基于分段常值推力的水滴懸停構型控制策略

2019-04-08 12:10:38白晟州王慧疆韓潮張斯航

北京航空航天大學學報 2019年3期

白晟州，王慧疆，韓潮，張斯航

(北京航空航天大學宇航學院，北京 100083)

隨著空間領域的研究、開發以及應用的不斷提高，航天器功能與結構日趨復雜，航天器在軌服務技術可以有效地保證航天器在復雜的空間環境中持久、穩定、高質量地在軌運行，因而成為當前空間技術研究的熱門[1-6]。航天器在軌服務技術主要包含在軌檢查、交會對接和編隊飛行等，其中涉及的一個核心問題是航天器的繞飛問題，即通過對任務航天器施加脈沖或推力，使其繞目標航天器作近距離周期運動。根據任務航天器繞目標航天器運動的周期與目標航天器本身運動的周期的比值，可以將繞飛分為“快速繞飛”與“慢速繞飛”。從更廣的意義上說，通過對任務航天器施加脈沖或推力，使其與目標航天器距離始終保持在一定范圍內，也可以稱作繞飛。

作為經典相對運動方程，C-W(Clohessy-Wiltshire)方程得到了廣泛的關注與應用。趙書閣和張景瑞[7]基于C-W方程研究了航天器共面圓型快速繞飛問題并相應分析了2種典型方法；林來興[8]研究了繞飛軌道動力學和穩定性；師鵬等[9]基于線性動力學模型，分析了有限推力下的航天器繞飛性質；潘屹[10]對C-W方程的狀態轉移矩陣進行了推導，給出了選擇懸停軌道的方法。這些理論進一步完善和發展了C-W方程理論，但工程應用價值有待提高。為了實現任務航天器對目標航天器的懸停或繞飛，設計基于脈沖控制和小推力控制的繞飛構型策略成為熱門研究。Straight等[11]提出了以圓形軌道參考衛星為中心的特定環形區域內的特定點的脈沖制導方案； Hope和Trask[12]提出一種脈沖控制下的水滴懸停構型；Lovell和Tollefson[13]進一步給出了水滴懸停構型的參數表示方法；饒殷睿等[14]基于相對軌道要素描述了水滴懸停構型；王功波等[15]在圓參考軌道和連續小推力條件下，推導了快速繞飛策略；羅建軍等[16]分析了快速受控繞飛；朱小龍等[17]提出了一種參數延拓方法，實現了有限推力bang-bang控制下的繞飛軌跡優化問題；張冉等[18]推導了4種受迫繞飛構型的解析表達式和脈沖控制策略，完善了受迫繞飛構型設計理論。

上述方法均可實現懸停或受迫繞飛，但模型構建存在一定的局限性。大部分研究都是基于圓軌道假設，即參考軌道是圓軌道，無法有效地解決非圓參考軌道下的受迫繞飛問題；對于懸停構型，大多采用脈沖推力或連續小推力實現構型的保持，工程應用難度較大。針對上述情況，本文提出了多段常值推力控制實現水滴懸停構型的打靶方程，分析了近距離相對運動條件下兩段常值推力控制的可行性，數值仿真顯示分段常值小推力可以實現水滴懸停相對運動，與脈沖推力或連續小推力控制相比，更加符合工程實際。

1 水滴懸停構型

水滴懸停構型是航天器懸停構型中一種典型構型[19]，可同時滿足懸停和高精度要求。將構型建立在質心非慣性坐標系中，如圖1所示。

圖1 水滴懸停構型三維示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3D teardrop hovering configuration

1.1 水滴懸停打靶方程

給出經典軌道攝動方程：

(1)

根據水滴懸停構型，可以得到施加脈沖前后任意時刻對應的軌道要素，不妨設施加脈沖前某時刻為t0，施加脈沖后的某時刻為tf，則對應的軌道要素分別為為X(t0)和X(tf)，若在X(t0)處施加多段常值推力，使其在tf時刻軌道要素剛好為X(tf)，則實現了用多段常值推力代替脈沖實現水滴懸停構型。

假定任務航天器在一個水滴周期內通過N段常值推力維持懸停構型，則常值小推力f可表示為

f=f(t1,t2,…,tN-1,Ft1,Fn1,Fh1,…，FtN,FnN,

FhN)=f(t1,t2,…,tN-1,μ1,μ2，…，μN)

(2)

根據上述分析，可建立相應的打靶方程。

(3)

1.2 最小二乘法求解常值推力

因為攝動方程是高度非線性的微分方程組，無法直接求解常值推力解析解，同時每段推力的作用時間也未知，也是待求量，所以將原方程問題轉化為極值問題求解，考慮到構造極值問題：

by optf,t1,t2,…,tN-1

subject to:

(4)

顯然，優變量隨著推力段數的增加而增加，相應的計算時間也會大量增加，計算精度不能得到保證，且推力段數過多導致控制復雜，不利于工程實際應用。應當考慮采用盡可能少的推力段數實現常值推力控制。

2 單段常值推力與多段常值推力

首先分析只采用一段常值推力下的情況：

(5)

式中：ft,fn,fh為t時刻μ1在3個方向上的投影分量。將μ1看作參數，根據常微分方程解對參數的連續依賴性，X(μ1,tf)為關于μ1的可微連續函數，即X(μ1,tf)局部上是一個三維微分流形，而X(μ1,tf)的值本身是六維空間的元素。顯然，三維流形無法覆蓋六維空間，也就是說，很多情況下，不存在滿足條件的μ1，使得

X(tf)=X(μ1,tf)=X(μ1,t0)+

(6)

其次，考慮兩段常值推力，假設兩段常值推力作用時間相同，則代入最小二乘優化函數里，優化變量只有兩段常值推力，即六維變量。小鄰域定理保證了解的局部存在性。

小鄰域定理：近距離運動假設下，固定時間內，對于參考軌道，存在一個小鄰域對其中任意一點，一定存在兩段常值推力解。

數學描述如下：

設X1(μ1,μ2,tf)是兩段常值推力軌道，在t0時刻與參考軌道X0(t0)相等，在[t0,(t0+tf)/2]內推力為μ1；在[(t0+tf)/2,tf]內推力為μ2；對于tf時刻參考軌道瞬時要素X(tf)，一定存在以其為圓心的一個鄰域B(X(tf),δ)(見圖2)，對其中任意一點Xtf，一定存在μ1,μ2，使得X1(μ1,μ2,tf)在tf時刻的軌道要素恰好是Xtf。

證明根據小推力線化方程[20]，有

(7)

式中：E0、Eh和Ef為參考軌道X0(t)分別在t0、(t0+tf)/2和tf時的偏近點角；A(E0,Eh)與A(Eh,Ef)均表示線化矩陣，具體表示詳見文獻[20]在近距離運動假設下，小推力線化方程的系數矩陣C可以近似代替雅可比陣。detC≠0，所以雅可比陣行列式不為零，根據逆映射定理，一定存在一個小鄰域滿足一一映射。

證畢

根據小鄰域定理，只要設計的推力曲線終端六要素位于以參考軌道終端時刻的六要素為圓心的小球內，常值推力一定有解，因此，若設計的推力曲線終端六要素與參考軌道終端時刻的六要素滿足近距離相對運動假設，很大可能存在一對常值推力滿足：

圖2 小鄰域定理示意圖Fig.2 Schematic diagram of small neighborhood theorem

(8)

其中:推力f滿足：

(9)

3 修正公式

采用最小二乘法得到的雙段常值推力解往往精度較差，考慮采用迭代方法對解進行修正，提高精度準確性。

設映射函數F:Rn→Rn。

若存在根x0，使得F(x0)=0，且F(x0)的Jacobi矩陣JF(x0) 滿秩，若矩陣A≈JF(x0)。

證明對任意x,y∈B(x0,δ)，定義：

g(x)=x-A-1F(x)，g(y)=y-A-1F(y)

g(x)-g(y)=(x-y)-A-1(F(x)-F(y))=

(x-y)-A-1JF(y)(x-y)-A-1L(x-y)=

(I-A-1JF(y))(x-y)-A-1L(x-y)

這是因為當x和y與x0接近，A-1JF(y)≈I,又有，若xk∈δ1，xk+1=xk-A-1F(xk)，則

xk+1-x0=xk-x0-A-1F(xk)-

A-1F(x0)=(I-A-1JF(x0))(xk-

x0)+m(xk-x0)xk-x0→0,m→0

由公式：

得

(10)

故xk+1∈B(x0,δ)。

證畢

(11)

可以提高最小二乘解的精度。

4 數值仿真

設參考星K的軌道要素為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，其中半長軸單位為m。任務航天器W繞K作水滴懸停運動，水滴構型幾何參數為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，2 000 m，π/3)，其中du表示水滴構型維持一周時參考星K繞地球轉過的弧度，用以表征水滴構型的周期。

首先，根據方程式(4)，采用最小二乘法嘗試尋找一組多段推力解(μ1,μ2,μ3,μ4,μ5)。常值推力時間Δt為參考星K繞地球轉過0.124 rad所需時間。代入方程式(4)使用最小二乘法求解，并進行了計算機仿真，仿真結果如圖3所示。

在(x,z)=(930,275 0) m時，任務航天器開始施加常值推力，直至(x,z)=(1 100,2 750) m時停止施加推力，其中一共采用了5段常值推力，推力結束后，任務航天器進入自由段，不再施加推力，直到下一個周期/往復循環，表明確實存在多段常值推力控制可以代替脈沖推力使目標航天器繞參考星進行周期性水滴懸停運動，同時也說明最小二乘法可以較好地求解多段常值推力。

設參考星K的軌道要素仍然為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，半長軸單位為m，任務航天器W繞K作水滴懸停運動，水滴構型幾何參數為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，1 000 m，2π/3)。常值推力時間Δt為參考星K繞地球轉過π/9所需時間。

盡管5段常值推力實現了周期性水滴懸停運動，但計算時間較長，控制較復雜。為了減少求解時間，得到更簡單的推力控制策略，考慮兩段常值推力實現懸停構型，即在N=2的情況下進行了仿真，首先通過最小二乘法得到雙推力初值，得到的結果精度差于5段常值推力控制，然后使用精度法對兩段推力解進行精度修正，修正后的解精度較好，最后仿真結果如表1和表2所示。

圖4為僅用最小二乘法得到的兩段推力解。綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍色段表示為無推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結果。可以看出，兩段常值推力基本實現了水滴懸停構型控制，但控制精度較差，與原先構型重合度較差。

如圖5所示，綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍色段表示為無推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結果。在(x,z)=(-300,3 500) m時，任務航天器開始施加常值推力，直至(x,z)=(2 250,3 300)m時停止施加推力，推力結束后，任務航天器進入自由段，不再施加推力，直到下一個周期往復循環。可以看到，紅色段與綠色段重合度較高，說明雙段常值推力解的精度較高，可以代替脈沖推力進行水滴懸停構型控制。