式(2)代入化簡得到ay、az與amθ、amφ的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(6)

2 制導(dǎo)律設(shè)計

針對三維空間中導(dǎo)彈指定角度攻擊地面機(jī)動目標(biāo)問題，本節(jié)設(shè)計帶落角約束的非奇異快速終端二階滑模三維制導(dǎo)律。首先給出帶落角約束的三維系統(tǒng)狀態(tài)方程；然后選取非奇異快速終端滑模面設(shè)計了二階滑模制導(dǎo)律，保證了系統(tǒng)快速收斂的同時有效抑制了抖振現(xiàn)象；最后針對系統(tǒng)中的目標(biāo)機(jī)動信息和視線角耦合項設(shè)計了非齊次干擾觀測器，用來對系統(tǒng)中的總擾動進(jìn)行估計并補(bǔ)償。

2.1 設(shè)計目標(biāo)

導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時刻，導(dǎo)彈攻角可近似為0，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，導(dǎo)彈攻擊落角約束問題可以轉(zhuǎn)化為視線角跟蹤問題。

(7)

式中：dθ和dφ分別為視線法向和視線側(cè)向上目標(biāo)機(jī)動信息和視線角耦合項帶來的總擾動，其表達(dá)式分別為

(8)

本節(jié)設(shè)計制導(dǎo)律的目的是通過設(shè)計視線法向和視線側(cè)向上的導(dǎo)彈加速度amθ和amφ，使系統(tǒng)方程式(7)在有限時間內(nèi)收斂到0。并設(shè)計非齊次干擾觀測器對系統(tǒng)中的總干擾dθ和dφ進(jìn)行估計并補(bǔ)償。

2.2 基于快速終端滑模面的二階滑模制導(dǎo)律設(shè)計

針對系統(tǒng)狀態(tài)方程式(7)，選取如下快速終端滑模面：

(9)

對滑模面式(9)求導(dǎo)，并將式(7)代入得

(10)

為使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間內(nèi)收斂到滑模面，并沿著滑模面運(yùn)動在有限時間內(nèi)收斂到系統(tǒng)期望狀態(tài)，針對式(10)，本文設(shè)計制導(dǎo)律如下:

(11)

式中:z1θ和z1φ分別為本文設(shè)計的非齊次干擾觀測器對系統(tǒng)式(7)中總擾動dθ和dφ的估計值。設(shè)計參數(shù)α1、α2、β1和β2均為大于0的常數(shù)，且y>2，u>2。

本文提出的制導(dǎo)律式(11)中不含負(fù)指數(shù)項，因而避免了傳統(tǒng)終端滑模制導(dǎo)律中存在的奇異問題。選取快速終端滑模面設(shè)計制導(dǎo)律，提高了系統(tǒng)收斂到期望值的速度。將制導(dǎo)律設(shè)計成二階滑模制導(dǎo)律，并且制導(dǎo)律中不含非連續(xù)符號函數(shù)項，有效抑制了抖振現(xiàn)象。

對于系統(tǒng)式(10)中由視線角耦合項和目標(biāo)機(jī)動信息帶來的系統(tǒng)總擾動dθ和dφ，根據(jù)文獻(xiàn)[15]中有限時間收斂的非齊次干擾觀測器的定義，分別設(shè)計以下2種觀測器對dθ和dφ進(jìn)行估計。

(12)

(13)

3 穩(wěn)定性和有限時間收斂證明

當(dāng)本文設(shè)計的非齊次干擾觀測器穩(wěn)定時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有限時間收斂證明分為兩步，第1步證明系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，第2步證明系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面運(yùn)動在有限時間內(nèi)收斂到期望值。

證明系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面。

假設(shè)設(shè)計的非齊次干擾觀測器式(12)和式(13)分別在時間tr1和tr2收斂到系統(tǒng)總干擾的真實(shí)值dθ和dφ，則當(dāng)t≥max{tr1,tr2}時，將制導(dǎo)律式(11)對應(yīng)代入到式(10)，化簡后得

(14)

為方便分析，引入以下狀態(tài)變量：

(15)

(16)

對式(16)求導(dǎo)得

(17)

式中：矩陣A和B分別定義為

(18)

對系統(tǒng)式(17)選取如下Lyapunov函數(shù)：

(19)

對式(19)求導(dǎo)，可得

(20)

將式(17)代入到式(20)，得

(21)

(22)

式中：

(23)

式中：tr1和tr2分別為所設(shè)計的非齊次干擾觀測器式(12)和式(13)收斂系統(tǒng)總干擾的真實(shí)值dθ和dφ的時間，式(23)表明系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)收斂到滑模面s1和s2。

當(dāng)|x2|=|x4|=0，且max{tr1,tr2}≤t≤min{ts1,ts2}時，將制導(dǎo)律式(11)代入到系統(tǒng)式(7)中，可得

(24)

證畢

證明系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到期望值。

當(dāng)t≥max{tr1,tr2}，即系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面s1=0,s2=0時，則式(9)變?yōu)?/p>

(25)

對系統(tǒng)式(25)，選取如下Lyapunov函數(shù)：

(26)

對式(26)求導(dǎo)，并將式(25)代入可得

(27)

將式(26)代入到式(27)，化簡后可得

(28)

觀察式(28)可知，式(28)具有同式(22)的結(jié)構(gòu)，同理由文獻(xiàn)[16]中的引理1可得，x1和x3在有限時間內(nèi)收斂到0。并且由式(25)可得，當(dāng)x1=0，x3=0時，x2和x4也在有限時間內(nèi)收斂到0。

證畢

4 仿真分析

為了驗證本文提出制導(dǎo)律的有效性和優(yōu)越性，首先對不同位置不同狀態(tài)的3枚導(dǎo)彈攻擊同一機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行仿真，驗證本文制導(dǎo)律的優(yōu)越性；然后在相同條件下與不同制導(dǎo)律進(jìn)行仿真對比，驗證本文制導(dǎo)律的優(yōu)越性。

4.1 多枚導(dǎo)彈仿真分析

為驗證本文設(shè)計制導(dǎo)律的有效性和普遍性，考慮不同位置不同初始狀態(tài)下的3枚導(dǎo)彈以各自指定角度攻擊機(jī)動目標(biāo)。假設(shè)目標(biāo)的初始坐標(biāo)為(10,0,10) km，速度vt=50 m/s，速度法向和速度側(cè)向上的加速度分別為aty=1g(g為重力加速度)，atz=0.5g，初始俯仰方向航向角和初始偏航方向航向角分別為θt0=10°,φt0=15°。3枚導(dǎo)彈速度恒定且均為600 m/s，導(dǎo)彈的初始導(dǎo)彈傾角和導(dǎo)彈偏角分別用θm0和φm0表示，期望視線傾角和視線偏角分別用qεd和qβd表示，3枚導(dǎo)彈的其余參數(shù)如表1所示。

制導(dǎo)律式(11)中的參數(shù)設(shè)置如下：a1=a3=3，a2=a4=1.1，k1=k2=k3=k4=1，α1=α2=500，β1=β2=600，γ=2.1，u=2.1。觀測器式(12)和式(13)參數(shù)取值如下：λ0j=1.1,λ1j=1.5,λ2j=2;u0j=3,u1j=6,u2j=8,j=θ,φ;L=0.1。制導(dǎo)盲區(qū)設(shè)置為20 m，即彈目距離小于20 m時導(dǎo)彈按進(jìn)入制導(dǎo)盲區(qū)時刻加速度飛行，導(dǎo)彈過載限制為30g仿真步長設(shè)置為1 ms，仿真結(jié)果如圖2和表2所示。

表1 導(dǎo)彈初始參數(shù)和期望落角Table 1 Initial parameters and expectedimpact angles of missiles

圖2 3枚導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of 3 missiles attacking targets

導(dǎo)彈脫靶量/m視線傾角誤差/(°)視線偏角誤差/(°)飛行時間/sM10.20690.01160.025729.7680M20.07760.01000.025029.9790M30.29620.02930.015930.3620

從表2和圖2(a)～(d)中可以看出，不同初始位置不同狀態(tài)下的3枚導(dǎo)彈在制導(dǎo)律式(11)作用下均能夠以指定視線傾角和視線偏角擊中機(jī)動目標(biāo)。3枚導(dǎo)彈的最大脫靶量不超過0.296 2 m，視線傾角和視線偏角誤差控制在0.03°的范圍內(nèi)，驗證了本文提出的制導(dǎo)律對脫靶量和落角誤差的強(qiáng)控制能力。從圖2(e)、(f)中可以看出，視線傾角和視線偏角速率在有限時間內(nèi)收斂到0，保證了導(dǎo)彈能夠在有限時間內(nèi)擊中目標(biāo)。從圖2(g)、(h)中看出，導(dǎo)彈的法向過載和側(cè)向過載在制導(dǎo)末期均收斂到0附近，并且收斂過程中光滑平穩(wěn)無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，保證了對導(dǎo)彈控制的穩(wěn)定性。從圖2(i)、(j)中可以看出，滑模面s1和s2連續(xù)光滑地在有限時間連續(xù)內(nèi)收斂到0，并且收斂過程中無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，驗證了本文提出的制導(dǎo)律能夠有效抑制抖振現(xiàn)象的出現(xiàn)。

4.2 不同制導(dǎo)律仿真對比

為了進(jìn)一步體現(xiàn)本文制導(dǎo)律的優(yōu)越性，將本文提出的制導(dǎo)律記為SO-NFTSMG，與標(biāo)準(zhǔn)非奇異滑模制導(dǎo)律(記為NTSMG1)和文獻(xiàn)[17]基于非奇異終端滑模面和快速冪次趨近律設(shè)計的一階滑模制導(dǎo)律(記為NTSMG2)進(jìn)行仿真對比。

現(xiàn)將2種制導(dǎo)律拓展到三維空間中，三維空間中NTSMG1的表達(dá)式為

(29)

式中：K1和K2分別為符號函數(shù)增益，根據(jù)目標(biāo)機(jī)動的上界選取，本文仿真中分別選取為50和100，式(29)中其余參數(shù)選取同制導(dǎo)律式(11)參數(shù)選取。

三維空間中NTSMG2的表達(dá)式為

(30)

式中:參數(shù)選取同制導(dǎo)律式(11)參數(shù)選取。

仿真選取4.1節(jié)中導(dǎo)彈M1分別在SO-NFTSMG、NTSMG1和NTSMG2的作用下攻擊機(jī)動目標(biāo)，目標(biāo)初始值設(shè)置和制導(dǎo)律中參數(shù)選取同4.1節(jié)。仿真結(jié)果如圖3和表3所示。

從圖3中可以看出，3種制導(dǎo)律都能夠控制導(dǎo)彈以指定角度擊中機(jī)動目標(biāo)。其中SO-NFTSMG收斂速度最快，并且收斂過程中光滑無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，驗證了SO-NFTSMG良好的制導(dǎo)性能。NTSMG2收斂速度次之，并且由于NTSMG2中不含非連續(xù)符號函數(shù)項，收斂過程中抑制抖振現(xiàn)象明顯。NTSMG1收斂速度最慢，并且收斂過程中出現(xiàn)了高頻抖振現(xiàn)象，不利于導(dǎo)彈自動駕駛儀的控制。從表3中可以看出，SO-NFTSMG作用下的導(dǎo)彈脫靶量最小，并且導(dǎo)彈飛行時間比NTSMG2短了約0.16 s，這對于飛行時間較短的導(dǎo)彈末制導(dǎo)段而言增大了突防概率。盡管NTSMG1作用下的導(dǎo)彈飛行時間最短，并且對脫靶量和落角的控制能力與SO-NFTSMG和NTSMG2相差不大，但由于NTSMG1的加速度指令出現(xiàn)了高頻抖振，使得實(shí)際應(yīng)用中對導(dǎo)彈的控制能力降低。實(shí)際應(yīng)用中用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)仍不能消除抖振現(xiàn)象，并且會造成制導(dǎo)律性能的下降。綜合而言，本文提出的制導(dǎo)律SO-NFTSMG收斂速度最快，對脫靶量和落角的控制能力強(qiáng)，作用下的導(dǎo)彈飛行時間較NTSMG2作用下的導(dǎo)彈飛行時間短，并且制導(dǎo)指令中無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，利于導(dǎo)彈自動駕駛儀的控制。

圖3 3種制導(dǎo)律仿真對比結(jié)果Fig.3 Simulation result comparison of 3 guidance laws

制導(dǎo)律脫靶量/m視線傾角誤差/(°)視線偏角誤差/(°)飛行時間/sSO-NFTSMG0.20690.01160.025729.7680NTSMG10.26810.02360.026129.7060NTSMG20.24230.01140.027329.9230

5 結(jié) 論

本文基于非奇異快速終端滑模面和二階滑模控制理論，提出了一種新型帶落角約束的非奇異快速終端二階滑模三維制導(dǎo)律。

1) 無需對系統(tǒng)模型作解耦處理，并且設(shè)計過程避免了奇異問題的出現(xiàn)。

2) 針對目標(biāo)機(jī)動信息和視線角耦合帶來的總擾動設(shè)計了非齊次干擾觀測器進(jìn)行估計，無需目標(biāo)先驗信息。

3) 通過2組實(shí)驗仿真，結(jié)果表明：①本文提出的制導(dǎo)律能夠控制不同位置不同狀態(tài)下的多枚導(dǎo)彈以各自期望角度擊中目標(biāo)。②制導(dǎo)律對脫靶量和落角的控制能力強(qiáng)，飛行時間較NTSMG2縮短。③制導(dǎo)律收斂速度快，收斂過程中光滑無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)，驗證了本文提出制導(dǎo)律的快速收斂和抑制抖振能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

本文在制導(dǎo)律的設(shè)計過程中未考慮自動駕駛儀的動態(tài)特性，在考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)特性下設(shè)計制導(dǎo)律仍值得進(jìn)一步研究。