巧用幾何意義 妙解高考選做題
——以全國Ⅱ卷為例

李昌成 曾 靜 車燕昭

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

在全國高考數學理科Ⅱ卷中，選考內容是以解答題形式考查的.其中選修4-4極坐標與參數方程的題型相對穩定，備受考生歡迎.但是部分學生因為對極坐標中的ρ、θ，直線參數方程中的t的幾何意義理解不到位，而采取逃避的辦法，全部轉化為普通的直角坐標方程作答，這是不科學的.本文從幾何意義的角度，研究近年來Ⅱ卷相關的高考題，以饗讀者.

一、利用ρ的幾何意義解題

在極坐標系中，極徑ρ表示平面內任意一點M到極點(原點)O的距離.恰當靈活運用這一幾何意義可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.

(1) 求C2的方程；

分析在第(2)中，射線是用極坐標形式給出的，因此我們應該將曲線C1、C2化成極坐標，利用極徑ρ的幾何意義求長度|AB|，如圖1,|AB|=|OB|-|OA|.這樣可以避免大量的運算.

解(1)略解得曲線C2的普通方程為x2+(y-4)2=16.

(2)由已知得，曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ.

由(1)得，曲線C2的極坐標方程為ρ=8sinθ.

例2 (2017年全國高考理科Ⅱ卷第23題)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．

(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程.

(2)略.

分析已知中|OM|、|OP|分別代表動點M、P的極徑，而非一般的長度.我們可以將|OM|·|OP|=16等價轉化為極坐標關系式，考慮到極角相同，這是一件容易操作的事.若受到問題中“直角坐標方程”的誤導，解題會掉入陷阱.

所以C2的極坐標方程ρ=4cosθ(ρ>0).

因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0).

二、利用θ的幾何意義解題

在極坐標系中，極角θ表示平面內以極點O為頂點，Ox為始邊，OM為終邊的∠xOM.恰當準確運用這一幾何意義也可以方便快捷地解答很多高考選考解答題.

(1)求點A，B，C，D的直角坐標；

(2)略.

(1)求C的參數方程；

分析本題對極角的考查很深刻.已知中的半圓靠極角來確定具體位置，只有準確理解極角定義，才能找準極角位置，進一步確定究竟是什么位置的半圓，進而確定參數方程中的參數范圍.否則兩問都會因為極角幾何意義而出錯.

所以C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

三、利用t的幾何意義解題

例5 (2016年全國高考理科Ⅱ卷第23題)在直線坐標系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25．

(1)略；

(1)略；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．

分析在直線參數方程中，借助t的幾何意義有t1+t2=0，以此為突破口可以做答.

解(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0①.

通過以上研究不難發現，充分利用極坐標中的ρ、θ，直線參數方程中的t的幾何意義答題是比較方便快捷的，甚至用于處理一些圓錐曲線解答題也是一種技巧.掌握應用幾何意義也是教學大綱和高考考綱的要求，值得關注.