數學輔助角公式在物理解題中的應用三例

饒華東 肖巧玲

(1.福建省漳州第一中學 363000；2.福建省漳州市第二中學 363000)

物理解題過程常用到數學公式，如等差(等比)數列求和公式、二倍角公式、均值不等式、輔助角公式等.運用數學知識解決物理問題的方法，往往容易被學生所忽視.筆者在高三復習課上特別花了一節課時間，講述了數學輔助角公式在物理解題中的應用，精選的三道例題分別體現了輔助角公式在解物理題時的不同作用.

一、輔助角公式用于物理量變化趨勢的判定

A.始終不變 B.先變大后變小

C.一直變大 D.先變小后變大

當0°≤θ<30°時，隨著θ的增大，sin(θ+φ)增大，力F在減小；

當θ=30°時，sin(θ+φ)=1，力F取到最小值；

當30°<θ≤90°時，隨著θ的增大，sin(θ+φ)減小，力F將增大.

本題答案選D.

二、輔助角公式用于極值的求解

例2 如圖3所示，長木板與地面的夾角為θ，一質量為m的小木塊在與木板平行的拉力F作用下，沿木板向上運動，已知小木塊和木板之間的摩擦系數為μ，若角度θ從0°到90°緩慢增大，且此過程中小木塊始終沿木板向上做勻加速運動，試求此過程中，拉力F的最大值.

當0°≤θ<(90°-φ)時，隨著θ的增大，sin(θ+φ)增大，力F增大；

當(90°-φ)<θ≤90°時，隨著θ的增大，sin(θ+φ)減小，力F將減小.

三、輔助角公式用于物理量大小的比較

例3 如圖5所示，質量相等的A、B兩物體放在粗糙的水平面上，已知它們與地面間的摩擦系數相等，現給A施加一水平向右的力F1，給B施加一斜向右上方的力F2，使得A、B以相同的加速度向右移動了相同的位移(B未脫離地面)，在此過程中，拉力F1對A做功為W1，對B做功為W2，則F1、F2，W1、W2的大小關系是( ).

A.F1=F2，W1=W2B.F1>F2，W1>W2

C.F1W2D.力的大小無法比較，W1>W2

解析如圖6所示，對A、B分別受力分析，根據牛頓第二定律有：

F1-μN1=ma……①

N1=mg……②

F2cosθ-μN2=ma……③

N2+F2sinθ=mg……④

聯立以上各式可得：

F1=μmg+ma……⑤

F1>F2cosθ……⑦

設A、B兩物體的位移均為S，根據功的定義有：W1=F1S……⑨

W2=F2Scosθ……⑩，有⑦式可知W1>W2，本題選D

輔助角公式通常應用于物理量變化趨勢的判斷、極值的求解、物理量大小的判斷，熟練掌握輔助角等數學公式，對提高解題水平，開拓解題思路大有裨益.