談談解決數學問題中構造函數的方式

毛 藝

(四川省宜賓市南溪區第二中學校 644100)

在高中的數學教學中，采用構造函數，能簡化解題的過程，使抽象、枯燥的數學概念、公式和定理直觀、形象、具體、生動地呈現在學生面前.基于此，本文就探討幾種構造函數的方法.

一、換元構造函數法

在高中數學的教學中，我們還經常遇到多變元函數的處理問題，面對這類函數計算，常規的解題方法也無法輕松地求解，這時候，教師就可以引導學生采用換元構造函數的方法，用一個新元替代該函數的一部分或全部的變元，從而將變量由多元化為少元，達到減元的目的，這樣能快速求解出來.

在解決這道題時，我們將待解決的函數式進行了適當的變形，把二元字母變為統一的同一種結構，然后借助輔助元進行替代，從而把兩個變元問題轉化為一個變元問題，然后利用輔助元對自變量進行構造函數，再通過導數進行求解，這樣就極大地簡化了解題的難度.

二、特征構造函數法

在實際解題中，要想引導學生進行函數構造，教師應引導學生仔細審題，根據題目給出的條件或是要求解的結論進行構造函數，這樣能有效簡化求解的難度，提升學生解題的速度和準確率.

三、作差構造函數法

在高中數學教學中，在處理一般構造函數F(x)=f(x)-g(x)這樣的練習題時，我們就可以采用作差構造函數的方法，將其轉化為求解函數F(x)min≥0，或者是F(x)min≤0的形式，也就是求解函數的最值問題.在解決這類問題時，我們就可以采用直接作差構造函數的方法.

例3 已知函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都經過點P(0，2)，且在該點處有相同的切線y=4x+2.(1)求解a，b，c，d的值；(2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

分析(1)這道題經過計算，可以很容易得出答案，a=4，b=2，c=2，d=2.

(2)由(1)的答案可知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).假設函數F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則可以推導出F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設可知，F(0)≥0，且F(-2)≥0，那么我們就可以得到1≤k≤e2.所以，f(x)≤kg(x)恒成立，則k的取值范圍就是[1,e2].

四、其他方式構造函數法

以上三種構造函數法是我們在高中數學解題中經常用到的，特別是第三種，是最基本的解題方法.在實際的解題中，除了這三種方法構造函數以外，我們還可以用分離參數的方法，即對已知恒成立的不等式，在能夠判斷出參數系數正負的情況下，我們就可以根據不等式的性質將該函數的參數分離出來，從而得到一個一端是參數，而另一端則是變量的不等式，這樣，我們只要研究不等式另一端的最值就可以輕松解決問題了.此外，還有主元構造函數的方法和放縮構造函數的方法，這些方法在實際的解題中，都能有效地簡化解題的步驟，降低解題的難度，從而輕松、容易地化解函數問題.在實際的教學中，教師應該向學生滲透這些有效的構造函數方法，幫助學生建立構造函數的思想，提升他們的解題能力.當然，受篇幅限制，本文就不一一贅述了.