帶有缺失數據的Box-Behnken試驗設計

張劉方 丁宇 陳雪平 馬強

摘? ? 要：中心組合設計是響應曲面設計的重要內容，需要通過試驗、建模、數據分析，從而選擇最優設計方法。研究重點介紹了Box-Behnken設計（BBD設計），然后探討了試驗在缺失一個數據后，若干效率準則的變化（包括D-效率，E-效率，A-效率），討論了各類設計中不同部分缺失一個數據時的效率值變化。結果表明，效率隨因子數的變化呈現相同的趨勢;最后，給出了使得效率損失最小的設計方案。

關鍵詞：Box-Behnken設計;D-效率;E-效率;A-效率

中圖分類號：O224? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-7394（2019）06-0082-06

響應曲面設計是試驗設計的一種。試驗設計是使用頻率最高的統計方法之一，最早由英國統計學家費歇爾（R. A. Fisher）在1935年提出，至今已有80多年的歷史。在試驗設計的發展道路上，大致經歷了四個階段，即傳統的方差分析、正交試驗設計、信噪比試驗設計與產品的三次設計、電腦仿真試驗。其基本思想是對試驗方案做出合理安排，使試驗數據有合適的數學模型，以減少隨機誤差的影響，從而提高試驗結論的精度和可靠度[1]。

Box-Behnken設計由Box和Behnken在1960年提出，是由因子設計與不完全集區設計結合而成的適應響應曲面設計的三水平設計。Box-Behnken設計非常重要的特性是以較少的試驗次數，去估計一階、二階與交互作用項[2]，并且在因素數相同的情況下，Box-Behnken設計的試驗次數要比中心組合設計的次數少，所以更經濟，可稱為具有更高效率的響應曲面設計法。 它是一種符合旋轉性或幾乎可旋轉性的球面設計[3]。

1? ? 效率值計算

1.1? D-效率

試驗設計評定效率準則中最常用的是D-效率[4]，它是用矩陣的形式來判定試驗設計是否最優的一種準則，用到的矩陣是[XTX]。但是，在帶有一個缺失數據時，采用的矩陣是[XTrXr]。同[XTX]一樣，[XTrXr]也包含方差和協方差，控制設計方案的主要方法就是控制這個矩陣的方差和協方差。 討論矩陣的一個重要標準是行列式，把矩陣[（XTrXr）-1]的特征值[λ1，λ2…，λp]的最大特征值、算術平均特征值和幾何平均特征值用[λmax]、[λ]和[λ]來表示，則[D0=XTrXr=i=1pλ-1i=λ-p]。為了消除試驗次數和因子個數帶來的影響，可以定義[D=（n-1）-1XTrXr1/p]，其中[p=（k+1）（k+2）/2]。[p]是在具體模型中的參數個數，[n]是總的試驗次數。 D-效率設計就是求[XTrXr]的最大化，也就是說求[MaxζXTrXr（ζ）]，其中[ζ]表示不同的設計序號[5]。

1.2? A-效率

1.3? E-效率

2? ? Box-Behnken設計

2.1? 對BBD設計進行方案設計

在因子為3時，設計方案（K=4、5、6時的設計方案與K=3時相似，所以表1只列了K=3時的設計方案）見表1。

2.2? 將設計的方案進行試驗，得到數據并進行BBD設計的效率值分析

從表2中可以直觀看出，各效率值的變化與沒有缺失數據的效率值基本保持一致。即隨著因子數的增加，各效率值在不斷降低。其中D-效率降低幅度值較大，A-效率和E-效率降低幅度值較小。

由表3可以明顯地看出，效率值變化趨勢和表2情況一致。綜合可以得出以下結論：不管這一缺失數據發生在Box-Behnken設計的哪一行，在強度相近或相同的情況下，隨著因子數的增加，D-效率、A-效率、E-效率都呈遞減趨勢。

3? ? APM設計、CCD設計、BBD設計的比較

由于Augmented Pairs Minimax Design（APM設計）、Central Composite Design（CCP設計）、Box-Behnken Design（BBD設計）的每種設計各部分缺失一個數據的效率值發生趨勢是基本相同的，所以僅用第一部分帶有一個缺失數據的APM設計的效率圖與原點處帶有一個缺失數據的Box-Behnken設計的效率圖進行對比。如圖1，不難發現APM設計和BBD設計的A-效率、E-效率，均隨著因子數的增加而減少，而APM設計的A-效率、E-效率趨向于零，D-效率與上兩種設計有很大的差異。

比較圖2、圖3可以看出：CCD設計的A-效率、E-效率與BBD設計基本一致，都呈遞減趨勢，只是BBD設計的A-效率值、E-效率值在K=3時略大于CCD的A-效率值、E-效率值;而兩種設計的D效率值相差較大，BBD設計的D-效率值隨著因子數的增加不斷降低，而CCD的D-效率大體上遞減，但在因子數為5、試驗次數為30（對應橫坐標第一個5）時D-效率較低，在因子數為5、試驗次數為46（對應橫坐標第一個5）時D-效率又升高至0.55，在因子數為7時D-效率值下降到0。

綜上所述，不同的設計在缺失一個數據的情況下三種效率值有一定的相似之處。即：A-效率值和E-效率值都較小且呈遞減趨勢;D-效率值較大但幾乎沒有規律可循。在缺失一個數據的情況下，這一現象也是符合實際要求的，即A-效率值、E-效率值越小越好，D-效率值越大越好。

4? ? 因子數一定時的最優設計

4.1? K=3時，三種設計的各效率值比較

K=3時，由表4可以看出，APM設計的D-效率值最高，A-效率值、E-效率值最低。此時，在缺失一個數據時APM設計最優。

4.2? K=4時，三種設計的各效率值比較

K=4時，由表5可見，CCD設計的D-效率值最高，其A-效率值略低于其它兩種設計，而三種設計的E-效率值幾乎相等。所以，此時CCD設計較優。

4.3? K=5時，三種設計的各效率值比較

K=5時，從表6中可以看出，CCD設計的D-效率最高。同時，其A-效率、E-效率最小。此時，CCD 設計最優。

4.4? K=6時，三種設計的各效率值比較

K=6時，從表7可見，D-效率最高的依舊是CCD設計，BBD設計的A-效率、E-效率最低。所以，若以D-效率為判別準則，則選用CCD設計;若以A-效率、E-效率為判別準則，則選用BBD設計。

5? ? 結語

通過上文討論可以發現：不同的設計其效率損失也不同;因子數不同時，所表現出的效率損失也不盡相同。我們可以根據因子數的不同，選擇不同的設計，使得效率損失最小。通過對每種設計都采用三種效率準則計算，發現在不同效率準則下，最優設計也存在差異。同時，還可以發現對于每種設計，不管是哪一部分帶有缺失數據，效率隨因子數的變化呈現相同的趨勢。最后，在因子數相同的條件下，將不同設計在不同效率準則下的效率值進行歸類。結果表明：在因子數較小時，CCD設計優于BBD設計和APM設計。

參考文獻：

[1] 趙選民.試驗設計方法[M]. 北京：科學出版社，2006.

[2] 陳立周. 穩健設計[M]. 北京：機械工業出版社，2000.

[3] WHITTINGHILL D C. A note on the robustness of Box-Behnken designs to the unavailability of data[J]. Metrika， 1998， 48（1）：49-52.

[4] DRAPER N R. Small Composite Designs[J]. Technometrics，1985，27（2）： 173-180.

[5] LEE C P . D-Optimal Designs for Second-Order Response Surface Models on a Spherical Design Region with Qualitative Factors[D].Gaoxiong： NSYSU，2011.

[6] 方開泰，劉民千，周永道. 試驗設計與建模[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[7] XU Hong-quan， JAYNES Jessica，DING Xian-tiang. Combining Two-Level and Three-Level Orthogonal Arrays for Factor Screening and Response Surface Exploration[J].Statistica Sinica，2014，24（1）： 269-289.