關(guān)注相對(duì)速度關(guān)系 定性分析碰撞問(wèn)題

汪博涵 程靖龍

(1.西安交通大學(xué)附屬中學(xué)航天學(xué)校 710100;2.西安明智教育文化傳播有限公司 710065)

求解兩物體正碰問(wèn)題時(shí)，我們通常“過(guò)三道關(guān)”：一、速度關(guān)系合理；二、系統(tǒng)動(dòng)量守恒；三、系統(tǒng)動(dòng)能不增加.嚴(yán)格按照這樣的思路解題計(jì)算量通常偏大，筆者經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)碰撞前后相對(duì)速度的大小關(guān)系具有一定規(guī)律，據(jù)此進(jìn)行定性分析，對(duì)問(wèn)題的解決很有幫助.

一、結(jié)論的獲得

物理情景：質(zhì)量分別為m1、m2的兩個(gè)彈性小球同向運(yùn)動(dòng)，且發(fā)生正碰，初速度分別為v1、v2，求末速度為v1′,v2′.

選定初始運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍鶕?jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列如下方程組：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ ①

我們變換一下思維，就能發(fā)現(xiàn)一塊“新大陸”，過(guò)程如下：

對(duì)①式移項(xiàng)得：m1(v1-v1′)=m2(v2′-v2) ③

對(duì)④式化簡(jiǎn)得：m1(v1-v1′)(v1+v1′)=m2(v2′-v2)(v2′+v1) ⑤

將③式帶入⑤式，可得：v1+v1′=v2+v2′

移項(xiàng)后可得出：v1-v2=v2′-v1′ ⑥

顯然，等號(hào)左邊為碰撞前相對(duì)速度大小，等號(hào)右邊為碰撞后相對(duì)速度大小，⑥式告訴我們：彈性正碰中，碰后相對(duì)速度大小等于碰前相對(duì)速度大小.這個(gè)發(fā)現(xiàn)令筆者非常興奮！

接著筆者又產(chǎn)生了疑問(wèn)，在非彈性正碰中，又會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

重復(fù)前述推導(dǎo)，得出：v1-v2>v1′-v1′ ⑦

綜合⑥⑦式，得v1-v2≥v2′-v1′ ⑧由上式可得出，一維正碰過(guò)程，相對(duì)速度有如下關(guān)系：兩物體發(fā)生彈性正碰，相對(duì)速度大小不變；發(fā)生非彈性正碰，相對(duì)速度大小減小.

筆者查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)碰撞過(guò)程相對(duì)速度關(guān)系在大學(xué)物理教材中采用恢復(fù)系數(shù)這一概念進(jìn)行研究，并且研究得相當(dāng)透徹了.但是，在高中教輔書(shū)中普遍未提及上述結(jié)論，在高中物理競(jìng)賽書(shū)中雖提到類似結(jié)論，卻在分析碰撞問(wèn)題時(shí)并沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用這一相對(duì)速度關(guān)系進(jìn)行分析.筆者找來(lái)先前做過(guò)一些習(xí)題，有意識(shí)運(yùn)用上述規(guī)律進(jìn)行定性分析，效果挺好的.

二、應(yīng)用實(shí)例

例1 (2013·福州八中質(zhì)檢)A、B兩球在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運(yùn)動(dòng)，mA=1 kg,mB=2 kg,vA=6 m/s,vB=2 m/s.當(dāng)A追上B并碰撞后A、B兩球的速度(v1A′、vB′)可能值是( ).

A.v1A′=5 m/s,vB′=2.5 m/s

B.vA′=2 m/s,vB′=4 m/s

C.v1A′=-4 m/s,vB′=7 m/s

D.v1A′=7 m/s,vB′=1.5 m/s

解依題意，碰前相對(duì)速度為4 m/s,根據(jù)相對(duì)速度關(guān)系，碰后相對(duì)速度不大于4 m/s.C選項(xiàng)相對(duì)速度為11 m/s,D選項(xiàng)相對(duì)速度為5.5 m/s,均大于4 m/s,故排除C、D選項(xiàng).A選項(xiàng)速度不合理，故選B.

圖1

例2 (北京海淀區(qū)2017統(tǒng)測(cè))如圖1所示，在光滑水平地面上有A、B兩個(gè)小物塊，其中物塊A的左側(cè)連接一輕質(zhì)彈簧，物塊A處于靜止?fàn)顟B(tài)，物塊B以一定的初速度向物塊A運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)彈簧與物塊A發(fā)生彈性正碰.對(duì)于該作用過(guò)程，兩物塊的速率變化可用速率—時(shí)間圖像進(jìn)行描述，在選項(xiàng)所示的圖像中，圖線1表示物塊A的速率變化情況，圖線2表示物塊B的速率變化情況，則在圖2這四個(gè)圖像中可能正確的是( ).

圖2

原解:(略).運(yùn)用本文推導(dǎo)的結(jié)論：

由題可知物體A、B發(fā)生了彈性正碰，根據(jù)相對(duì)速度關(guān)系可知，碰后相對(duì)速度等于碰前相對(duì)速度，故排除A、C選項(xiàng). D選項(xiàng)碰后速度不合理被排除，由此判斷正解為B.

例3 甲、乙兩球在水平光滑軌道上同向運(yùn)動(dòng)，已知它們的動(dòng)量分別是P甲=5 kg·m/s,P乙=7 kg·m/s.甲從后面追上乙并發(fā)生了碰撞，碰后乙球動(dòng)量變?yōu)镻乙′=kg·m/s，則甲乙質(zhì)量之比需滿足什么條件？

原解：(略)

運(yùn)用本文推導(dǎo)的結(jié)論：

兩物體發(fā)生正碰，碰后相對(duì)速度不大于碰前相對(duì)速度.這樣的相對(duì)速度關(guān)系在中學(xué)階段介紹不存在障礙，作為物理學(xué)認(rèn)知，在中學(xué)階段推廣也是有必要的.