學科素養導向下的2018全國卷數學試題回望

延宗殿

(山西省晉中市昔陽縣中學校 045300)

一、重視基礎，突出主干

數學考完后，教師普遍感到，今年高考數學試題全國卷在考查基礎知識、基本技能和基本方法方面明顯重于往年.試題全面考查基礎，突出主干內容，強調通性通法，如集合、復數、函數、向量、算法、概率、三角函數、解三角形、線性規劃、圓錐曲線等基礎內容在選擇填空題中都進行了有效的考查，這部分試題有利于穩定考生情緒；還有解答題對數列、統計、直線與圓錐曲線、立體幾何、函數與導數等高中數學主干內容也進行了重點的考查，充分體現了試卷對數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性.另外試卷也非常注重通性通法的考查.

表1 全國2卷理科數學選擇填空題考點統計表

全國2卷理數的第17題考查了等差數列最基礎的知識，難度很低.這體現了命題人對基礎知識和基本方法的重視.要求考生對這些基礎內容必須熟練掌握.

二、穩定求新，不落俗套

每年高考試題都在追求穩定中求創新，今年全國卷試題也不例外.同時試題也追求題型設計的創新.如第8題以哥德巴赫猜想為背景，巧妙地設計了一道古典概率計算問題.第18題考查了線性回歸模型的具體應用和相關系數的內容，要求學生根據折線圖和相關系數的大小做出判斷，出題角度非常新穎.

再如解答題中解析幾何放在了立體幾何前面進行考查，與往年比較，降低了解析幾何解答題的難度.一般解析幾何解答題都在20題的位置，無論平時的考試還是高考，大多數考生對于這道題的第2問都選擇放棄.今年考題將解析幾何解答提前一個位置，由一道難題變成了一道中檔題，這樣考生應該努力進行解答，就不能再選擇“放棄”了.對高中教學起到了很好的導向作用.本題考驗學生的隨機應變與心理素質，本題源于教材，以拋物線中過焦點的弦為直徑的圓和準線相切為背景，設問方式新穎，不落俗套.

例1 (2018全國2理17)記Sn為等差數列(an)的前n項和，已知a1=-7，S3=-15.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值.

解析(1)設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通項公式為an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.

例2 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

解析(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設A(x1,y1),B(x2,y2)，

因此l的方程為y=x-1.

所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.

問題：以AB為直徑的圓恒與拋物線C的準線相切，反之過點A，B且與C準線l相切的圓是否一定以AB為直徑？

顯然，圓心M一定在AB的垂直平分線上，且到A(B)的距離和到曲線C的準線的距離相等.根據拋物線的定義知，點M在以A(B)為焦點以直線l為準線的拋物線上E上，即M為AB的垂直平分線與曲線E的交點(如圖所示)AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

設所求圓的圓心坐標為(x0,y0)，則

因此所求圓除了一個以AB為直徑外，另一個圓的圓心為(11，-6)，其方程為(x-11)2+(y+6)2=144.

文理第16題以圓錐為載體考查了空間幾何體的線線角、線面角和面積、體積計算.這樣的命題在上個世紀90年代考過，近十年來考查旋轉體通常以球和多面體組合體為載體進行考查.

立體幾何解答題對幾何證明提出了較高的要求，由于高考考試大綱刪除了選修4-1.幾何證明選講,所以對邏輯推理,特別是利用公理法進行推理的能力的考查就落在立體幾何和解析幾何題上.從第20題第(1)問的線面垂直的證明看,其難度明顯高于往年線面關系的證明.高考命題的這個變化,應該對今后的高中教學中有啟示作用.

三、加強數學核心素養的考查

今年全國理科卷試題對數學核心素養有更深入的考查.如第3題對于學生的邏輯推理與直觀想象提出了較高的要求；第18題充分考查學生的數據分析和數學建模能力；第20題考查考生的空間想象、邏輯推理和數學運算能力；第19題以拋物線過焦點的弦為載體，考查學生的運算求解和邏輯推理能力；全國文理卷第21題為姊妹題設計，理科數學是以指數函數和對數函數為載體，文科數學以多項式函數為載體考查了用導數研究函數的基本方法，主要考查了求函數的單調區間、函數的極值、函數的零點等基本問題.對學生數學抽象與數學思維品質都有很高的要求，充分考查學生分析問題和解決問題的能力.

例3 (2018全國2理19)已知函數f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

解析(1)當a=1時，f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0．

設函數g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

當x≠1時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)單調遞減．

而g(0)=0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1．

(2)設函數h(x)=1-ax2e-x．

f(x)在(0,+∞)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點．

(ⅰ)當a≤0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；

(ⅱ)當a>0時，h′(x)=ax(x-2)e-x．

當x∈(0,2)時，h′(x)<0；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0．

所以h(x)在(0,2)單調遞減，在(2,+∞)單調遞增．

故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點．

四、幾點啟示

今年的高考數學試卷，對備考2019年高考的學生，有以下幾點啟發：

1．必須重視“四基”

高考對基礎知識、基本技能、基本方法和基本數學體驗的要求越來越高，因此我們要在復習備考的過程中，結合教材和考綱，熟練掌握高中數學的基礎知識和解題的通法，不宜好高騖遠，花費太多的時間去鉆研偏難怪題.

2．必須深入研究歷年高考真題

在打好基礎的前提下，認真研究歷年高考真題，掌握高考命題的一般規律，對提高復習的效率有很大的幫助.

3．利用典型例題提高解題水平

應該通過學習研究一類題目的解法中，掌握核心的數學思想和數學方法，開拓我們的解題思路，提高解題水平.這是培養學生的數學核心素養所必須.

一般來說，一道題目能夠成為典型例題，它必須具備以下幾條要素：重點與熱點；入口較寬，解法多樣(至少兩種解法)；解法能夠遷移；變式與推廣.難度中等.

從上個年度的備考情況看，多數教師對題的研究不夠充分，表現在，一是解法單調.如果你只能用一種方法解決這道題，那么這道題就不能作為例題，原因很簡單，主要是你對這道題還沒有融會貫通，還不能多角度來認識它，也就是你對它理解的還不透徹，還不能靈活變通.這樣的題怎么能作為例題呢.二是難度太大，一道題目如果難度太大，那么課堂上大多數學生往往聽不懂，教師也講不清楚；選題應該立足中檔試題，難度系數在0.5-0.65范圍內比較合適.中檔綜合題區分度好，訓練價值高，教師講得清楚，學生聽得明白，有利于學生數學素養的提高；三是就題論題，不回顧、不反思、不總結.常見的是，一些教師講解完一個題目后，馬上轉入下一個問題的解決，他們不對這道題目的解題步驟進行回顧與反思. 如解題中用到了哪些知識？哪些方法？這些知識和方法是怎樣聯系起來的？自己是怎么想到它們的？

困難在哪里？關鍵是什么？遇到過什么障礙？后來是怎么解決的？

是否還有別的解決方法?命題能夠推廣嗎？

條件能減弱嗎？結論能加強嗎？這些方法體現了什么樣的數學思想？

充分發揮典型例題的作用，提高教學效果，減輕學生負擔，分析典型例題的解題過程是提高學生解題能力的有效途徑.

結尾：2018年全國卷數學試題大氣、大道，題干簡潔明了，解答嚴謹規范.

試題取材源于生活考查的終極目標服務于學生未來的可持續發展，能力立意，素養導航，打造數學高考考試新形態.

給2019屆考生的建議：立足基礎，注重數學的本質，掌握數學的思想方法.真正把高中數學每個知識點理解透徹，在學習過程中善于用數學思維去分析問題和解決問題，只有這樣才能真正地掌握數學，才能在最終的高考中取得滿意的成績.