定義讓解題更靈活

蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

我們都知道定義是揭示事物的本質屬性，在很多時候也是解決問題的有效武器.在圓錐曲線的學習中可以遇到三種不同的定義方式，倘若回到定義中去思考，能找到一種解決問題的最佳策略.下面主要介紹各種定義形式促使圓錐曲線的解題更為靈活.

一、第一定義

設F1,F2為橢圓(雙曲線)的兩個焦點，橢圓上任意一點P到兩個焦點的距離之和等于長軸長2a，即|PF1|+|PF2|=2a(注：2a>|F1F2|).雙曲線上任意一點P到兩焦點的距離之差的絕對值等于實軸長2a，即||PF1|-|PF2||=2a(注：2a<|F1F2|).靈活性在于遇到與兩焦點有關的問題可用此定義關聯.

分析若用一般思想求出圓方程，進而得到切點，顯得比較復雜.根據題意：切點M在雙曲線C上，能采用定義或許為更靈活.

證明設PF1,PF2與圓的切點分別為A,B，根據切線可得|PA|=|PB|,|F1M|=|F1B|,|F2M|=|F2A|.

結合雙曲線的定義：||PF1|-|PF2||=2a,

又|PF1|=|PB|+|F1B|,|PF2|=|PA|+|F2A|，

即||F1M|-|F2M||=2a，因此切點M在雙曲線C上(即切點M為雙曲線的頂點).

分析若直接設點滿足角平分線與垂線去求解會很繁冗，若能采用定義的策略就會迎刃而解.

二、第二定義

到定點F的距離與到定直線l的距離之比為常數e，當01時，軌跡為雙曲線(定點為焦點，定直線為相應準線).靈活性在于遇到焦點與相應準線間的問題可用此定義關聯.

例3 設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于P、Q兩點，點M在拋物線的準線上，且QM∥x軸．證明直線PM經過原點O．

分析此題倘若用常規的坐標思想去求證，很容易遺漏斜率不存在的情況從而導致失分.由于本身是與焦點和準線相關的問題，因此可考慮用拋物線的定義.

例4 橢圓上三點A,B,C的橫坐標x1,x2,x3成等差數列，F為橢圓的焦點，求證：|AF|,|BF|,|CF|也成等差數列.

分析要將題中|AF|,|BF|,|CF|與x1,x2,x3建立關系，因此考慮使用橢圓的第二定義.

證明設焦點F相應的準線為l:x=m.

設點A,B,C向l引垂線，垂足分別為A1,B1,C1.

記橢圓的離心率為e，由橢圓的第二定義可得：

所以|AF|=e|AA1|=e(m-x1)，|BF|=e|BB1|=e(m-x2)，|CF|=e|CC1|=e(m-x3),則|BF|-|AF|=-e(x2-x1)，|CF|-|BF|=-e(x3-x2).

由于x1,x2,x3成等差，則x3-x2=x2-x1，所以|BF|-|AF|=|CF|-|BF|,故|AF|,|BF|,|CF|也成等差數列.

三、極坐標下的統一定義

分析此題若用韋達定理及拋物線的定義進行求解，其計算量頗大且易出現錯誤，如果能用圓錐曲線的統一極坐標方程去證明會有一種“柳暗花明又一村”的感覺.

通過以上三組題目可看出，追本溯源運用定義是解決問題的一種有利武器.平時能正確選用定義可減少大量繁冗的計算，減少運算出錯的可能性，使本身較難的問題有一種豁然明朗之感.希望平時能強化應用定義的意識，用定義讓解題更“靈活”，真正體現“將定義用活、用活定義”的思想.